1、专题10：三角形问题1. （2015年江苏南京2分）如图，在ABC中，DEBC，则下列结论中正确的是【 】A. B. C. D. 【答案】C.【考点】比例的计算；相似三角形的判定和性质.【分析】，. DEBC，. .故选C.2. （2015年江苏苏州3分）如图，在ABC中，AB=AC，D为BC中点，BAD=35，则C的度数为【 】A35 B45 C55 D60【答案】C.【考点】等腰三角形的性质；直角三角形两锐角的关系.【分析】在ABC中，AB=AC，D为BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得BAD=CAD，ADBC.又BAD=35，CAD=35.根据直角三角形两锐角互余的性质，得C=55
2、.故选C.3. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45的方向，从B测得船C在北偏东22.5的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为【 】Akm Bkm Ckm Dkm【答案】B【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；矩形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】如答图，过点B作BEAC交AC于点E，过点E作EFCD交CD于点F，则根据题意，四边形BDEF是矩形，ABE、EFC和ADC都是等腰直角三角形，AB=2，DF=BF= AB=2，.EBC=BCE=22.5，CE=BE=2.（km）.船C离海岸线l的距
3、离为 km.故选B4. （2015年江苏泰州3分）如图，中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是【 】A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对【答案】D.【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定. 【分析】AB=AC，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，易得.EF是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，易得.综上所述，图中全等的三角形的对数是4对.故选D.5. （2015年江苏无锡3分）的值为【 】A. B. C. D. 【答案】B【考点】特殊角的三
4、角函数值【分析】根据45角这个特殊角的三角函数值，可得.故选B6. （2015年江苏无锡3分）如图，RtABC中，ACB90，AC3，BC4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为【 】A. B. C. D. 【答案】B【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理【分析】根据折叠的性质可知，.，. 是等腰直角三角形. . .，.在中，根据勾股定理，得AB=5，.在中，根据勾股定理，得，.在中，根据勾股定理，得.故选B7. （2015年江苏徐州3分
5、）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于【 】A. B. C. D. 【答案】A.【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上中线的性质. 【分析】四边形ABCD是菱形，且周长为28，.E为AD边中点，根据直角三角形斜边上中线等于斜边 一半的性质，得.故选A.8. （2015年江苏盐城3分）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若1=60，则2的度数为【 】A. 85 B. 75 C. 60 D. 45【答案】B.【考点】等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；平行的性质.【分析】如答图，是等腰直角三角形，.在中，1=60，.，.故选B.9.
6、 （2015年江苏盐城3分）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为【 】A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 9或7【答案】A.【考点】等腰三角形的性质；三角形构成条件；分类思想的应用.【分析】根据等腰三角形的性质，如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则另一边可能是2或5.但根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的三边关系，2，2，5不构成三角形因此这个等腰三角形的三边只能是2，5，5，周长为12.故选A.10. （2015年江苏扬州3分）如图，若锐角ABC内接于O，点D在O外（与点C在AB同侧）， 则下列三个结论：；中，正确的结论为【 】A. B. C. D. 【
7、答案】D. 【考点】圆周角定理；三角形外角性质；锐角三角函数的性质.【分析】如答图，设与O相交于点，连接.，.正弦、正切函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小， ， .正确的结论为.故选D.11. （2015年江苏淮安3分）下列四组线段组成直角三角形的是【 】A. B. C. D. 【答案】D.【考点】勾股定理逆定理. 【分析】根据勾股定理逆定理，因为，所以能组成直角三角形的是.故选D.12. （2015年江苏南通3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是【 】A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 4a，4a，8a（a0）【答案】A【考点】三角形三边关系
8、【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可:A、105610+5，三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、115=6，三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、3+4=78，三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、4a+4a=8a，三条线段不能构成三角形，故本选项错误故选A13. （2015年江苏南通3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tan的值是【 】A. B. C. D. 【答案】C【考点】坐标与图形性质；锐角三角函数定义.【分析】如答图，设（2，1）点是B，过点B作BCx轴于点C则OC=2，BC=1，故选C14. （2015年江苏宿迁3分）若等腰三角形中
9、有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为【 】A. 9 B. 12 C. 7或9 D. 9或12【答案】B【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类思想的应用.【分析】当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立.所以这个三角形的周长是12故选B1. （2015年江苏连云港3分）在ABC中，AB=4，AC=3，AD是ABC的角平分线，则ABD与ACD的面积之比是 【答案】.【考点】角平分线的性质；等高三角形的面积.【分析】如图，过点D分别作AB、AC的高线DE、DF，AD是ABC的角平分线，DE=DFAB=4，AC
10、=3，.2. （2015年江苏连云港3分）如图，在ABC中，BAC=60，ABC=90，直线l1l2l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 【答案】.【考点】平行线的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理【分析】如答图，过点B作EFl2，交l1于E，交l3于F， BAC=60，ABC=90，直线l1l2l3，EFl1，EFl3. AEB=BFC=90ABC=90，EAB=90ABE=FBC.BFCAEB，EB=1，FC=在RtBFC中，在RtABC中， 3. （2015年江苏苏州3分）如
11、图，在ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FGCD，交AC边于点G，连接GE若AC=18，BC=12，则CEG的周长为 【答案】27.【考点】点对称的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线的性质.【分析】CE=CB，BC=12，CE=CB=12.点E是AB 的中点，EG 是ABC 的中位线. .又点A、D关于点F对称，FGCD，FG 是ADC的中位线.AC=18，.CEG 的周长为：CE+GE+CG=12+6+9=27.4. （2015年江苏泰州3分）如图，中，D为BC 上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，则CD的长为 【答案】5.【考点】相似三角形的判
12、定和性质. 【分析】BAD=C，B=B，.AB=6，BD=4，解得.5. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将ABP 沿BP翻折至EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 【答案】.【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图，四边形是矩形，.根据折叠对称的性质，得，.在和中，. .设，则，.在中，根据勾股定理，得，即.解得.AP的长为.6. （2015年江苏无锡2分）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）【答案】假.【考点】命
13、题与定理；逆命题；真假的判定【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；分析是否为真命题，需要分别分析题设是否能推出结论，如果能就是真命题因此，“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题7. （2015年江苏无锡2分）已知：如图，AD、BE分别是ABC的中线和角平分线，ADBE，ADBE6，则AC的长等于 【答案】.【考点】三角形中位线定理；勾股定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质【分析】如答图所示，延长AD至F，使DF=AD，过点F作FGBE与AC延长线交于点G，过点C作C
14、HBE，交AF于点H，连接BF， 在中，根据勾股定理得：，在和中，. .AGBF. 四边形EBFG是平行四边形.在和中，.CHFG，.，即，解得：.8. （2015年江苏徐州3分）如图，在ABC中，C=31，ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么A= 【答案】87. 【考点】线段垂直平分的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】DE垂直平分BC，.C=31，.ABC的平分线BD交AC于点D，.9. （2015年江苏盐城3分）如图，在ABC与ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使ABCADC，只需要再添加的一个条件可以是 【答案】或（答案不唯一）
15、.【考点】开放型；全等三角形的判定.【分析】在ABC与ADC中，已知AD=AB，又有公共边AC=AC，因此，在不添加任何辅助线的前提下，根据SAS，添加，可使ABCADC；根据SSS，添加，可使ABCADC.答案不唯一.10. （2015年江苏盐城3分）如图，点D、E、F分别是ABC各边的中点，连接DE、EF、DF，若ABC的周长为10，则DEF的周长为 【答案】5.【考点】三角形中位线定理. 【分析】点D、E、F分别是ABC各边的中点，.ABC的周长为10，DEF的周长为5.11. （2015年江苏盐城3分）设ABC的面积为1，如图将边BC、AC分别2等份，、相交于点O，AOB的面积记为；如
16、图将边BC、AC分别3等份，、相交于点O，AOB的面积记为；， 依此类推，则可表示为 (用含的代数式表示，其中为正整数)【答案】.【考点】探索规律题（图形的变化类）；平行的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等底或等高三角形面积的性质.【分析】如答图，连接，可知.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.依此类推， 可表示为，.12. （2015年江苏扬州3分）如图，已知RtABC中，ABC=90，AC=6，BC=4，将ABC绕直角顶点C顺时针旋转90得到DEC，若点F是DE的中点，连接
17、AF，则AF= 【答案】5.【考点】面动旋转问题；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；勾股定理.【分析】如答图，连接，过点作于点，在RtABC中，ABC=90，点F是DE的中点，.是等腰三角形.将ABC绕直角顶点C顺时针旋转90得到DEC，BC=4，AC=6，.，.又分别是的中点，是DEC的中位线.在RtAGF中，由勾股定理，得AF=5.13. （2015年江苏扬州3分）如图，已知ABC的三边长为，且，若平行于三角形一边的直线将ABC的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形、的面积分别为，则的大小关系是 （用“”号连接）.【答案】.【考点】阅读理解型问题；代数几何综
18、合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质. 【分析】设ABC的周长为，面积为，如答图，设，则.平行于三角形一边的直线将ABC的周长分成相等的两部分，即.，.且.同理可得，.，.14. （2015年江苏常州2分）如图，在ABC中，DEBC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 【答案】6【考点】相似三角形的判定和性质.【分析】DEBC，.AD：DB=1：2，DE=2，.15. （2015年江苏常州2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景
19、园B向左转90后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 【答案】（400，800）【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理的应用；坐标确定位置【分析】如答图，连接AC，A（400，300），OD=400m，AD=300m.由题意可得：AB=300m，BC=400m，在AOD和ACB中，AODACB（SAS）.CAB=OAD.B、O在一条直线上，C、A、D也在一条直线上.AC=AO=500m， CD=AC=AD=800m.C点坐标为：（400，800）16. （2015年江苏淮安3分）如图，A、B两地被一座小山阻隔，为了测量A、B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、C
20、B的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是 米【答案】720.【考点】三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可：D、E分别是AC、BC的中点，DE=360米，AB=2DE=720米.17. （2015年江苏南通3分）如图，ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，BAC=102，则ADC= 度【答案】52【考点】等腰三角形的性质。三角形内角和外角性质【分析】AC=AD=DB，B=BAD，ADC=C.设ADC=，B=BAD=.BAC=102，DAC=102.在ADC中，ADC+C+DAC=180，解得：=52，即ADC=52.18. （20
21、15年江苏南通3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BFAC，垂足为E，CEF的面积为S1，AEB的面积为S2，则的值等于 【答案】.【考点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】，设AD=BC=a，则AB=CD=2a. .BFAC，CBECAB，AEBABC. .CEFAEB，.19. （2015年江苏宿迁3分）如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD=5，则EF的长为 【答案】5【考点】直角三角形斜边上的中线性质；三角形中位线定理【分析】ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，CD=5，CD=AB，即AB=2CD=10.又EF是A
22、BC的中位线，EF=AB=10=520. （2015年江苏镇江2分）如图，将等边OAB绕O点按逆时针方向旋转150，得到OAB（点A，B分别是点A，B的对应点），则1= 【答案】150【考点】旋转的性质；等边三角形的性质【分析】等边OAB绕点O按逆时针旋转了150，得到OAB，AOA=150，AOB=60，1=360AOAAOB=36015060=150.21. （2015年江苏镇江2分）如图，中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F，若DEF的面积为1，则的面积等于 【答案】4【考点】平行四边形的性质；全等、相似三角形的判定和性质【分析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD
23、，AD=BC.ABCD，A=EDF.又AE=DE，AEB=DEF，ABEDFE（SAS）.FD=AB=DC，.ADBC，FBCFED. .， .22. （2015年江苏镇江2分）如图，ABC和DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm，BC=2cm，将DBC沿射线BC平移一定的距离得到D1B1C1，连接AC1，BD1如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为 cm【答案】7【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质【分析】如答图，过点A作AEBC于点E，AEB=AEC1=90，BAE+ABC=90.AB=AC，BC=2，BE=CE=B
24、C=1，四边形ABD1C1是矩形，BAC1=90.ABC+AC1B=90. BAE=AC1B.ABEC1BA. .AB=3，BE=1，.BC1=9.CC1=BC1BC=92=7，即平移的距离为71. （2015年江苏连云港10分）如图，在ABC中，ABC=90，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DHAB，交BC的延长线于点H（1）求的值；（2）若CBD=A，求AB的长【答案】解：（1）DHAB，BHD=ABC=90.ABCDHC. .BC=3，AC=3CD，. CH=1，BH=BC+CH=4.在RtBHD中，.（2）DHAB，BHD=ABC=90.又CBD=A，ABCBHD
25、. .ABCDHC，.AB=3DH，解得DH=2.AB=3DH=32=6，即AB的长是6【考点】相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义【分析】（1）根据DHAB，判定ABCDHC，得到=3，求出BH的值，在RtBHD中，根据余弦函数定义求出（2）根据ABCBHD，推得；根据ABCDHC，推得，所以AB=3DH；从而由求出DH的值，进而求出AB的值2. （2015年江苏南京8分）如图，ABC中，CD是边AB上的高，且（1）求证ACDCBD；（2）求ACB的大小【答案】解：（1）证明：CD是边AB上的高，ADC=CDB=90.又，ACDCBD.（2）ACDCBD，A=BCD.在ACD中，ADC=
26、90，A+ACD=90.BCD+ACD=90，即 ACB=90.【考点】相似三角形的判定和性质；直角三角形两锐角的关系.【分析】（1）根据“两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”作出判定.（2）根据相似三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角的关系即可求解.3. （2015年江苏南京8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得CAO=45轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得DBO=58，此时B处距离码头O有多
27、远？（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）【答案】解：设B处距离码头Oxkm，在RtCAO中，CAO=45，在RtDBO中，DBO=58， 答：B处距离码头O大约13.5km【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用【分析】设B处距离码头Oxkm，分别在RtCAO和RtDBO中，应用锐角三角函数定义，用x表示出和的长，根据列方程求解即可4. （2015年江苏南京10分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形（要求：只
28、要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】解：满足条件的所有等腰三角形如答图所示：【考点】作图（应用和设计作图）；等腰三角形的性质；正方形的性质；分类思想的应用【分析】分是顶角，腰长是3；是顶角，底边长是3（底角在上）；是顶角，底边长是3（底角在上）；是底角，腰长是3；是底角，底边是3五种情况5. （2015年江苏苏州8分）如图，在ABC中，AB=AC分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分BAC；（2）若BC=6，BAC50，求的长度之和（结果保留）【答案】解：（1）证
29、明：由作图可知，BD=CD.在ABD和ACD中，ABDACD（SSS）.BAD=CAD，即AD平分BAC.（2）AB=AC，BAC50，ABC=ACB=65.又BD=CD=BC，BDC是等边三角形. DBC=DCB=60.DBE=DCF=55.又BC=6，BD= CD=6，的长度之和.【考点】全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定和性质；三角形内角和定理；弧长的计算.【分析】（1）由SSS证明ABDACD即可证得结论.（2）求出DBE和DCF即可应用应用弧长公式求解.6. （2015年江苏泰州10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同
30、一水平地面上。（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高.（，结果精确到0.1m）【答案】解：（1），.，.斜坡AB的水平宽度为8m.（2）如答图，延长交于点，过点作于点，.又，.，.又，解得.又，.在中，由勾股定理，得，易得，即，解得.点D离地面的高为4.5 m.【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；相似三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】（1）根据坡度的定义列式求解即可.（2）作辅助线“延长交于点，过点作于点”构造两对相似三角形和，根据对应边成比例列式求解即可.
31、7. （2015年江苏无锡8分）已知：如图，ABCD，E是AB的中点，CEDE求证：（1）AECBED；（2）ACBD【答案】证明：（1）ABCD，AEC=ECD，BED=EDC.CE=DE，ECD=EDC. AEC=BED.（2）E是AB的中点，AE=BE.在AEC和BED中，AECBED（SAS）. AC=BD【考点】平行的性质；全等三角形的判定和性质【分析】（1）根据CE=DE得出ECD=EDC，再利用平行线的性质进行证明即可.（2）根据SAS证明AEC与BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可8. （2015年江苏无锡10分）如图，C为AOB的边OA上一点，OC6，N为边OB上异于点
32、O的一动点，P是线段05上一点，过点P分别作PQOA交OB于点Q，PMOB交OA于点M（1）若AOB=60，OM=4，OQ=1，求证：05OB；（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形；问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；设菱形OMPQ的面积为S1，NOC的面积为S2，求的取值范围【答案】解：（1）证明：如答图，过点P作PEOA于点E，PQOA，PMOB，四边形OMPQ为平行四边形.OQ=1，AOB=60，PM=OQ=1，PME=AOB=60. PCE=30. CPM=90，又PMOB，05O=CPM=90，即05OB.（2）的值不发生变化，
33、理由如下：设，四边形OMPQ为菱形，.PQOA，NQP=O.又QNP=ONC，NQPNOC.，即， 化简,得.不变化.如答图,过点P作PEOA于点E，过点N作NFOA于点F，设，则,PMOB，MCP=O.又PCM=NCO，CPM05O. .0x6，根据二次函数的图象可知， 【考点】相似形综合题；单动点问题；定值问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质；平行四边形的判定和性质；菱形的性质.【分析】（1）作辅助性线，过点P作PEOA于E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM=OQ=1，PM
34、E=AOB=60，进而求出PE与ME的长，得到CE的长，求出tanPCE的值，利用特殊角的三角函数值求出PCE的度数，得到PM于NC垂直，而PM与ON平行，即可得到05与OB垂直.（2）的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，根据OMPQ为菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=yx，根据平行得到NQP与NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值. 作辅助性线，过点P作PEOA于点E，过点N作NFOA于点F，表示出菱形OMPQ的面积为S1，NOC的面积为S2，得到，由PM与OB平行，得到CPM与05O相似，由相似得比例求出所求式子的范围即可9. （2015年江苏徐州8分）如图，点A，
35、B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，A=D，AB=DC（1）求证：四边形DFCE是平行四边形；（2）若AD=10，EC=3，EBD=60，则AB= 时，四边形BFCE是菱形【答案】解：（1）AE=DF，A=D，AB=DC，.四边形DFCE是平行四边形.（2）3.5. 【考点】全等三角形的判定和性质；平行的判定；平行四边形的判定；菱形的性质；等边三角形的判定和性质.【分析】（1）由已知，根据证明，从而得到，根据等角的补角相等得到，根据内错角相等两直线平行的判定得到，进而根据一组对边平行且相等垢四边形是平行四边形的判定而得证.（2）若四边形BFCE是菱形，则，EB
36、D=60，是等边三角形.EC=3，.AD=10，AB=DC，.10. （2015年江苏徐州8分）如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限. 其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求点C的坐标；若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm.【答案】解：（1）如答图1，过点C作y轴的垂线，垂足为D，在RtABC中，AB=12，BAC=30，BC=6.在RtAOB中，AB=12， OB=6，BAO=30，ABO=60.又CBA=60，CBD=60，BCD=30.BD=3，CD=OD=9
37、.点C的坐标为.如答图2，设点A向右滑动的距离，根据题意得点B向动的距离.在RtAOB中，AB=12， OB=6，.在AO B中，由勾股定理得，解得，（舍去）.滑动的距离为（2）12【考点】面动问题；含30度角直角三角形的性质；勾股定理；点的坐标；二次函数最值的应用；方程思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点C作y轴的垂线，垂足为D”，应用含30度角直角三角形的性质求出CD和BD的长，即可求出点C的坐标.设点A向右滑动的距离，用表示出和的长，在AO B中，应用勾股定理列方程求解即可.（2）设点C的坐标为，如答图3，过点C作CEx轴，CDy轴， 垂足分别为E，D，则OE=x，OD=y.ACEB
38、CE=90，DCBBCE=90，ACE=DCB.又AEC=BDC=90，ACE BCD.，即. .当取最大值，即点C到y轴距离最大时，有最大值，即OC取最大值，如图，即当转到与y轴垂时. 此时OC=1211. （2015年江苏盐城10分）如图，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB为直径作O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA.（1）求DOA的度数； （2）求证：直线ED与O相切.【答案】解：（1）CBA和DOA是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角，且CBA=50，DOA=2CBA=100.（2）如答图，连接，在和中，.直线ED与O相切.【考点】圆周角定理；全等三角形的判定和性质
39、；切线的判定.【分析】（1）根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半直接求解.（2）作辅助线“连接”构造全等三角形，由证明，从而得到，进而作出直线ED与O相切的判定.12. （2015年江苏盐城10分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高米，且AC=米，设太阳光线与水平地面的夹角为.当时，测得楼房在地面上的影长AE=米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.（取）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.【答案】解：（1）当时，AE=米，（米）.楼房的高度约为17.3米.（2）当时，小猫还能晒到太阳.理由如下：如答图，假设台阶是透明
40、的，当时，从点B射出的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H，是等腰直角三角形.是等腰直角三角形，.，大楼的影子落在台阶这个侧面上。小猫还能晒到太阳.【考点】解直角三角形的应用；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】（1）直接根据正切函数的定义和60的三角函数值求出楼房的高度.（2）假设台阶是透明的，当时，从点B射出的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H，求出的长与比较即可得出结论.13. （2015年江苏扬州10分）如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若
41、BE平分ABC，求证：.【答案】证明：（1）如答图，将沿过点A的直线折叠，.四边形是平行四边形，. . .，. 四边形是平行四边形.（2）如答图，BE平分ABC，.四边形是平行四边形，. .由（1），即.在中，由勾股定理，得.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形是平行四边形可有；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得，从而得证.（2）要证，根据勾股定理，只要的即可，而要
42、证，一方面，由BE平分ABC可得（如答图，下同）；另一方面，由可得，从而得到，结合（1）即可根据三角形内角和定理得到，进而得证.14. （2015年江苏常州8分）如图，在中，BCD=120，分别延长DC、BC到点E，F，使得BCE和CDF都是正三角形（1）求证：AE=AF；（2）求EAF的度数【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD=120，ABC=ADC，AB=CD，BC=AD.BCE和CDF都是正三角形，BE=BC，DF=CD，EBC=CDF=60.ABE=FDA，AB=DF，BE=AD.在ABE和FDA中，ABEFDA（SAS）.AE=AF.（2）ABEFDA，
43、AEB=FAD.ABE=60+60=120，AEB+BAE=60.FAD+BAE=60，EAF=12060=60【考点】全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出BAD=BCD=120，ABC=ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，EBC=CDF=60，从而证出ABE=FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明ABEFDA，得出对应边相等即可.（2）由全等三角形的性质得出AEB=FAD，求出AEB+BAE=60，得出FAD+BAE=60，即可得出EAF的度数15. （2015年江苏常州8分）如图，在
44、四边形ABCD中，A=C=45，ADB=ABC=105（1）若AD=2，求AB；（2）若，求AB【答案】解：（1）如答图，过点A作DEAB于点E，过点B作BFCD于点F， A=C=45，ADE与BCF为等腰直角三角形.又ADB=ABC=105，ADC=360ACABC=3604545105=165.BDF=ADCADB=165105=60.AD=2，.ABC=105，ABD=1054530=30.（2）设，则，.BDF=60，DBF=30. ，.，.，.【考点】勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；多边形内角和定理【分析】（1）作辅助线“过点A作DEAB于点E，过点B作BFCD于点F
45、”，构造含特殊角的直角三角形，在四边形ABCD中，由A=C=45，ADB=ABC=105，得BDF=60，由ADE与BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，从而求得AB.（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，用x表示AB，CD，得出，从而根据求得结果16. （2015年江苏淮安8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AEDF，求证：BFCE.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，.又AEDF，AFDE.BFCE.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质. 【分析】要证BFCE，只要证它们是全等三角形的对应边即可. 考察和，一方面
46、，由矩形的性质可得；另一方面，由已知AEDF，根据等量加等量和相等得 AFDE，从而应用即可证明.17. （2015年江苏南通8分）如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）【答案】解：如答图，过P作PCAB于点C，在RtACP中，PA=海里，APC=45，AC=APsin45=40（海里），PC=APcos45=40（海里）.在RtBCP中，BPC=60，BC=PCtan60=（海里），AB=AC+BC=（40+）海里【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；锐角三角函数定义；特殊角
47、的三角函数值【分析】作辅助线“过P作PCAB于点C” ，构造两直角三角形ACP和BCP，应用锐角三角函数定义求出AC和CB的长，由AC+CB求出AB的长即可18. （2015年江苏南通8分）如图，在中，点E，F分别在AB，DC上，且EDDB，FBBD（1）求证：AEDCFB；（2）若A=30，DEB=45，求证：DA=DF【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AD=CB，A=C，ADCB. ADB=CBD.EDDB，FBBD，EDB=FBD=90.ADE=CBF.在AED和CFB中，AEDCFB（ASA）.（2）如答图，过点D作DHAB，垂足为H，在RtADH中，A=30，DA=2D
48、H.在RtDEB中，DEB=45，EB=2DH.DA= EB.AEDCFB，AE=CF.AB=DC，EB=DF.DA=DF【考点】平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；含30度角的直角三角形的性质；等腰直角三角形的性质【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证.（2）作辅助线“过点D作DHAB，垂足为H”，一方面，在RtADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在RtDEB中，利用等腰直角三角形的性质得到EB=2DH，从而得到DA=
49、 EB；另一方面，由AEDCFB得到AE=CF，由四边形ABCD是平行四边形得到AB=DC，从而证得EB=DF，进而等量代换即可得证19. （2015年江苏南通13分）如图，RtABC中，C=90，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0x3）把PCQ绕点P旋转，得到PDE，点D落在线段PQ上（1）求证：PQAB；（2）若点D在BAC的平分线上，求CP的长；（3）若PDE与ABC重叠部分图形的周长为T，且12T16，求x的取值范围【答案】解：（1）证明：在RtABC中，AB=15，BC=9，又C=C，PQCBAC. CPQ=B. PQAB.（2）如答图1，连
50、接AD，PQAB，ADQ=DAB点D在BAC的平分线上，DAQ=DAB.ADQ=DAQ. AQ=DQ在RtCPQ中，CP=3x，CQ=4x，PQ=5x.PD=PC=3x，DQ=2xAQ=124x，124x=2x，解得x=2.CP=3x=6（3）当点E在AB上时，PQAB，DPE=PEBCPQ=DPE，CPQ=B，B=PEB. PB=PE=5x.3x+5x=9，解得当0x时，此时0T.当0x时，T随x的增大而增大，12T16，当12T时，1x.当x3时，如答图2，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GHFQ，垂足为H，HG=DF，FG=DH，RtPHGRtPDE.PG=PB=93x，.，此时，
51、T18当x3时，T随x的增大而增大.12T16，当T16时，x.综上所述，当12T16时，x的取值范围是1x【考点】面动旋转问题；勾股定理；相似三角形的判定和性质；平行的判定和性质；方程思想、函数思想、分类思想的应用【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出PQCBAC，由相似三角形的性质得出CPQ=B，由此可得出结论.（2）连接AD，根据PQAB可知ADQ=DAB，再由点D在BAC的平分线上，得出DAQ=DAB，故ADQ=DAQ，AQ=DQ在RtCPQ中根据勾股定理可知，AQ=124x，故可得出x的值，进而得出结论.（3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出
52、x的值，再分0x；x3两种情况进行分类讨论20. （2015年江苏宿迁6分）如图，已知AB=AC=AD，且ADBC，求证：C=2D【答案】证明：AB=AC=AD，C=ABC，D=ABD. ABC=CBD+D.ADBC，CBD=D. ABC=D+D=2D.又C=ABC，C=2D【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质【分析】首先根据AB=AC=AD，可得ABC=CBD+D；然后根据ADBC，可得CBD=D，据此判断出ABC =2D.，再根据C=ABC，即可判断出C=2D21. （2015年江苏宿迁6分）如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角
53、为22，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度（参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin38.50.62，cos38.50.78，tan38.50.80）【答案】解：EDAC，BCAC，EDBC.在RtABC中，A=22，.在RtAED中，A=22，DE=12，.在RtBDC中，BDC=38.5，.，解得BC=24.答：楼房CB的高度为24米【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；锐角三角函数定义；方程思想的应用.【分析】在RtABC中得到；在RtAED中由求得；在RtBDC中求得，从而得
54、到，解之即可.22. （2015年江苏宿迁8分）如图，四边形ABCD中，A=ABC=90，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积【答案】解：（1）证明：A=ABC=90，BCAD. CBE=DFE.在BEC与FED中，BECFED（AAS）.BE=FE.又E是边CD的中点，CE=DE.四边形BDFC是平行四边形.（2）分三种情况讨论：BC=BD=3时，由勾股定理得，.BC=CD=3时，如答图，过点C作CGAF于G，则四边形AGCB是矩形，AG=BC=3，DG=AGAD
55、=31=2.由勾股定理得，.BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立即.综上所述，若BCD是等腰三角形，四边形BDFC的面积是或【考点】平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类思想的应用【分析】（1）应用“角角边”证明BEC和FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.（2）分BC=BD，BC=CD，BD=CD三种情况讨论即可.23. （2015年江苏镇江6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF
56、，依次连接B，F，D，E各点（1）求证：BAEBCF；（2）若ABC=50，则当EBA= 时，四边形BFDE是正方形【答案】解：（1）证明：菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=BC，BAC=BCA.BAE=BCF，在BAE与BCF中，BAEBCF（SAS）.（2）20【考点】菱形的性质；全等三角形的判定和性质；正方形的判定【分析】（1）由题意易证BAE=BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是由SAS可证BAEBCF.（2）四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要EBF=90即得四边形BFDE是正方形.BAEBCF，EBA=FBC.又ABC=50，EBA+FBC=40. EBA=4
57、0=2024. （2015年江苏镇江6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）【答案】解：如答图，过点A作ADBC于点D，EAB=30，AEBF，FBA=30.又FBC=75，ABD=45.又AB=60，AD=BD=.BAC=BAE+CAE=75，ABC=45，C=60.在RtACD中，C=60，AD=，.BC=该船与B港口之间的距离CB的长为海里【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值
58、【分析】作辅助线“过点A作ADBC于点D”，构造两含特殊角的直角三角形，由BC=BD+CD求解即可25. （2015年江苏镇江7分）某兴趣小组开展课外活动如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（1）求小明原来的速度【答案】解：（1）光源O点的位置如图，（2）设小明原来的速度为xm/s，则，点C，E，G在一条直线上，CGAB，OCEOAM，OEGOMB，.，即，解得x=1.5.经检验x=1.5为方程的解，小明原来的速度为1.5m/s答：小明原来的速度为1.5m/s【考点】中心投影；分式方程的应用；相似三角形的应用【分析】（1）利用中心投影的定义画图.（2）设小明原来的速度为xm/s，用x表示出CE、AM、EG、BM的长，根据相似三角形的判定方法得到OCEOAM，OEGOMB，则，所以，据此列方程求解即可
