1、专题2.4 函数单调性【考纲解读】内 容要 求备注ABC函数概念与基本初等函数函数的基本性质1理解函数的单调性及其几何意义2会运用函数图像理解和研究函数的性质3会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义【直击考点】题组一常识题1教材改编 函数f(x)(a1)xa是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】a1【解析】a10即a1时，f(x)(a1)xa是R上的增函数2教材改编 函数f(x)(x2)21(x3，0)的单调递增区间是_；单调递减区间是_【答案】3，2(2，0【解析】易知函数f(x)(x2)21(x3，0)的单调递增区间是3，2，单调递减区间是(2，03教材改编 函数f(x)(x4
2、，5)的最大值与最小值分别是_【答案】2，1【解析】函数f(x)在4，5上是减函数，所以最大值为f(4)2，最小值为f(5)1.题组二常错题4在下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是_(填序号)f(x)；f(x)(x1)2；f(x)ex；f(x)ln(x1)【答案】【解析】由题意知f(x)在(0，)上是减函数中，f(x)满足要求；中，f(x)(x1)2在0，1上是减函数，在(1，)上是增函数；中，f(x)ex是增函数；中，f(x)ln(x1)是增函数5已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有1，函数f(x)的单调递减区间为.7函数yf(x)是定义在2，
3、2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_【答案】1，1)【解析】由条件得 解得1abc【解析】因为函数yx在(0，)上为增函数，且a24，b3，c，所以abc.10 函数f(x)(x3)的最大值为_【答案】3【解析】f(x)1在区间3，)上是减函数，所以f(x)maxf(3)3.【知识清单】1 函数单调性的判断函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.2 函数单调性的应用单调性的应用主要体现在利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调
4、性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用【考点深度剖析】 函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式【重点难点突破】考点1 函数单调性的判断【1-1】“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的_条件.【答案】充分必要当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充要条件【1
5、-2】函数ylog (2x23x1)的单调减区间为_【答案】(1，)【1-3】讨论函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性【答案】f(x)在(1,1)上为减函数【解析】设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减函数【1-4】函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.求证：f(x)在R上是增函数；【答案】详见解析【解析】证明设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x
6、1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(3a)的解集为_【答案】(1,4)【解析】作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1af(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2.当要比较的函数值不在对称轴的同一侧，即不在同一单调区间上时，可通过比较相应自变量值与对称轴的距离的大小进行判断【温馨提醒】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值【易错试题常警惕】分段函数的单调性问题，一定要保证各段上同增（减）和上、下段间端点值间的大小关系如：是上的单调递增函数，则实数的取值范围是_ 【分析】因为是上的单调递增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是【易错点】忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误【练一练】已知函数f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是_.【答案】(0，2【解析】由题意得解得0a2.
