1、课时作业(十三)一、选择题1下列说法正确的有(A)两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形A1个B2个C3个D4个【解析】中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；很明显是正确的2(2021江苏高考真题)若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是(C)A1B21C1D12【解析】根据题意作图，设圆锥的底面圆半径为r，
2、高为h，母线长为l.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有2rcos 45l，lr.该圆锥的底面积与侧面积比值为.故选C.3我国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF，EF平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为(B)A6BCD12【解析】如图，作FNAE，FMED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍甍的体积为：VF-MNBCVADE-NMFS四边形MNBC2S直截面22.故选B.4用半径为3 cm，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高
3、为(B)A1 cmB2 cmC. cmD2 cm【解析】设圆锥的底面半径为r cm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2r3，即底面圆的半径为1，所以圆锥的高h2.故选B.5九章算术中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求球的直径d的公式d.若球的半径为r1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为(D)ABCD【解析】根据公式d得，2，解得V.故选D.6(2021全国高三模拟)已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为(C)A18B27C36D45【解析】根据三视图还原原几何体，如下图所示：由图可知，该几何体为
4、三棱锥A-BCD，且AB平面BCD，将三棱锥A-BCD补成长方体AEFG-BCDH，所以，三棱锥A-BCD的外接球直径为2R6，故R3，因此，该几何体的外接球的体积为VR336.故选C.7(2021沂水县第一中学高三模拟)阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积等于圆柱体积的三分之二那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为(C)ABCD【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则圆柱的表面积为S2R22
5、R2R6R2，球的表面积为S球4R2.所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为.故选C.8(2021榆林模拟)阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥已知在阳马P-ABCD中，PD平面ABCD，PD3，且阳马P-ABCD的体积为9，则阳马P-ABCD外接球表面积的最小值是(C)AB9C27D27【解析】由题意可知阳马的体积为：ABBCPDABBC9，设阳马的外接球的半径为R，则4R2AB2BC2PD2AB2BC292ABBC927，当且仅当ABBC时等号成立，所以阳马的外接球的表面积4R227.故选C.二、填空题9(2020江苏省泰州中学、宜兴中学、
6、江都中学联考)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_6_.【解析】因为圆柱的表面积为2r22rl，r1，l2，所以圆柱的表面积为6.10若正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4，则它的体积为_8_.【解析】设四棱锥为P-ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连结PE，OE，则PECD，OE，S侧面4SPCD4CDPE4，PE，PO3，正四棱锥体积V2238.11(文)(2021贵州省瓮安中学高三模拟)已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且ABBC6，AC4，则球面面积为_54_.【解析】如图所示，设外接球O，截面圆圆心为O1，连接BO
7、，BO1，OO1，则OO1BO1.cos B，sin B，BO1OB2OO1，OBO1，BO，球面面积为S4R254，故答案为54.三、解答题12(2021浙江高三期末)如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1B1C12，A1B1C190，AA15，BB14，CC13，求：(1)该几何体的体积；(2)该几何体的表面积【解析】(1)把几何体ABC-A1B1C1补成直棱柱A1B1C1-ADE，如图，过C作与底面平行的截面CMN，则截得两个直棱柱，则AM2，BNBD1，CE2，SA1B1C1222，VADE-MNC224，VMNC-A1B1C123
8、6，所以VABC-A1B1C1648.(也可求出四棱锥C-ABNM的体积为2)(2)A1C12，因此S梯ABB1A1(54)29，S梯BB1C1C(43)27，S梯CC1A1A(35)28，又AC2，BCAB，等腰三角形ABC的底边AC上的高为h，SABC2，所以所求表面积为S2978188.13(2021江西高三模拟)长方形纸片ABCD中，AB4，BC3，E，F分别为AB，CD的中点，沿对角线AC把纸片折成空间四边形ABCD.(1)求四面体ABCD的外接球的表面积；(2)当折起到平面ACD垂直于平面ABC的位置时，求四面体AEFC的体积【解析】(1)设AC的中点为O，依题意可知，OAOBOCOD，所以点O为四面体ABCD的外接球的球心，显然，其半径RAC，故外接球的表面积S球4R225.(2)由等面积法易得直角DAC斜边AC上的高为，当平面ACD平面ABC时，显然，直角DAC斜边AC上的高即为三棱锥D-ABC的高，又E、F分别是AB、CD的中点，所以四面体AEFC的体积VAEFCVF-AECVD-ABC6.
