1、单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2017宁夏石嘴山第三中学模拟,文5)双曲线C:=1的渐近线方程为y=x,则曲线C的离心率为()A.B.C.D.3.(2017湖南岳阳一模,文9)已知直线l:=1(a0,b0)将圆C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为()A.8B.4C.2D.14.(2017辽宁沈阳一模,文7)圆
2、x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.45.(2017福建厦门一模,文2)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为y=x,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.6.(2017湖北武汉二月调考,文7)已知直线l:mx+y-1=0(mR)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.37.(2017江西宜春中学3月模拟,文11)若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.
3、58.(2017福建南平一模,文11)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2D.29.(2017湖南岳阳一模,文11)已知双曲线=1(a0,b0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=4,则双曲线的离心率为()A.+1B.2(+1)C.D.210.(2017福建莆田一模,文8)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若|FA|=3,则直线FA的倾斜角为()A.B.C.D.11.(2017福建龙岩一模,文1
4、1)已知离心率为的双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OMMF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.412.(2017福建厦门一模,文11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且AFB=(为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,若的最小值为1,则=()A.B.C.D.导学号24190992二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017北京丰台一模,文13)已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足P
5、APB,则k的取值范围是.14.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.15.(2017山东潍坊一模,文14)已知抛物线C:y2=4x的焦点F,直线MN过焦点F且与抛物线C交于M,N两点,D为线段MF上一点,且|MD|=2|NF|,若|DF|=1,则|MF|=.16.(2017山东淄博二模,文12)过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当|AB|=4时,直线l的方程为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2017安徽蚌埠一模,文20)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,F1,
6、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且PF1F2的周长是8+2.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.18.(14分)(2017吉林延边州模拟,文20)已知ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上的动点,PBC的外接圆为O1(O1为圆心),当点P在轨迹M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.19.(14分)(2017河南洛阳一模,文20)已知椭圆C:=1(ab0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一
7、点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于点Q,求证:|PN|QM|为定值.20.(14分)(2017湖南岳阳一模,文20)已知椭圆C:=1(ab0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=2,点A,B在椭圆上,F1在线段AB上,且ABF2的周长等于4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N,求PMN面积的最大值.21.(14分)已知F1,F2是椭圆=1(ab0)的左、右焦点,且离心率e=,点P为椭圆上的一
8、个动点,PF1F2的内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,满足向量共线,共线,且=0,求|+|的取值范围.导学号24190994单元质检卷九解析几何1.C当a=3时,两直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,此时两条直线平行成立;反之,当两条直线平行时,有-,且-a,a=3.a=3是两条直线平行的充要条件.故选C.2.B由题意知,即b=a.又c=a,所以e=,故选B.3.B圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),则=12,ab8,当且仅当a=2,b=4时,等号成立.直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=ab4
9、.直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是4,故选B.4.B由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是:d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.5.D双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为y=x,.双曲线的离心率为e=,故选D.6.A由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C(2,-1),半径r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),2m-1-1=0,m=1,点A(
10、-2,1).AC=,CB=r=2,切线的长|AB|=4.7.C圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以21+1k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x-2y-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-.所以四边形的面积为31,故选C.8.C圆的方程为x2+(y-1)2=1,圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小,切线长为2,PA=PB=2,圆心到直线l的距离为d=,直线方程为y+4=kx,即
11、kx-y-4=0.,解得k=2.k0,所求直线的斜率为2.故选C.9.A抛物线y2=8x的焦点F(2,0),两曲线的一个交点为P,若|PF|=4,则P(2,4)或(2,-4),可得=4,即=4,解得a=2-2.e=+1.10.C设点A坐标为(x,y),抛物线C:y2=3x的焦点为F.根据抛物线定义可知x+=3,解得x=,代入抛物线方程求得y=,故点A坐标为,直线AF的斜率为=,则直线FA的倾斜角为.故选C.11.B设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|=b.OMMF2,|OM|=a.由=16,可得ab=16.即ab=32.又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线
12、的实轴长为16.故选B.12.C如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos .的最小值为1,a2+b2-2abcos ,当=时,不等式恒成立.故选C.13.以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得(1+k2)x2+(2k-4)x+4=0.直线y=kx+1上存在点P,满足PAPB,=(2k-4)2-16(1+k2)0,化为3k
13、2+4k0.解得-k0,则k的取值范围是.14.4圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为(2+a2)=4.15.依题意F(1,0),设直线MN的方程为x=my+1.将直线MN的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-4my-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4.因为|MD|=2|NF|,|DF|=1,所以x1=2x2+2.联立和,消去y1,y2,得m=,m=,y1=,|MF|=x1+1=,m=-,y
14、1=-,|MF|=x1+1=,故答案为.16.x+2y-3=0直线经过点(1,1)与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,|AB|=4,则圆心到直线的距离为,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x-1)+1,即kx-y-k+1=0,圆心到直线kx-y-k+1=0的距离d=,解得k=-,直线l的方程为x+2y-3=0.17.解 (1)由题意,e=,可知a=4b,c=b.PF1F2的周长是8+2,2a+2c=8+2,a=4,b=1.所求椭圆方程为+y2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在
15、斜率,则设其方程为l:y=kx+1,由直线y=kx+1与圆T相切可知,即32k2+36k+5=0,k1+k2=-,k1k2=.由得(1+16)x2+32k1x=0,xE=-.同理xF=-,kEF=.故直线EF的斜率为.18.解 (1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义.设椭圆的方程为=1(ab0且y0),所以有|BC|=2c=2,|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=.所以动点A的轨迹C满足的方程为=1 (y0).(2)设P(x0,y0),不妨设0y0,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.=1,y=.O1的圆
16、心O1到x轴的距离d=.又y=在(0,)内是单调递减函数,当y0=时,ymin=,dmin=.19.(1)解 由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),2a=|AF1|+|AF2|=8.a=4,b2=a2-c2=4,e=,椭圆C的标准方程为=1.(2)证明 T(x0,y0)(x00,y00),则=1,N(0,2),M(4,0),直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程:y=(x-4),令x=0,得P,则|MQ|=,则|PN|=,|PN|QM|=16,|PN|QM|为定值16.20.解 (1)由ABF2的周长等于4,可得4a=4,a=.由|F1F2|=2,得c=,b2=
17、a2-c2=1.椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设P(xP,yP),则=4.若两条切线中有一条切线的斜率不存在,则xP=,yP=1.另一条切线的斜率为0,从而PMPN,此时SPMN=|PM|PN|=22=2.若两条切线的斜率均存在,则xP.设过点P的椭圆的切线方程为y-yP=k(x-xP),代入椭圆方程,消去y并整理得,(1+3k2)x2+6k(yP-kxP)x+-3=0.依题意得=0,即(3-)k2+2xPyPk+1-=0.设切线PM,PN的斜率分别为k1,k2,从而k1k2=-1.PMPN,则线段MN为圆O的直径,|MN|=4.SPMN=|PM|PN|(|PM|2+|PN|2)=|MN|
18、2=4.当且仅当|PM|=|PN|=2时,PMN取最大值4.综上,PMN面积的最大值为4.21.解 (1)由几何性质可知,当PF1F2的内切圆面积最大时,即取最大值,则()max=2cb=bc.由r2=,解得r=.又由PF1F2的周长为2a+2c定值,故.又e=,可得a=2c,即b=2,故c=2,b=2,a=4,故椭圆方程为=1.(2)当直线AC和BD中有一条垂直于x轴时,|+|=6+8=14.当直线AC的斜率存在但不为0时,设AC的方程为y=k(x+2),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,代入弦长公式得,|=.同理由消去y,代入弦长公式得|=.故|+|=,令=t(0,1),则-t2+t+12.则|+|.由可知|+|的取值范围是.
