1、三 直线的参数方程考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义2.能用直线的参数方程解决简单问题重点：掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义难点：能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(弦长问题、中点问题等).01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理1直线的参数方程(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数为_(2)由 为直线的倾斜角知时，sin 0.2直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的点 M 到定点 M0 的距离(1)当 M0M与 e(直线的单位方向向量)同向时，t
2、 取(2)当 M0M与 e 反向时，t 取，当 M 与 M0 重合时，t0.xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)0，)正数负数双基自测1已知直线 l 的方程x1tsin 25，y2tcos 25(t 为参数)，那么直线 l 的倾斜角()A65 B25C155 D115解析：方程x1tsin 25，y2tcos 25(t 为参数)，化为标准形式x1tcos 115，y2tsin 115(t 为参数)，倾斜角为 115.答案：D2以 t 为参数的方程x112t，y2 32 t表示()A过点(1，2)且倾斜角为3的直线B过点(1,2)且倾斜角为3的直线C过点(1，2)且倾斜角为23 的直线D
3、过点(1,2)且倾斜角为23 的直线解析：化参数方程x112t，y2 32 t(t 为参数)为普通方程得 y2 3(x1)直线过定点(1，2)，斜率为 3，倾斜角为23，故选 C.答案：C3极坐标方程 cos 和参数方程x1t，y23t(t 为参数)所表示的图形分别是()A圆、直线B直线、圆C圆、圆D直线、直线解析：cos，2cos，x2y2x，即(x12)2y214表示圆，x1t，y23t消 t 后，得 3xy10，表示直线故选 A.答案：A4直线 xy1 的一个参数方程的标准形式是_解析：k1，34，一个参数方程的标准形式是x1tcos 34 1 22 t，y 22 t.答案：x1 22
4、t，y 22 t 探究一 直线参数方程的概念 例 1 已知直线 l 过点 P(3,4)，且它的倾斜角 120.(1)写出直线 l 的参数方程；(2)求直线 l 与直线 xy10 的交点坐标解析(1)直线 l 的参数方程为x3tcos 120，y4tsin 120(t 为参数)，即x312t，y4 32 t(t 为参数)(2)把x312t，y4 32 t代入 xy10，得 312t4 32 t10，解得 t0.把 t0 代入x312t，y4 32 t，得两条直线的交点坐标为(3,4)怎样求参数方程(1)由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程(2)只有直线的参数方程的标准形式，参数
5、 t 才有我们学习过的几何意义，因此要使用这种几何意义解题时，必须用这种形式的参数方程如果直线的参数方程不是标准形式，就要根据参数方程含有的点 M0(x0，y0)及斜率ktan，首先把参数方程写成标准形式，或者化为普通方程，用普通方程的方法求解1下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的起点坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式(其中，t 为参数)(1)x24t，y13t；(2)x12 22 t，y 32 22 t.解析：(1)x24t，y13t 不是直线参数方程的标准形式，参数方程即x2455t，y1355t.令 t5t，得到标准形式的参数方程为x245t，y135t
6、(t为参数)(2)x12 22 t，y 32 22 t是直线参数方程的标准形式，其中，起点坐标为12，32，cos 22，sin 22，倾斜角 4.探究二 用直线参数方程求弦长 例 2 如图所示，已知直线 l 过点 P(2，0)，斜率为43，直线 l和抛物线 y22x 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求：(1)P，M 间的距离|PM|；(2)线段 AB 的长|AB|.解析(1)直线 l 过点 P(2,0)，斜率为43，设直线 l 的倾斜角为，则 tan 43，cos 35，sin 45，直线 l 的参数方程的标准形式为x235t，y45t(t 为参数)(*)直线 l 和抛物线
7、相交，将直线 l 的参数方程(*)代入抛物线方程 y22x 中，整理得 8t215t500，15248500.设这个一元二次方程的两个根为 t1，t2，由根与系数的关系得 t1t2158，t1t2254.由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得|PM|t1t221516.(2)|AB|t1t2|t1t224t1t258 73.在求直线 l 与曲线 C：f(x，y)0 的交点间的距离时，把直线 l 的参数方程代入f(x，y)0，可以得到一个关于 t 的方程 f(x0tcos，y0tsin)0.假设该方程的解为 t1，t2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，那么由参数 t
8、 的几何意义可得|AB|t1t2|.这样的求法比用普通方程的方法要简便2直线x12t，y2t(t 为参数)与圆x3cos，y3sin(为参数)交于 A、B 两点，求|AB|的长解析：若求|AB|的长度，显然要根据直线的参数方程的参数的几何意义，把圆的方程由参数方程化为普通方程由圆的参数方程x3cos，y3sin(为参数)知圆的普通方程为 x2y29，所以将直线方程x12t，y2t(t 为参数)代入圆方程，得(12t)2(2t)29，即 5t28t40，所以由 t1t285，t1t245知|AB|221|t1t2|5 t1t224t1t2 564802512 55.探究三 直线参数方程的综合应用
9、 例 3 直线 l 通过双曲线x24 y21 的右焦点 F2，且与双曲线的右支交于 A、B 两点，将 A、B 与双曲线的左焦点 F1 连接起来，求|F1A|F1B|的最小值解析 如图所示，据已知有右焦点 F2(5，0)设 l：x 5tcos，ytsin(t 为参数)，代入x24 y21，化简得(5cos24)t22 5tcos 10.(2 5cos)24(5cos24)10，设这个方程的两个根为 t1，t2，则 t1t2 2 5cos 45cos2，t1t215cos24，则|t1t2|t1t224t1t24|5cos24|，|t1t2|1|5cos24|.由双曲线定义知：|F1A|F2A|4
10、|F1A|4|F2A|.同理：|F1B|4|F2B|.|F1A|F1B|(4|F2A|)(4|F2B|)164(|F2A|F2B|)|F2A|F2B|164|t1t2|t1t2|161745cos216174 814(2时，等号成立)|F1A|F1B|的最小值为814.1过定点的直线由倾斜角 确定方向，本题中直线不确定，从而目标|F1A|F1B|要化为 的目标函数2由于 A(t1)，B(t2)中参数 t1，t2表示的是有向线段 F2A 与 F2B 的数量，所以|F1A|t1|，|F2A|t2|，本题中点 F2 在 A、B 之间，故|F2A|F2B|AB|t1t2|.如果点 F1在 A，B 两点
11、同侧，则 F1A 与 F2B 的参数 t1，t2同号，|F1A|F2B|t1t2|t1t2|.3直线的参数方程中，F1A 与|F1A|的含义是不同的，要注意区分3(2016高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x112t，y 32 t(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为xcos，y2sin(为参数)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长解析：椭圆 C 的普通方程为 x2y241.将直线 l 的参数方程x112t，y 32 t代入 x2y241，得(112t)2 32 t241，即 7t216t0，解得 t10，t2167.所以 AB|t
12、1t2|167.参数方程与极坐标方程的综合应用 典例(本题满分 10 分)已知直线 l 经过点 P12，1，倾斜角 6，圆 C 的极坐标方程为 2cos4.(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；(2)设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之积解析(1)直线 l 的参数方程为x12tcos 6，y1tsin 6(t 为参数)，即x12 32 t，y112t(t 为参数).2 分由 2cos4 得 cos sin，所以 2cos sin，得 x2y2xy，即圆 C 的直角坐标方程为x122y12212.5 分(2)把 x12 32 t
13、，y112t代入x122y12212，得 t212t140，7 分设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，则 t1t214，所以|PA|PB|t1t2|14.10 分规律探究 当题目中出现参数方程和极坐标方程时，一般都是化成普通方程运用解析几何知识求解，但这不一定是最好的方法本题把圆的极坐标方程化为普通方程，把直线方程写成参数方程利用参数的几何意义求解就比较简捷随堂训练1直线x3tsin 15，ytcos 15(t 为参数)的倾斜角为()A15 B30C75 D105解析：将原参数方程化为x3tcos 75，ytsin 75，所以直线的倾斜角为 75.答案：C2直线x23t，y1t(t
14、为参数)上对应 t0，t1 两点间的距离是()A1 B.10C10 D2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，t 不具有标准形式中参数的几何意义，故不能直接由 101 来得出距离，应将 t0，t1 分别代入方程得到两点坐标(2，1)和(5,0)，由两点间的距离公式来求出距离，即 252102 10.答案：B3已知 P1，P2 是直线x112t，y2 32 t(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为 t1，t2，则线段 P1P2 的中点到点 P(1，2)的距离是()A.|t1|t2|2B.|t1t2|2C.|t1t2|2D.|t1|t2|2解析：由 t 的几何意义可知，P1P2 的中点对应的参数为t1t22，P 对应的参数为 t0，故它到点 P 的距离为|t1t2|2.答案：B课时作业
