1、课时跟踪检测（二十九） 等比数列一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018如东中学检测)已知等比数列an的公比q，则_.解析：2.答案：22(2018盐城期中)在等比数列an中，已知a1a21，a3a42，则a9a10_.解析：设等比数列an的公比为q，则a3a4q2(a1a2)，所以q22，所以a9a10q8(a1a2)16.答案：163在正项等比数列an中，a11，前n项和为Sn，且a3，a2，a4成等差数列，则S7_.解析：设an的公比为q，则2a2a4a3，又a11，所以2qq3q2，解得q2或q1，因为an0，所以q0，所以q2，所以S7127.答案：1274在等比数列an中，若a1
2、a516，a48，则a6_.解析：由题意得，a2a4a1a516，所以a22，所以q24，所以a6a4q232.答案：325在等比数列an中，an0，a5a115，a4a26，则a3_.解析：因为a5a115，a4a26.所以(q1)两式相除得，即2q25q20，所以q2或q，当q2时，a11；当q时，a116(舍去)所以a31224.答案：46(2018常州期末)已知等比数列an的各项均为正数，且a1a2，a3a4a5a640，则的值为_解析：两式相除可得q2q490，即q210(舍)或q29.又an0，所以q3，故a1，所以a7a8a93435361 053，即117.答案：117二保高考
3、，全练题型做到高考达标1已知数列an为等比数列，若a4a610，则a7(a12a3)a3a9_.解析：a7(a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2a4a6a(a4a6)2102100.答案：1002设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9_.解析：因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6.所以a7a8a9.答案：3已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)_.解析：因为log3an1log3an1，所以an13a
4、n.所以数列an是以公比q3的等比数列因为a5a7a9q3(a2a4a6)，所以log(a5a7a9)log(933)log355.答案：54(2018启东检测)数列an满足an1an1(nN*，R且0)，若数列an1是等比数列，则_.解析：由an1an1，得an11an2.因为数列an1是等比数列，所以1，得2.答案：25已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为_解析：设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.因为qm19，所以qm8.所以qm8，所以m3，所以q38，所以q2.答案：26(2018海安中学测试)在各项均为正数的等比数列an中，若am
5、1am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m_.解析：由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为常数列，an2，所以T2m122m151229，即2m19，所以m5.答案：57已知数列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，则其前9项和S9_.解析：由已知，得a4anan14a，即a4anan14a(an12an)20，所以an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故S921021 022.答案：1 0228(2017南京三模)若等比数列an的各项均为正数，且a3a12，则a5的最小值为_解析：设等比数列an的公
6、比为q.因为a3a12，所以a1(q21)2，即a10(q1)，所以a5a1q4，设tq210，即q2t1，所以a5228，当且仅当t1，即q时取等号，故a5的最小值为8.答案：89在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则依题意有解得d1或d0(舍去)，所以an1(n1)n.(2)由(1)得ann，所以bn2n，所以2，所以bn是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn2n12.10(2018苏州高三期中调研)已知数列an各项均为正数，a11，a22，且anan
7、3an1an2对任意nN*恒成立，记an的前n项和为Sn.(1)若a33，求a5的值；(2)证明：对任意正实数p，a2npa2n1成等比数列；(3)是否存在正实数t，使得数列Snt为等比数列若存在，求出此时an和Sn的表达式；若不存在，说明理由解：(1)因为a1a4a2a3，所以a46，又因为a2a5a3a4，所以a5a49.(2)证明：由两式相乘得anan1an3an4an1aan3，因为an0，所以anan4a(nN*)，从而an的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q1，q2，则a2na2q2q，a2n1a1qq，又因为，所以2，即q1q2，设q1q2q，则a2npa2n1q(a2
8、n2pa2n3)，且a2npa2n10恒成立，所以数列a2npa2n1是首项为2p，公比为q的等比数列(3)法一：在(2)中令p1，则数列a2na2n1是首项为3，公比为q的等比数列，所以S2k(a2ka2k1)(a2k2a2k3)(a2a1)S2k1S2ka2k且S11，S23，S33q，S433q，因为数列Snt为等比数列，所以即即解得或(舍去)所以S2k4k122k1，S2k122k11，从而对任意nN*有Sn2n1，此时Snt2n，2为常数，满足Snt成等比数列，当n2时，anSnSn12n2n12n1，又a11，所以an2n1(nN*)，综上，存在t1使数列Snt为等比数列，此时an
9、2n1，Sn2n1(nN*)法二：由(2)知a2n2qn1，a2n1qn1，且S11，S23，S33q，S433q，因为数列Snt为等比数列，所以即即解得或(舍去)所以a2n2qn122n1，a2n122n2，从而对任意nN*有an2n1，所以Sn2021222n12n1，此时Snt2n，2为常数，满足Snt成等比数列，综上，存在t1使数列Snt为等比数列，此时an2n1，Sn2n1(nN*). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1数列an是以a为首项，q为公比的等比数列，数列bn满足bn1a1a2an，数列cn2b1b2bn，若cn为等比数列，则aq_.解析：由题意知q1.因为数列an是以a为首
10、项，q为公比的等比数列，所以bn1，所以cn2n，要使cn为等比数列，则20且0，所以a1，q2，则aq3.答案：32(2018泰州中学高三学情调研)设正项等比数列an满足2a5a3a4，若存在两项an，am，使得a14，则mn_.解析：设等比数列an的公比为q.正项等比数列an满足2a5a3a4，则2a3q2a3(1q)，可得2q2q10，q0，解得q，若存在两项an，am，使得a14，可得a14 ，所以mn6.答案：63(2018苏锡常镇调研)已知数列an的前n项和为Sn，a13，且对任意的正整数n，都有Sn1Sn3n1，其中常数0.设bn(nN*)(1)若3，求数列的通项公式；(2)若1
11、且3，设cnan3n(nN*)，证明数列是等比数列；(3)若对任意的正整数n，都有bn3，求实数的取值范围解：因为Sn1Sn3n1，nN*，所以当n2时，SnSn13n，从而an1an23n，n2，nN*在Sn1Sn3n1中，令n1，可得a2a1231，满足上式，所以an1an23n，nN*.(1)当3时， an13an23n，nN*，从而，即bn1bn，又b11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以bn1(n1).(2)证明：当0且3且1时，cnan3nan123n13nan13n1(33)cn1，又c130，所以是首项为，公比为的等比数列，故cnn1.(3)在(2)中，若1，则cn0也可使an有意义，所以当3时，cnn1.从而由(1)和(2)可知an当3时，bn，显然不满足条件，故3.当3时，bnn1.若3, 0，bnbn1，nN*，bn1，)，不符合，舍去若00，0，bnbn1，nN*，且bn0.所以只需b113即可，显然成立故01符合条件；若1，bn1，满足条件故1符合条件；若13，0，从而bn0.故bn，要使bn3恒成立，只需3即可所以1.综上所述，实数的取值范围是.
