1、第11讲 导数与函数的单调性1函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析 由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33，令f(x)0，即3(x11)(x1)0，解得1x0时，f(x)0，f(x)是增函数；当x0时，f(x)0，f(x)是减函数又f(3)f(5)1，因此不等式f(x)1的解集是(3，5)答案 (3，5)5已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_解析 设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1，1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0
2、，可得c2.答案 2或26若函数f(x)x3x2ax4恰在1，4上单调递减，则实数a的值为_解析 因为f(x)x3x2ax4，所以f(x)x23xa，又函数f(x)恰在1，4上单调递减，所以1，4是f(x)0的两根，所以a(1)44.答案 47已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析 由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0)，当x0时，有00且a13，解得1a2.答案 10)，由f(x)在点(1，f(1)处
3、的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)(x0)令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0，5)11(2018沈阳质检)已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解 (1)由已知得f(x)，所以f(1)1a，a2.又因为g(1)0ab，所以b1，所以g(x)x1.(2)因为(x)f
4、(x)ln x在1，)上是减函数所以(x)0在1，)上恒成立，即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，因为x2，)，所以2m22，m2.故实数m的取值范围是(，21已知函数f(x)loga(x3ax)(a0且a1)，如果函数f(x)在区间内单调递增，那么a的取值范围是_解析 由题意可知x3ax0，x恒成立，所以a(x2)max，即a.当a1时，函数yx3ax，x递减，y3x2a0，x恒成立，所以a(3x2)max，故a1时，函数yx3ax，x递增，y3x2a0，x恒成立，所以a(3x2)min，a0，舍去，综上a的取值范围是.答案 2已知函数f(x)(xR)满足f(1)1
5、，且f(x)的导函数f(x)，则f(x)的解集为_解析 设F(x)f(x)，则F(1)f(1)110，F(x)f(x)，对任意xR，有F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减，则F(x)0的解集为(1，)，即f(x)的解集为(1，)答案 (1，)3(2018江苏省盐城中学开学考试)已知R上的可导函数f(x)的导函数f(x)满足：f(x)f(x)0，且f(1)1，则不等式f(x) 的解集是_解析 令g(x)exf(x)，则g(x)exf(x)exf(x)0，所以函数g(x)是R上的增函数，又不等式f(x)等价于exf(x)ee1f(1)，即g(x)g(1)，从而有x1，所以不等式f(x)
6、的解集为(1，)答案 (1，)4(2018辽宁省五校协作体联考改编)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为 yf(x)，当x0时，f(x)0，若af，b2f(2)，cf，则a，b，c的大小关系为_解析 当x0时，f(x)0，即0.当x0时，xf(x)f(x)0. 设g(x)xf(x)，则g(x)为偶函数且g(x)xf(x)f(x)显然当x0时，g(x)0，即此时函数g(x)单调递增ag，bg(2)g(2)，cgg(ln 2)，又因为2ln 20，所以acb.答案 ac0时，f(x)0，当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(
7、2)当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.显然x10.当0xx2时，f(x)x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.6已知函数f(x)x2bsin x2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0，1)上单调递减，求实数a的取值范围解 (1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0，即x2bsin x(x)2bsin(x)0对xR恒成立，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22.(2)因为g(x)x222(x1)aln x，所以g(x)x22xaln x，g(x)2x2.因为函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以在区间(0，1)内，g(x)2x20恒成立，所以a(2x22x)在(0，1)上恒成立因为y(2x22x)在(0，1)上单调递减，所以a4为所求
