1、课时作业梯级练十一函数与方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x-sin x在下列哪个区间必有零点()A.B.C.D.【解析】选B.函数y=f(x)的零点是方程x=sin x的实根,作出y=x和y=sin x的部分图象如下:由f(0)=0,f=-10,知ff()2时,f(x)0恒成立,所以结合所给选项和图象可知只有区间上有零点,故选B.2.若函数f(x)=ln x-+a在区间(1,e)上存在零点,则常数a的取值范围为()A.0a1B.a1C.-1a1D.-+1a1【解析】选C.函数f(x)=ln x-+a在区间上为增函数,因为f(1)=ln 1-1+a0,可得-1a1.3.已
2、知函数f(x)=-cos x,则f(x)在0,2上的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.作出g(x)=与h(x)=cos x的图象(图略),可以看出函数g(x)与h(x)在0,2上的图象的交点个数为3,所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3.4.已知函数f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零点依次为a,b,c,则()A.abcB.acbC.bcaD.bac【解析】选A.令函数f(x)=2x+x+1=0,则由x=-2x-1可知x-1,即a-1;令g(x)=log2x+x+1=0,则0x1,即0b1;令h(x)=log2x-1=0,可知
3、x=2,即c=2.显然abc.5.(2021玉林模拟)已知函数f=若abc,且满足f=f=f,则abc的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选A.由函数f的图象(如图),可知a0b0).(1)作出函数f(x)的图象.(2)当0ab,且f(a)=f(b)时,求+的值.(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.【解析】(1)如图所示.(2)因为f(x)=故f(x)在(0,1上是减函数,而在(1,+)上是增函数.由0ab且f(a)=f(b),得0a1b,且-1=1-,所以+=2.(3)由函数f(x)的图象可知,当0m1时,函数f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,即方程f(
4、x)=m有两个不相等的正根.10.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=(1)求g(f(1)的值.(2)若方程g(f(x)-a=0有4个不同的实数根,求实数a的取值范围.【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在(-,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图象如图,由图象可知,当1a时,函数y=g(t)(t1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.1.(5分)设方程10x=|lg(-x)
5、|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x21D.0x1x21【解析】选D.作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x10,x20.不妨令x1x2,则x1-1x20,所以1=lg(-x1),1=-lg(-x2),此时11,即lg(-x1)-lg(-x2),由此得lg(x1x2)0,所以0x1x21.2.(5分)(2021百色模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间-5,1上的所有实根之和为()A.-9B.9C.-7D.7【解析】选C.由题意知g(x)=2+,函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g
6、(x)在区间-5,1上的大致图象如图所示:由图形可知函数f(x),g(x)在区间-5,1上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为-3,若设C的横坐标为t(0t1),则点A的横坐标为-4-t,所以方程f(x)=g(x)在区间-5,1上的所有实数根之和为-3+(-4-t)+t=-7.【加练备选拔高】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=2a(aR)恰好有两个不同的实根,则实数a的取值范围为()A.a1B.a=C.1D.aR【解析】选C.作出函数f(x)的图象如图:因为关于x的方程f(x)=2a恰好有两个不同的实根,所以y=2a与函数y=f(x)的图象恰有两个交点,所以2a2或1或a.3.(5分
7、)(2021大理模拟)已知函数f(x)=x2+ex(x0)与g(x)=x2+ln (x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.(-,e)B.(-,)C.(-,e)D.(-e,)【解析】选A.若函数f=x2+ex与g=x2+ln图象上存在关于y轴对称的点,则等价为f=g,在x0时方程有解,即ex-ln=0在上有解,令m=ex-ln,则m=ex-ln在其定义域上是增函数,且x-时,m0,故ex-ln=0在上有解,当a0时,则ex-ln=0在上有解可化为e0-ln a0,即ln a1,故0ae,综上所述,a.4.(10分)函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)=对任意的x
8、R都有f(x+2)=f(x-2).若在区间-5,3上函数g(x)=f(x)-mx+m恰好有三个不同的零点,求实数m的取值范围.【解析】因为对任意的xR都有f(x+2)=f(x-2),所以函数f(x)的周期为4.由在区间-5,3上函数g(x)=f(x)-mx+m有三个不同的零点,知函数f(x)与函数h(x)=mx-m的图象在-5,3上有三个不同的交点.在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间-5,3上的图象,如图所示.由图可知m,即-m0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点.【解析】(1)因为g
9、(x)=x+2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域为2e,+),因而只需m2e,则g(x)=m就有零点,即m的取值范围为2e,+).(2)函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点,即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x0)的图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+).1
10、.(2021德州模拟)已知函数f(x)是定义在(-,0)(0,+)上的偶函数,当x0时,f(x)=则函数g(x)=f(x)-2的零点个数为()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.由g(x)=f(x)-2=0,得f(x)=2,要判断函数g(x)的零点个数,则根据f(x)是定义在(-,0)(0,+)上的偶函数,只需要判断当x0时f(x)=2的根的个数即可,当0x2时,f(x)=1,2;当2x4时,0x-22时,f(x)=2f(x-2)=22,4;当4x6时,2x-24时,f(x)=2f(x-2)=44,8,作出函数f(x)在(0,6上的图象,由图象可知f(x)=2有2个根,则根据偶函数的对称性可
11、知f(x)=2在(-,0)(0,+)上共有4个根,即函数g(x)=f(x)-2的零点个数为4.2.已知函数f(x)=-3|x2-1|-b,当_时(从中选出一个作为条件),函数有_.(从中选出相应的作为结论,只填出一组即可)a-;a;a=1,-2b0;a=1,-b-2或b=0;4个极小值点;1个极小值点;6个零点;4个零点.【解析】本题考查函数的极值与零点.f(x)=则f(x)=情况一:,即当a-时,函数f(x)有1个极小值点.当a-时,a+1,-a+2,则当x-1时,f(x)1时,f(x)0,当-1x0时,f(x)0;当0x0,所以f(x)只有1个极小值点x=0.情况二:,即当a时,函数f(x
12、)有4个极小值点.当a时,a+(3,4),a-(0,1),令f(x)=0可得x=0或x=或x=.且易知当x-时,f(x)0;当-x0;当-1x-时,f(x)0;当-x0;当0x时,f(x)0;当x0;当1x时,f(x)时,f(x)0,故此时f(x)有4个极小值点x1=-,x2=-,x3=,x4=.情况三:,即当a=1,-2b0时, 函数f(x)有6个零点.当a=1时,若令t=x2,则函数y=f(x)可转化为g(t)=当0t1时,令g(t)=0,得t2+t=b+2.因为-2b0,所以0b+21时,令g(t)=0,得t2-5t=b-4,因为-2b0,所以-6b-41)的图象与直线y=b-4有两个交
13、点(t2,y2),(t3,y3),其中t2(1,2),t3(3,4),又t=x2,故x3=-,x4=,x5=-,x6=为函数f(x)的4个零点.综上,当a=1,-2b0时,函数f(x)有6个零点.情况四:,即当a=1,-b-2或b=0时,函数f(x)有4个零点.当a=1时,若令t=x2,则y=f(x)可转化为g(t)=当b=0时,函数g(t)=有两个零点1,4,则x=1或2,函数f(x)=(x2-1)2-3|x2-1|有4个零点.当-b-2时,如图所示,若0t1,令g(t)=0得t2+t=b+2,因为-b-2,所以-b+21,令g(t)=0,得t2-5t=b-4,因为-b-2,所以-b-41)的图象与直线y=b-4有两个交点(t1,y1),(t2,y2),其中t1,t2,又t=x2,所以当-b-2时,函数f(x)=(x2-1)2-3|x2-1|-b有4个零点.综上,当a=1,-b-2或b=0时,函数f(x)有4个零点.答案:(答案不唯一)
