1、喀什第二中学2021-2022学年度上学期期中质量监测高二数学本试题满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2. 答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则满足的非空集合B的个数是（ ）A. 1B. 6C.
2、 7D. 82. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）A. 若pq为假命题，则p，q均为假命题B. 命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x1则x2-3x+20”C. 若命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10D. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件3. 已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ）A. 函数在区间上单调递减B. 函数的图象关于直线对称C. 函数图象关于点对称D. 函数的图象关于直线对称4. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）A. B. C
3、. D. 5. 已知数列的各项均为正数，点在抛物线上，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）A. B. C. ，D. ，6. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），分别为，上的点，分别记二面角，的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 7. 设f（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）0，且x1，x2R（x1x2），f（x1）+f（x2）2f（），则下列各项中不一定正确的是（）A. f（2）f（e）f（）B. f（）f（e）f（2）C. f（2）f（2）f（3）f（3）D. f（3）f（3）f（2）f（2）8. 定义在上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：当时，当时，；，则当
4、时，的解集为（ ）A. B. C. D. 9. 设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11. 命题：“若，则”的逆命题为，则下列判断正确的是（ ）A. 是真命题B. 是真命题C. 逆否命题是真命题D. ，都是假命题12. 已知函数的导函数为，对任意的实数都有，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知的最小值为0，则正实数的值为_14. 函数，其导函数为，则_15. 已知函数的图
5、象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在0，上的单调减区间是_16. 已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为_.三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知在中，（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度；周长；面积为.18. 已知正项数列满足，且对任意正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式19. 求函数的最小值20. 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，则取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.21. 已知函数.（1）当时，求曲
6、线在点，处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.22. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长
7、度最短？求出最短长度.喀什第二中学2021-2022学年度上学期期中质量监测高二数学本试题满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2. 答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则满足的非空集合B的个数是（
8、）A. 1B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】根据给定条件可得，且，求出集合A的非空子集个数即可.【详解】依题意，因此有，且，而集合A的子集有个，则集合A的非空子集有7个，所以符合条件的非空集合B的个数是7.故选：C2. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）A. 若pq为假命题，则p，q均为假命题B. 命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x1则x2-3x+20”C. 若命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10D. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用“且”命题真假判断表可判断A；根据四种命题的变换
9、形式可判断B；由全称命题的否定变换形式可判断C；根据充分条件、必要条件的定义可判断D.【详解】A，若pq为假命题，则p，q至少有一个是假命题，故A错误；B，命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x1则x2-3x+20”，故B正确；C，若命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10，故D正确；D，“x=1”可得“x2-3x+2=0”，反之，“x2-3x+2=0”，则或，所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件，故D正确.故选：A3. 已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
10、A. 函数区间上单调递减B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据图象变换的性质及周期求得函数解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项【详解】由已知，向左平移后得，它是偶函数，则，又，所以，所以时，因此A正确；，因此函数图象关于点对称，B正确；，函数图象关于直线对称，C正确；，不是最值，D错误故选：D4. 已知点在函数图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】点在函数的图象上，点坐标为，故选：D5. 已知数列的各项均为
11、正数，点在抛物线上，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）A. B. C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由已知可知，即可求得，利用两点连线的斜率公式即可得解.【详解】，点在抛物线上，即数列是首项为3，公差为4的等差数列，即直线的方向向量为故选：D6. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），分别为，上的点，分别记二面角，的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设为三角形中心，过作，得到，再以为原点建立直角坐标系，得到直线，直线，直线的方程，利用点到直线的距离，求得点O到直线的距离判断.【详解】设为三角形中心，底面如图2，过作，由题意可知，图1
12、 图2由图2所示，以为原点建立直角坐标系，不妨设，则，则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，根据点到直线的距离公式，知，因为，为锐角，所以，故选：B7. 设f（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）0，且x1，x2R（x1x2），f（x1）+f（x2）2f（），则下列各项中不一定正确的是（）A. f（2）f（e）f（）B f（）f（e）f（2）C. f（2）f（2）f（3）f（3）D. f（3）f（3）f（2）f（2）【答案】C【解析】【分析】f（x）0，f（x）在R上单调递增，由，可得，可得yf（x）的图象如图所示，图象是向上凸进而判断出正误【详解】解：f（x）0，f（x）在R上单调递
13、增，yf（x）的图象如图所示，图象是向上凸f（2）f（e）f（），f（）f（e）f（2），可知：A，B正确f（3）f（2），表示点A（2，f（2），B（3，f（3）的连线的斜率由图可知：f（3）kABf（2），故D正确C项无法推出，故选：C8. 定义在上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：当时，当时，；，则当时，的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性、单调性和周期性结合简图可得结果.【详解】定义在R上的图象不间断的奇函数，则，因为当时，即函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，又，则，所以，所以当时，当时，且函数的周期，的图象大致为下图. 则当时，的
14、解集为.故选：D9. 设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题的否定一定是存在性命题，可得命题“”的否定为：“”故选：C.10. 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性知：四边
15、形为平行四边形，且，在中，可得，即，则，椭圆的离心率，故选：C11. 命题：“若，则”的逆命题为，则下列判断正确的是（ ）A. 真命题B. 是真命题C. 的逆否命题是真命题D. ，都是假命题【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质可判断是真命题，举反例可知是假命题，利用命题的否定和原命题的关系，以及原命题和逆否命题真假相同，依次判断即可【详解】由不等式的性质可知“若，则”可知命题是真命题，故D错误；故是假命题，故B错误；所以的逆否命题是真命题，故C正确；逆命题为“若，则”， 取可知是假命题，故A错误；故选：C12. 已知函数的导函数为，对任意的实数都有，则不等式的解集是（ ）A. B. C.
16、D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.【详解】解：由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，在上恒成立，即在上单调递增，又，故为上的偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知的最小值为0，则正实数的值为_【答案】【解析】【分析】将问题转化为的图象在函数的图象上方相切，利用函数的导数和切线的斜率的关系，求出切点坐标即可得解【详解】由于函数的最小值为0，所以恒成立，即恒成立且可取等号，设、所以的图象在函数的图象上方相切，当时，的图象与轴的交点在
17、轴的负半轴上，由图可知当正数最小时，直线与在内相切，对函数求导得到，所以，解得，所以，所以切点的坐标为把点代入得：由于的周期为，故每向左或向右平移都会与曲线相切，又.故答案为：14. 函数，其导函数为，则_【答案】#0.5【解析】【分析】先求导，然后代入，进行求解【详解】因为，所以故答案为：15. 已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在0，上的单调减区间是_【答案】，【解析】【分析】根据正弦型函数的变换性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由题设可知C2的曲线方程:，令，得令k0得C2在0，上的单减区间为，故答案为：，16. 已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则
18、的焦点坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合代入法进行求解即可.【详解】因为在上，所以，又因为，所以，所以该抛物线方程为：，因此的焦点坐标为：，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知在中，（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度；周长为；面积为.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由
19、面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得， ， 解得 ( 2 ) 若选择 : 由正弦定理结合 ( 1 ) 可得与矛盾 , 故这样的不存在；若选择 : 由 ( 1 ) 可得，设 的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得 则周长解得， 则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：若选择： 由 ( 1 ) 可得 ，即 ，则解得则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：=.18. 已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式【答案】证明见解析；【解析】【分析】由条件可得，得到是等差数列，求出通项公式，再利用迭代法可得的通项公式【详解
20、】证明：由题知，得，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，当时，也符合题意，所以，又所以.19. 求函数的最小值【答案】【解析】【分析】将转化成两线段距离之和，利用三角不等式即可求解.【详解】因为，所以为点和之间的距离与和之间的距离之和，即如下图：由三角不等式可知，当且仅当点、三点共线时，有最小值.即的最小值为.故答案为：.20. 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，则取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.【答案】当时，和有且仅有一条公切线，公切线方程为【解析】【分析】假设切点坐标，利用导数的几何意义可利用分别表示出的方程，由为公切线可确定方程组，化
21、为一元二次方程后，利用可求得，代回可求得，确定切线方程.【详解】由得：；由得：；设与相切于点，与相切于点，方程为或，即方程为或，则，解得：，此时，此时切线方程为：，综上所述：当时，和有且仅有一条公切线，公切线方程为.21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.（2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，来求得的取值范围.【详解】（1）当时，则，所以曲线在点，处的切线方程为，即；（2）由题意知，存在，使得不等式成立，即存在，使得成立，令
22、，则，当时，所以函数在，上单调递减，所以（2）成立，解得，所以.当时，令，解得；令，解得.所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，又，所以（2），解得，与矛盾，舍去.当时，所以函数在，上单调递增，所以，不符合题意，舍去.综上所述，的取值范围为.22. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲
23、线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）；（2），；，最短长度为千米.【解析】【分析】（1）由题意得函数过点，列方程组就可解出a，b的值.（2）求公路l长度的函数解析式，就是求出直线l与x，y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线l方程，再根据M，N为C的两个端点的限制条件得定义域为；对函数解析式解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势.【详解】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为，将其分别代入，得，解得.（2）由（1）知，则点的坐标为，设在点处的切线l交轴分别于点，l的方程为，由此得.故，.设，则.令，解得，当时，是减函数；当时，是增函数.从而，当时，函数有极小值，也是最小值，此时.答：当时，公路l的长度最短，最短长度为千米.
