1、第8讲函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数关于 对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数关于 对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 正数就叫做f(x)的最小正周期常用结论1函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f
2、(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0) 考点1 函数的奇偶性名师点睛1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域(2)判断f(x)与f(x)的关系在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或
3、f(x)f(x)0(偶函数)是否成立 2.利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值典例1（2022全国高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)；（2）f(x)(x1)；（3）f(x
4、).（4）f(x)2（2022山东青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（）A1B1C0D23（2022河南高三阶段练习）已知为奇函数，当时，则当时，（）ABCD4（2022江苏南通模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（）A1B2CD举一反三1（2022海南海口模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（）Af(x)+1Bf(x)1Cf(x+1)Df(x1)2（2022山东菏泽高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（）ABCD3（2022江苏省昆山中
5、学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（）ABCD4（2022北京四中高三阶段练习）若函数f（x）是奇函数，当时，则（）A2B-2CD5（2022江苏二模）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD6（2022全国高三专题练习）设，满足，则（）ABCD67（2022湖北武汉二模）若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是_.8（2022全国高三专题练习）设为定义在上的奇函数，当时，则_9（2022湖南长郡中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，则_.10（2022上海宝山二模）如果函数是奇函数，则_11（2022全国高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)；
6、（2）f(x)(x1) ；（3）f(x).12（2022北京高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.13（2022全国高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 考点2 函数的周期性名师点睛1判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期典例1（多选）（2022江苏涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当
7、时，则下列说法正确的是（）A最小正周期为4BCD2（2022江苏华罗庚中学高三阶段练习）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，则_举一反三1（2022湖北武汉二模）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（）ABCD2（2022安徽蚌埠三模）已知定义域为的偶函数满足，则（）AB-1C1D3（2022陕西咸阳二模）已知函数为定义在上的奇函数，且，则（）A2019B3C-3D04（2022江苏二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)2，g(x)(x1).若g(x1)是偶函数，则()A3B2C2D35（多选）（2022河北模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数则下列选项一定正确的是（）A
8、函数的图象关于点对称B2是函数的一个周期CD6（多选）（2022江苏泰州模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，则（）A当时，B任意，C存在非零实数，使得任意，D存在非零实数，使得任意，7（2022上海市建平中学高三阶段练习）函数是以为周期的奇函数，且，那么_8（2022湖南长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x，则_. 考点3 函数的对称性名师点睛(1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图像关于直线x对称(2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图像关于点对称(3)若函数f(x)满足f(ax)f(
9、bx)c，则函数f(x)的图像关于点对称典例1（2022黑龙江哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：对于任意的实数，都有成立；函数的图象关于y轴对称；对任意的，都有成立.则，的大小关系为（）ABCD2（2022福建福州三模）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（）ABCD举一反三1（2022安徽蚌埠模拟预测）若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（）A是周期函数B是单调函数C关于点对称D关于原点对称2（2022全国模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，则，的大小关系为（）ABCD3（2022山西太原二模）已知函数，
10、则（）A在上单调递增B在上单调递减C的图象关于直线x=1对称D的图象关于点对称4（2022安徽合肥二模）函数（是自然对数的底数）的图象关于（）A直线对称B点对称C直线对称D点对称5（2022广东佛山二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（）A的最大值为-aB的最小值为-aCD6（多选）（2022辽宁锦州一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是（）AB在上为减函数C点是函数的一个对称中心D方程仅有个实数解7（2022江苏江苏三模）写出一个同时具有下列性质的函数_.是定义域为的奇函数；第8讲函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数
11、f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期常用结论1函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在
12、两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0) 考点1 函数的奇偶性名师点睛1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域(2)判断f(x)与f(x)的关系在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否
13、成立 2.利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值典例1（2022全国高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)；（2）f(x)(x1)；（3）f(x).（4）f(x)【解】（1）由
14、得x3.f(x)的定义域为3，3，此时f(x)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数（2）由得10时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以f(x)为奇函数2（2022山东青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（）A1B1C0D2【答案】C【解析】令，因为为奇函数，所以，故选：C.3（2022河南高三阶段练习）已知为奇函数，当时，则当时，（）ABCD【答案】C【解析】因为为奇函数，所以，即当时，故选：C4（2022江苏南通模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（）A
15、1B2CD【答案】D【解析】由为奇函数，所以，所以，可得，解得，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域为符合题意，故选：D举一反三1（2022海南海口模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（）Af(x)+1Bf(x)1Cf(x+1)Df(x1)【答案】C【解析】的图象是由的图象向右平移1个单位得出的，因此其图象关于点对称，只有把的的图象向左平移1个单位，图象才会关于原点对称，所以只有，是奇函数故选：C2（2022山东菏泽高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（）ABCD
16、【答案】C【解析】解：是偶函数定义域关于原点对称对于选项A：是偶函数，当时，则不满足条件，A错误；对于选项B：当时，无意义，则定义域不满足条件，B错误；对于选项C：是偶函数，当时，满足条件，C正确；对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误；故选：C3（2022江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（）ABCD【答案】C【解析】解：若为奇函数，则，令，则，即有，又为偶函数，可得， 令，则；故选：C4（2022北京四中高三阶段练习）若函数f（x）是奇函数，当时，则（）A2B-2CD【答案】C【解析】由奇函数得，而得故选：C5（2022江苏二模）已知函数
17、为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，即解之得，经检验符合题意.则由，可得故的解集为，故选：B.6（2022全国高三专题练习）设，满足，则（）ABCD6【答案】B【解析】可化为：.记，定义域为R.因为，所以在R上单调递增.又，所以为奇函数.所以由可得：，所以2.故选：B7（2022湖北武汉二模）若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是_.【答案】（答案不唯一）【解析】取，函数的定义域为且关于原点对称，所以函数为偶函数.，即所以函数的值域为.故答案为：（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.8（2022全国高三专题练习）设为定义在上的奇函数，当时，则_【
18、答案】3【解析】f(x)为R上的奇函数，f(0)0，m1，f(1)f(1)3，故答案为：39（2022湖南长郡中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，则_.【答案】【解析】由题意，函数为定义域上的奇函数，则有，所以，可得.故答案为：10（2022上海宝山二模）如果函数是奇函数，则_【答案】【解析】设，.故答案为：11（2022全国高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)；（2）f(x)(x1) ；（3）f(x).【解】（1）由x21x1，故函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数（2）因为f(x)有意义，
19、则满足0，所以1x1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数（3）因为所以2x2且x0，所以定义域关于原点对称又f(x)，所以f(x)f(x)故函数f(x)为偶函数12（2022北京高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【解】(1)满足，.(2)由题意知，.当时，.由是奇函数，综上，在上，13（2022全国高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.【解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，解得，. 考点2 函数的周期性名师点睛1判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)，且周期为T，函
20、数的周期性常与函数的其他性质综合命题2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期典例1（多选）（2022江苏涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，则下列说法正确的是（）A最小正周期为4BCD【答案】BCD【解析】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，故A错误；又当时，所以，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确.故选：BCD.2（2022江苏华罗庚中学高三阶段练习）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，则_【答案】【解析】因为，
21、则，故可得，故的一个周期为，则，对，令，故可得.即.故答案为：.举一反三1（2022湖北武汉二模）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（）ABCD【答案】D【解析】依题意，定义在上的函数满足，所以，所以是周期为的周期函数.故选：D2（2022安徽蚌埠三模）已知定义域为的偶函数满足，则（）AB-1C1D【答案】C【解析】解：因为函数是定义域为的偶函数，所以，又因为，所以，则，即，所以周期为，因为，故选：C3（2022陕西咸阳二模）已知函数为定义在上的奇函数，且，则（）A2019B3C-3D0【答案】D【解析】因为函数为定义在上的奇函数，所以，令x=0得：，即.因为，所以为周期T=3的周期函数
22、，所以.故选：D4（2022江苏二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)2，g(x)(x1).若g(x1)是偶函数，则()A3B2C2D3【答案】D【解析】为偶函数，则关于对称，即，即，即，关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，即f(x4)f(x)，周期为，.故选：D.5（多选）（2022河北模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数则下列选项一定正确的是（）A函数的图象关于点对称B2是函数的一个周期CD【答案】AC【解析】函数是奇函数，函数图象关于点对称，故A正确；函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；函数是周期为2的奇函数， ，故C
23、正确；，无法判断的值，故D错误.故选：AC.6（多选）（2022江苏泰州模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，则（）A当时，B任意，C存在非零实数，使得任意，D存在非零实数，使得任意，【答案】ABD【解析】对于A，令，则，即，又，；令得：，则由可知：当时，A正确；对于B，令，则，即，由A的推导过程知：，B正确；对于C，为上的增函数，当时，则；当时，则，不存在非零实数，使得任意，C错误；对于D，当时，；由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；当时，为上的增函数，；由图象对称性可知：此时对任意，D正确.故选：ABD.7（2022上海市建平中学高三阶段练习）函数是以为周期的奇
24、函数，且，那么_【答案】【解析】由题可知，.故答案为：.8（2022湖南长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x，则_.【答案】1【解析】因为f(x)是周期为2的奇函数，所以fff1.故答案为：-1 考点3 函数的对称性名师点睛(1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图像关于直线x对称(2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图像关于点对称(3)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)c，则函数f(x)的图像关于点对称典例1（2022黑龙江哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：对于任意的实数，都有成立；函
25、数的图象关于y轴对称；对任意的，都有成立.则，的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，所以，所以函数的图象关于对称，又，所以，即，因为，所以函数是周期为4的函数，所以，因为，且，所以，所以函数为奇函数，又因为对任意的，都有成立，即，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，所以，故选：B.2（2022福建福州三模）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（）ABCD【答案】A【解析】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,又因为满足，取，所以，则，取，则，A对； 故选：A举一反三1（2022安徽蚌埠模拟预测）若幂
26、函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（）A是周期函数B是单调函数C关于点对称D关于原点对称【答案】C【解析】由题意得，即，故，令，则，当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以，因此方程有唯一解，解为，因此，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点对称，故选：C.2（2022全国模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，则，的大小关系为（）ABCD【答案】C【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知，.由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，所以，所以.故选：C3（2022山西太原二模）已知函数，则（）A在上单调递增B在上单调递减C的图象关于
27、直线x=1对称D的图象关于点对称【答案】C【解析】因为，所以，所以A不正确；因为，所以，故B不正确；因为，所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；在的图象上取一点，则其关于点的点为，因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.故选：C4（2022安徽合肥二模）函数（是自然对数的底数）的图象关于（）A直线对称B点对称C直线对称D点对称【答案】D【解析】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而，所以的图象关于点对称故选：D5（2022广东佛山二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（）A的最大值为-aB的最小值为-aCD【答案】D【解析】依题意，因，则是奇函数，
28、于是得，即，因此，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；，即，因此，C不正确，D正确.故选：D6（多选）（2022辽宁锦州一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是（）AB在上为减函数C点是函数的一个对称中心D方程仅有个实数解【答案】CD【解析】为奇函数，即，关于点对称；为偶函数，即，关于对称；由，得：，即是周期为的周期函数；对于A，A错误；对于C，即，关于点成中心对称，C正确；对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，由图象可知：在上单调递增，B错误；方程的解的个数，等价于与的交点个数，结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.故选：CD.7（2022江苏江苏三模）写出一个同时具有下列性质的函数_.是定义域为的奇函数；.【答案】（答案不唯一）【解析】由条件可知函数对称轴为，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数.故答案为：（答案不唯一
