1、数列中的综合问题考试要求1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题题型一数学文化与数列的实际应用例1(1)(2020全国)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3699块B3474块C3402块D3339块答案C解析设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公
2、差为d9，首项为a19的等差数列由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn)n2d，则9n2729，解得n9，则三层共有扇面形石板S3nS2727993402(块)(2)(2021新高考全国)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm,20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240dm2，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种
3、数为_；如果对折n次，那么k_dm2.答案5240解析依题意得，S11202240；S2603180；当n3时，共可以得到5dm6dm，dm12dm，10dm3dm,20dmdm四种规格的图形，且5630，1230,10330，2030，所以S3304120；当n4时，共可以得到5dm3dm，dm6dm，dm12dm,10dmdm,20dmdm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5315，615，1215,1015,2015，所以S415575；所以可归纳Sk(k1).所以k240，所以k240，由得，k240240240，所以k240dm2.教师备选1周髀算经中有
4、这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为()A4.5尺B3.5尺C2.5尺D1.5尺答案A解析冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列an，设公差为d，由题意得，解得所以ana1(n1)d11.5n，所以a711.574.5，即春分时节的日影长为4.5尺2古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例如图为希腊
5、的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K之间的距离超过1.5m，C与F之间的距离小于11m，则该古建筑中A与B之间的距离可能是(参考数据：0.61820.382，0.61830.236，0.61840.146，0.61850.090，0.61860.056，0.61870.034)()A30.3mB30.1mC27mD29.2m答案C解析设|AB|x，a0.618，因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，所以有|BC|ax，|CF|a2x，|FG|a3x，|GJ|a4x，|JK|a5x，|
6、KM|a6x.由题设得解得26.786x0，且b1b26b3，求q的值及数列an的通项公式；(2)若bn为等差数列，公差d0，证明：c1c2c3cn0，bn0，c1c2cn1，c1c2cn0证明不等式成立另外本题在探求an与cn的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法跟踪训练2已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求b1b3b5b2n1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a11，a2a410，所以2a14d10，解得d2.所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4a5，所以b1qb1q39.又b11，所以q
7、23.所以b2n1b1q2n23n1.则b1b3b5b2n113323n1.题型三数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例3已知数列an满足a1，2(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求证：aaaa.(1)解因为2(nN*)，所以2(nN*)，因为a1，所以2，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以22(n1)2n(nN*)，所以数列an的通项公式是an(nN*)(2)证明依题意可知a21)，所以aaaa.故aaaa1，a2，a3是函数f(x)x36x232x的两个极值点，则数列an的前9项和是_答案1022解析由f(x)x36x232x，得f(x)x212x32，
8、又因为a2，a3是函数f(x)x36x232x的两个极值点，所以a2，a3是函数f(x)x212x32的两个零点，故因为q1，所以a24，a38，故q2，则前9项和S921021022.教师备选1已知函数f(x)log2x，若数列an的各项使得2，f(a1)，f(a2)，f(an)，2n4成等差数列，则数列an的前n项和Sn_.答案(4n1)解析设等差数列的公差为d，则由题意，得2n42(n1)d，解得d2，于是log2a14，log2a26，log2a38，从而a124，a226，a328，易知数列an是等比数列，其公比q4，所以Sn(4n1)2求证：2(nN*)证明因为，所以不等式左边.令
9、A，则A，两式相减得A1，所以A22，即得证思维升华数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明跟踪训练3(1)(2022长春模拟)已知等比数列an满足：a1a220，a2a380.数列bn满足bnlog2an，其前n项和为Sn，若恒成立，则的最小值为_答案解析设等比数列an的公比为q，由题意可得解得a14，q4，故an的通项公式为an4n，nN*.bnlog2anlog24n2n，Sn2nn(n1)2n2n，nN*，令f(x)x，则当x(0，)时，f(x)x单调递减，当x(
10、，)时，f(x)x单调递增，又f(3)3，f(4)4，且nN*，n，即，故，故的最小值为.(2)若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S24.求数列an的通项公式；设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.解设an的公差为d(d0)，则S1a1，S22a1d，S44a16d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以a1(4a16d)(2a1d)2.所以2a1dd2.因为d0，所以d2a1.又因为S24，所以a11，d2，所以an2n1.因为bn，所以Tn.要使Tn2022的最小的正整数n的值解(1)当n2时，由a2Snn1，a
11、22，得a2Sn1n11，两式相减得aa2an1，即aa2an1(an1)2.an是正项数列，an1an1.当n1时，a2a124，a11，a2a11，数列an是以a11为首项，1为公差的等差数列，ann.(2)由(1)知bnan2nn2n，Tn121222323n2n，2Tn122223(n1)2nn2n1，两式相减得Tnn2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.TnTn1n2n0，Tn单调递增当n7时，T762821 5382 022，使Tn2 022的最小的正整数n的值为8.3(2022大连模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，S525，且a31，a41，a73成等比数列(1)求
12、数列an的通项公式；(2)若bn(1)nan1，Tn是数列bn的前n项和，求T2n.解(1)由题意知，等差数列an的前n项和为Sn，由S525，可得S55a325，所以a35，设数列an的公差为d，由a31，a41，a73成等比数列，可得(6d)24(84d)，整理得d24d40，解得d2，所以ana3(n3)d2n1.(2)由(1)知bn(1)nan1(1)n(2n1)1，所以T2n(11)(31)(51)(71)(4n3)1(4n11)4n.4(2022株洲质检)由整数构成的等差数列an满足a35，a1a22a4.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn的通项公式为bn2n，将数列an
13、，bn的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列cn，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，求数列cn的前(4n3)项和T4n3.解(1)由题意，设数列an的公差为d，因为a35，a1a22a4，可得整理得(52d)(5d)2(5d)，即2d217d150，解得d或d1，因为an为整数数列，所以d1，又由a12d5，可得a13，所以数列an的通项公式为ann2.(2)由(1)知，数列an的通项公式为ann2，又由数列bn的通项公式为bn2n，根据题意，得新数列cn，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，则T4n3b1a1a2b2b3a3a4b4b2n1a2n1a2nb2nb2n1a2n1a2n2(b1b2b3b4b2n1)(a1a2a3a4a2n2)4n12n29n5.5已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，Snna1n(n1)，(2a12)2a1(4a112)，解得a11，an2n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(1)n1，当n为偶数时，Tn1；当n为奇数时，Tn1.Tn
