1、直线与椭圆考试要求1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题知识梳理1直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交0；直线与椭圆相切0；直线与椭圆相离b0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为_答案x21解析因为椭圆1的右顶点为A(1,0)，所以b1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以1，a2，所以椭圆方程为x21.题型一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的
2、公共点；(2)有且只有一个公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y并整理得9x28mx2m240.(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点教师备选(多选)直线ykxk与椭圆1的位置关系可能为()A相交B相切C相离D有3个公共点答案AB解析直线ykxkk(x)恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切思维
3、升华判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点跟踪训练1已知动点M到两定点F1(m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0m2)，且动点M的轨迹曲线C过点N.(1)求m的值；(2)若直线l：ykx与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围解(1)由0m2，得2m0，得k2.所以k或k0，x1x22，x1x2.由弦长公式得到|AB|x1x2|，再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB的距离d，OAB的面积S.思维升华解决圆锥曲线“中点弦”问题的
4、思路跟踪训练2(1)(2022济宁模拟)已知椭圆C：1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为()A3x2y20B3x2y40C3x4y50D3x4y10答案B解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得所以由得0，即，即kAB，所以kAB，因此直线AB的方程为y(x1)，即3x2y40.(2)已知椭圆E：1的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|_.答案解析由题意得c2a2b2431，因为直线l过原点，且交椭圆E于A，B两点，所以A与B关于原点对称，又AF1，BF2都与x轴垂直，
5、所以设A(1，y1)，B(1，y1)，则|AB|.又点A在椭圆E上，所以1，得y，则|AB|.题型三直线与椭圆的综合问题例4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程解(1)由题意可得解得a24，b21.故椭圆C的标准方程为y21.(2)由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立整理得(m24)y22my30，(2m)24(m24)(3)16m2480，则y1y2，y1y2，故|y1y2|，因为ABO的面积为，所
6、以|OP|y1y2|1，设t，则，整理得(3t1)(t3)0，解得t3或t(舍去)，即m.故直线的方程为xy1，即xy10.教师备选(2020天津)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程解(1)由已知可得b3，记半焦距为c，由|OF|OA|可得cb3，又由a2b2c2，可得a218，所以椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在
7、设直线AB的方程为ykx3.联立方程组消去y可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为.又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以直线AB的方程为yx3或yx3，即x2y60或xy30.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线
8、斜率为0或不存在等特殊情形跟踪训练3已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程解(1)由题意知，F1B1B2为等边三角形，所以cb，又c1，所以b，又由a2b2c2，可得a2，故椭圆C的方程为3y21.(2)易知椭圆C的方程为y21，当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(2k21)x24k2x2(k21)0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2
9、)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k，故直线l的方程为xy10或xy10.课时精练1直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，) B(1，3)(3，)C(3，) D(0，3)(3，)答案B解析由得(m3)x24mxm0.由0且m3及m0，得m1且m3.2已知椭圆M：1(ab0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为()A.1B.y21C.1
10、D.1答案D解析直线AB的斜率k1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得1，1，两式相减，整理得0，又c3，a2b2c2.联立解得a218，b29.所以椭圆M的方程为1.3(多选)已知椭圆y21与直线yxm交于A，B两点，且|AB|，则实数m的值为()A1B1C2D2答案AB解析由消去y并整理，得3x24mx2m220.16m212(2m22)8m2240，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由题意，得|AB|，解得m1，满足题意4已知直线ykx1，当k变化时，此直线被椭圆y21截得的最大弦长是()A2B.C4D不能确定答案B解析直线恒过定点(0,1)
11、，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为，所以当y时，弦长最大为.5(多选)设椭圆的方程为1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点下列结论正确的是()A直线AB与OM垂直B若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2xy30C若直线方程为yx1，则点M坐标为D若直线方程为yx2，则|AB|答案BD解析对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kABkOM21，所以A项不正确；对于B项，根据kABkOM2，所以kAB2，所以直线方程为y12(x1)，即2xy30，所以B项正确；对于C项，若直线方程为yx1，点M，则kABkOM1442，
12、所以C项不正确；对于D项，若直线方程为yx2，与椭圆方程1联立，得到2x2(x2)240，整理得3x24x0，解得x10，x2，所以|AB|，所以D项正确6(多选)已知椭圆C：1(ab0)的左、右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|2c.直线l：yk(xc)(kR)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有()AABF2的周长为4aB若AB的中点为M，则kOMkC若3c2，则椭圆的离心率的取值范围是D若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e答案AC解析由直线l：yk(xc)过点(c，0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.所以ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF
13、2|4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M，kOM，k，所以kOMk，由得0，所以，则kOMk，所以B错误；(cx1，y1)，(cx1，y1)，所以xc2yxa22c2a22c2，a2c2，则a22c23c2a2c2，可得e，所以C正确；由过焦点的弦中通径最短，则|AB|的最小值为通径，则有3c，即2a23ac2c20，解得a2c，所以e，所以D错误7已知直线l：yk(x1)与椭圆C：y21交于不同的两点A，B，AB中点的横坐标为，则k_.答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k21)x28k2x4k240，因为直线l过椭圆内的定点(1,0)，所以0，x1
14、x2，所以，即k2，所以k.8与椭圆y21有相同的焦点且与直线l：xy30相切的椭圆的离心率为_答案解析因为所求椭圆与椭圆y21有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为1(a1)，联立方程组(2a21)x26a2x10a2a40，因为直线l与椭圆相切，所以36a44(2a21)(10a2a4)0，化简得a46a250，即a25或a21(舍)则a.又c1，所以e.9已知椭圆M：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为，且过点.(1)求椭圆M的方程；(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程解(1)e，则3a24b2，
15、将代入椭圆方程得1，解得a2，b，椭圆M的方程为1.(2)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，线段PQ的中点恰为点N，xPxQ2，yPyQ2.1，1，两式相减可得(xPxQ)(xPxQ)(yPyQ)(yPyQ)0，即直线PQ的斜率为，直线PQ的方程为y1(x1)，即3x4y70.10设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为.F为E的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF.(1)求椭圆E和F的方程；(2)若直线l：yk(x)(k0)与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)设E
16、的方程为1(ab0)，由题设知1，.解得a2，b1，故椭圆E的方程为y21.因此F(，0)，|PF|，即F的半径为.所以F的方程为(x)2y2.(2)由题设可知，A在E外，B在E内，C在F内，D在F外，在l上的四点A，B，C，D满足|AC|AB|BC|，|BD|CD|BC|.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将l的方程代入E的方程得(14k2)x28k2x12k240，则x1x2，x1x2，|CD|11，又F的直径|AB|1，所以|BD|AC|CD|AB|CD|10，故不存在正数k使|AC|BD|.11(2022临沂模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”在椭圆1中
17、，过点M(4，0)的所有“好弦”的长度之和为()A120B130C240D260答案C解析由已知可得a8，b4，所以c4，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以当x4时，最短的弦长为4，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a16，则弦长的取值范围为4,16，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为416(56715)2240.12(2022江南十校模拟)已知椭圆C：y21(a1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若MNF2的周长为8，则MF1F2面积的最大值为()A.B.C2D3答案B解析由椭圆的定义可得MNF2的周长
18、为|MN|MF2|NF2|MF1|NF1|MF2|NF2|4a8，a2，则c，则MF1F2面积的最大值为2cbbc.13(2022兰州质检)已知P(2，2)是离心率为的椭圆1(ab0)外一点，经过点P的光线被y轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是()ABC1D.答案D解析由题意可知e，又a2b2c2，故b2a2，设过点P的直线斜率为k，则直线方程为y2k(x2)，即ykx2k2，则反射后的切线方程为ykx2k2，由得(34k2)x216k(k1)x16k232k163a20，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，16k(k1)24(34k2)(16k232
19、k163a2)0，化简得4a2k23a216k232k16，即解得此切线的斜率为.14(多选)已知O为坐标原点，椭圆T：1的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点，则下列结论正确的是()A|AB|的最小值为B若M(异于点F)为线段AB的中点，则直线AB与OM的斜率之积为C若2，则直线AB的斜率为DAOB面积的最大值为3答案BC解析对于A，易知当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值，由椭圆T的方程知F(1,0)，当x1时，y，所以|AB|的最小值为3，故A错误；对于B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，x1x2，x00，因为M为线段AB的中点，所以x0，y0，又点
20、A，B在椭圆T上，所以1，1，两式相减得，所以，即直线AB与OM的斜率之积为，故B正确；对于C，易知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为xmy1，代入椭圆T的方程得(3m24)y26my90，则y1y2，y1y2，因为2，所以y12y2，所以y1y2y2，则y2，y1，所以y1y2，解得m，所以直线AB的斜率为，故C正确；对于D，AOB的面积S|OF|y1y2|y1y2|，令t，则t1，S，因为函数y3t在t1，)上单调递增，所以当t1，即m0时，AOB的面积取得最大值，且最大值为，故D错误15(多选)已知F1，F2是椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为椭圆C
21、的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，若0,32，|AF1|2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和直线BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是()AeBkCk1k2Dk3k4答案AC解析0，AF1BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，AF1EF2.设|F2A|2t，|F1A|4t，又32，|AB|5t，AF1BF1，|F1B|3t，12t4a，a3t.|BF1|BF2|3ta，B(0，b)在EF1F2中，|EF1|AF1|，|EF2|BF1|，|F1F2|2c，|EF1|2|EF2|2|F1F2|2，c，b，
22、椭圆离心率e，故A正确；k2，故B错误；设A(x，y)，易得M(a，0)，N(a，0)，则k1k2，故C正确；同理k3k4，故D错误16已知直线l经过椭圆C：1(ab0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|24|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上(1)解由已知得b23，椭圆C的标准方程为1.(2)证明若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，直线l的斜率存在设l：yk(x1)(k0)，m：yk(xt)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN)将直线m的方程代入椭圆方程得，(34k2)x28k2tx4(k2t23)0，xMxN，xMxN，|MN|2(1k2).同理，|AB|.由|MN|24|AB|得t0，此时，64k4t216(34k2)(k2t23)0，直线m：ykx，P，即点P在定直线x上
