1、第一章1.5 一元二次方程、不等式考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式b24ac000)的图象方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集_Rax2bxc0)的解集_x|xx2x|x1x0(a(a0)的解集为，|x|0)的解集为.f(x)g(x)0(0的解集为R.()(2)若不等式ax2bx
2、c0的解集为(x1，x2)，则a0恒成立，则a0且0，Bx|x22x31C.x|x9D.x|x3Ax|x9或x0，Bx|1x3，ABx|x9.2.若关于x的不等式ax2bx20的解集为，则ab_.14ab14.3.一元二次不等式ax2ax10对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_.(4,0)4a0.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型命题点1 不含参的不等式例1(1)不等式2x2x30的解集为题型一一元二次不等式的解法2x2x30，即(x1)(2x3)0，由题设可得M1,3，N(1,4，故A正确，B错误；MNx|1x4，故C正确；而MNx|1x3，故D正确.命题点2 含参的不等式例
3、2解关于x的不等式ax2(a1)x10).原不等式变为(ax1)(x1)0改成aR，解不等式.当a0时，同例2，当a0时，原不等式等价于x11，当a1时，不等式的解集为，当a0时，不等式的解集为x|x1，教师备选解关于x的不等式x2ax10.由题意知，a24，若a240，则a2.当a2时，原不等式可化为x22x10，即(x1)20，x1；当a2时，原不等式可化为x22x10，即(x1)20，x1.当a240，即2a2时，原不等式的解集为.当a2时，原不等式的解集为1；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0B.不等式bxc0的解集为x|x4C.不等式cx2bxa0关于x的不等式ax2bxc0的解
4、集为(，34，)，所以二次函数yax2bxc的开口方向向上，即a0，故A正确；对于B，方程ax2bxc0的两根分别为3,4，bxc0ax12a0，由于a0，所以x0的解集为x|x12，故B不正确；对于D，abcaa12a12a0.当a0时，原不等式可化为x10，即x1；综上，当a0时，原不等式的解集为x|x1；命题点1 在R上恒成立问题例3(2022漳州模拟)对xR，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则a的取值范围是A.2a2 B.2a2C.a2或a2 D.a2或a2题型二一元二次不等式恒(能)成立问题不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，当a20，即a2时，40恒成立，
5、满足题意；当a20时，要使不等式恒成立，解得2a2.综上可得，a的取值范围为(2,2.命题点2 在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，则实数m的取值范围为_.要使f(x)0时，g(x)在1,3上单调递增，所以g(x)maxg(3)，即7m60，当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上单调递减，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.又因为m(x2x1)64xp3，当0p4时恒成立，则x的取值范围是A.1,3B.(，1C.3，)D.(，1)(3，)不等式x2px4xp3可化为(x1)px24x30，由已知可得(x1
6、)px24x3min0(0p4)，令f(p)(x1)px24x3(0p4)，x3.教师备选函数f(x)x2ax3.若当x2,2时，f(x)a恒成立，则实数a的取值范围是_.若 当 a4,6时，f(x)0恒 成 立，则 实 数 x的 取 值 范 围 是_.7,2若x2ax3a0在x2,2上恒成立，令g(x)x2ax3a，解得6a2，解得a，解得7a6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是7,2.令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立.思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，
7、一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论.跟踪训练2(1)已知关于x的不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围是A.a|1a4 B.a|1a4C.a|a4或a1 D.a|4a1因为关于x的不等式x24xa23a在R上有解，即x24xa23a0在R上有解，只需yx24xa23a的图象与x轴有公共点，所以(4)24(a23a)0，即a23a40，所以(a4)(a1)0，解得1a4，所以实数a的取值范围是a|1a4.(2)当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是A.(，4 B.(，5)C.(，5 D.(5，4)令f(x)x2mx4，
8、当x(1,2)时，f(x)0恒成立，解得m5.K E S H I J I N G L I A N 课时精练1.不等式912x4x2的解集为基础保分练原不等式可化为4x212x90，即(2x3)20，123456789101112131415162.(2022揭阳质检)已知p：|2x3|1，q：x(x3)0，则p是q的A.充要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件12345678910111213141516p：|2x3|1，则12x31，可得p：1x2，又q：x(x3)0，由x(x3)0，可得q：0 x3，可得p是q的充分不必要条件.12345678910111213
9、1415163.(2022南通模拟)不等式(m1)x2mxm10的解集为，则m的取值范围是不等式(m1)x2mxm10且(m)24(m1)(m1)0，123456789101112131415164.(2022合肥模拟)不等式x2ax40对一切x1,3恒成立，则a的最小值是A.5B.C.4D.3x1,3时，x2ax40恒成立，a4.故a的最小值为4.1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415166.(多选)(2022湖南长郡中学月考)已知不等式x2axb0(a0)的解集是x|xd，则下列四个结论中正确的
10、是A.a24bB.a2 4C.若不等式x2axb0D.若不等式x2axbc的解集为(x1，x2)，且|x1x2|4，则c41234567891011121314151612345678910111213141516由题意，知a24b0，所以a24b，所以A正确；对于C，由根与系数的关系，12345678910111213141516解得c4，所以D正确.12345678910111213141516(1,4)即1x0.(1)若该不等式的解集为(4,2)，求a，b的值；解得a2，b8.12345678910111213141516(2)若ba1，求此不等式的解集.1234567891011121
11、3141516当ba1时，x2axb0 x2ax(a1)0，即x(a1)(x1)0.当a11，即a2时，原不等式的解集为；当a11，即a1，即a2时，原不等式的解集为(1，a1).12345678910111213141516综上，当a2时，不等式的解集为(1，a1).1234567891011121314151610.若二次函数f(x)ax2bxc(a0)，满足f(x2)f(x)16x且f(0)2.(1)求函数f(x)的解析式；12345678910111213141516由f(0)2，得c2，所以f(x)ax2bx2(a0)，由f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2(ax2bx2)4a
12、x4a2b，又f(x2)f(x)16x，得4ax4a2b16x，所以f(x)4x28x2.(2)若存在x1,2，使不等式f(x)2xm成立，求实数m的取值范围.因为存在x1,2，使不等式f(x)2xm成立，即存在x1,2，使不等式m4x210 x2成立，令g(x)4x210 x2，x1,2，故g(x)maxg(2)2，所以m2，即m的取值范围为(，2).123456789101112131415161234567891011121314151611.(多选)已知函数f(x)4ax24x1，x(1,1)，f(x)0恒成立，则实数a的取值可能是A.0 B.1C.2 D.3技能提升练因为f(x)4a
13、x24x1，所以f(0)10成立.当x(1,0)(0,1)时，由f(x)0可得4ax24x1，当x(1,0)(0,1)时，1234567891011121314151612345678910111213141516所以4a4，解得a0，即x22xc0的解集为(m，m4)，解得m1，c3.1234567891011121314151613.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_.4,3原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即10在1,5上有解，则a的取值范围是_.123456
14、7891011121314151612345678910111213141516对于方程x2ax20，a280，方程x2ax20有两个不相等的实数根，又两根之积为负，必有一正根一负根，设f(x)x2ax2，于是不等式x2ax20在1,5上有解的充要条件是f(5)0，即5a230，12345678910111213141516拓展冲刺练1234567891011121314151615.(2022湖南多校联考)若关于x的不等式x2(2a1)x2a0恰有两个整数解，则a的取值范围是令x2(2a1)x2a0，解得x1或x2a.不等式x2(2a1)x2a0的解集为x|1x2a，则32a4，123456
15、7891011121314151612345678910111213141516不等式x2(2a1)x2a0无解，1234567891011121314151616.已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5).(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；12345678910111213141516因为不等式f(x)0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2bxc0的两个实数根，所以f(x)2x210 x.12345678910111213141516因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得65k7，解得2k1，所以k的取值范围是2，1).12345678910111213141516(2)若对于任意x1,1，不等式tf(x)2恒成立，求t的取值范围.tf(x)2，即t(2x210 x)2，即tx25tx10，当t0时显然成立，12345678910111213141516当t0时，函数ytx25tx1在1,1上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t5t10，12345678910111213141516
