1、专题四 函数讲义 5.1 函数的三要素 知识梳理.函数的概念 1函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量 x，y 之间的关系用一个关系式 yf(x)来表示，通过关系式可以由 x 的值求出 y 的值.就是把 x，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的
2、坐标就是相应的变量 x，y 的值.就是将变量 x，y 的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数 题型一.定义域 考点 1.具体函数定义域 1函数 f（x）（1）12+（2x1）0 的定义域是（）A（，1B（，12）（12，1）C（，1）D(12，1)2函数()=112的定义域为 M，g（x）ln（x2+3x+2）的定义域为 N，则 MRN（）A2，1）B（2，1）C（2，+）D（，1）考点 2.抽象函数定义域 3若函数 f（32x）的定义域为1，2，则函数 f（x）的定义域是 4函数 y
3、f（x）的定义域为1，2，则函数 yf（1+x）+f（1x）的定义域为（）A1，3B0，2C1，1D2，2考点 3.已知定义域求参 5 已 知 函 数 f（x）lg（ax2+3x+2）的 定 义 域 为 R，则 实 数 a 的 取 值 范 围是 6若函数 f（x）（2a2+5a+3）x2+（a+1）x1 的定义域、值域都为 R，则实数 a 满足（）Aa1 或 a=32B 139 1Ca1 或 a 32Da=32题型二.解析式 考点 1.待定系数法 1已知函数 f（x）是一次函数，且 ff（x）9x+4，求函数 f（x）的解析式2已知 f（x）是二次函数，且满足 f（0）1，f（x+1）f（x）
4、2x，则 f（x）的解析式是 考点 2.换元法 3已知(1)=2，则函数 f（x）的解析式为 4已知 f（11+）=121+2，求 f（x）的解析式考点 3.凑配法 5（1）已知 f（1）=12，求 f（x）的解析式；（2）已知 f（x+1）x2+12，求 f（x）6已知 f（3x）4xlog23+10，则 f（2）+f（4）+f（8）+f（210）的值等于 考点 4.方程组法 7已知函数 f（x）满足 f（x）+2f（x）3x，则 f（1）8已知函数 f（x），g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）23x，则函数 f（x）考点 5.求谁设谁 9已知函数 f（x）为奇
5、函数，当 x（0，+）时，f（x）log2x，（1）求 f（x）的解析式；（2）当 f（x）0 时求 x 的取值范围10定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+1）2f（x），且当 x（0，1时，f（x）x2x，则当 x（1，0时，f（x）的值域为（）A 18，0B 14，0C 18，14D0，14考点 6.利用对称求解析式 11下列函数中，其图象与函数 ylnx 的图象关于直线 x1 对称的是（）Ayln（1x）Byln（2x）Cyln（1+x）Dyln（2+x）12设函数 yf（x）的图象与 y2x+a 的图象关于 yx 对称，且 f（2）+f（4）1，则 a（）A1B1C2D4题型三
6、.值域 考点 1.利用单调性求值域 1下列函数中，与函数()=(15)的定义域和值域都相同的是（）Ayx2+2x，x0By|x+1|Cy10 xD=+12已知函数 f（x）log3（x2）的定义域为 A，则函数 g（x）（12）2x（xA）的值域为（）A（，0）B（，1）C1，+）D（1，+）考点 2.换元法 3函数=2+41 的值域为（）A（，4B（，4C0，+）D2，+）4函数 f（x）log2（x22x+3）的值域为（）A0，+）B1，+）CRD2，+）考点 3.分离常数 5函数=2+1+1 在 x0，+）上的值域是 6已知函数()=2+4，则该函数在（1，3上的值域是（）A4，5）B（
7、4，5）C133，5)D133，57函数=2+2+2+1的值域是 8下列求函数值域正确的是（）A函数=514+2，x3，1的值域是|54B函数=23+1的值域是|1，15C函数=+12，2，2)(2，的值域是|44，12D函数=+1 2的值域是|1 2 课后作业.函数的三要素 1函数()=2+9+10 2(1)的定义域为（）A1，10B1，2）（2，10C（1，10D（1，2）（2，102已知函数 f（x）=2，03，0，则(14)的值为（）A19B13C2D33已知()=2 2，则函数 f（x）的解析式为（）Af（x）x42x2（x0）Bf（x）x42x2C()=2(0)D()=24已知函数
8、 f（x）满足 2f（x1）+f（1x）2x1，求：f（x）解析式5已知 f（x）=(1 2)+3(1)(1)的值域为 R，那么 a 的取值范围是（）A（，1B（1，12）C1，12）D（0，1）6用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值设 f（x）min2x，x+2，10 x（x0），则 f（x）的最大值为 专题四 函数讲义 5.1 函数的三要素 知识梳理.函数的概念 1函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)
9、函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量 x，y 之间的关系用一个关系式 yf(x)来表示，通过关系式可以由 x 的值求出 y 的值.就是把 x，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量 x，y 的值.就是将变量 x，y 的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数 题型一.定义域 考点 1.具体函数定义域 1函数 f（x）（1）12+
10、（2x1）0 的定义域是（）A（，1B（，12）（12，1）C（，1）D(12，1)【解答】解：要使 f（x）有意义，则1 02 1 0；解得 x1，且 12；f（x）的定义域为(，12)(12，1)故选：B2函数()=112的定义域为 M，g（x）ln（x2+3x+2）的定义域为 N，则 MRN（）A2，1）B（2，1）C（2，+）D（，1）【解答】解：由 1x20，解得1x1，M（1，1），由 x2+3x+20，解得 x2 或 x1，N（，2）（1，+），RN2，1，则 MRN2，1）故选：A 考点 2.抽象函数定义域 3若函数 f（32x）的定义域为1，2，则函数 f（x）的定义域是 1
11、，5【解答】解：函数 f（32x）的定义域为1，2，即1x2，22x4132x5函数 f（x）的定义域是1，5故答案为：1，54函数 yf（x）的定义域为1，2，则函数 yf（1+x）+f（1x）的定义域为（）A1，3B0，2C1，1D2，2【解答】解：函数 yf（x）的定义域为1，2，由1 1+21 1 2，解得1x1函数 yf（1+x）+f（1x）的定义域为1，1故选：C考点 3.已知定义域求参 5已知函数 f（x）lg（ax2+3x+2）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是（98，+）【解答】解：根据条件可知 ax2+3x+20 恒成立，则 a0，且98a0，解得 a 98，故 a
12、的取值范围是（98，+）故答案为：（98，+）6若函数 f（x）（2a2+5a+3）x2+（a+1）x1 的定义域、值域都为 R，则实数 a 满足（）Aa1 或 a=32B 139 1Ca1 或 a 32Da=32【解答】解：函数函数 f（x）（2a2+5a+3）x2+（a+1）x1 的定义域为 R，对 a 没有范围限制，若值域为 R，则函数为一次函数，即22+5+3=0+1 0，解得 a=32故选：D题型二.解析式 考点 1.待定系数法 1已知函数 f（x）是一次函数，且 ff（x）9x+4，求函数 f（x）的解析式【解答】解：设 f（x）ax+b，a、bR，则 ff（x）fax+ba（ax
13、+b）+b即 a2x+ab+b9x+4，2=9+=4；解得=3=1，或=3=2；f（x）3x+1，或 f（x）3x22已知 f（x）是二次函数，且满足 f（0）1，f（x+1）f（x）2x，则 f（x）的解析式是 f（x）x2x+1【解答】解：设 yax2+bx+c（a0）由 f（0）1 得，c1 （2 分）f（x+1）f（x）2x，a（x+1）2+b（x+1）ax2bx2x，即 2ax+a+b2x（8 分）2=2+=0（11 分）f（x）x2x+1故答案为：f（x）x2x+1 考点 2.换元法 3已知(1)=2，则函数 f（x）的解析式为 f（x）x21，（x1）【解答】解：令 t=11，则
14、=t+1，x（t+1）2，f（t）（t+1）22（t+1）t21，（t1），f（x）x21，（x1）故答案为“f（x）x21，（x1）4已知 f（11+）=121+2，求 f（x）的解析式【解答】解：设11+=t，则 x=11+（t1）；f（t）=1(11+)21+(11+)2=21+2；f（x）=21+2（x1）考点 3.凑配法 5（1）已知 f（1）=12，求 f（x）的解析式；（2）已知 f（x+1）x2+12，求 f（x）【解答】解：（1）设=1，则 x=1（t0），代入 f（1）=12，得到()=11(1)2=21，所以()=21（x0，x1）（2）f（x+1）x2+12=(+1)2
15、 2，所以 f（x）x22（x2 或 x2）6已知 f（3x）4xlog23+10，则 f（2）+f（4）+f（8）+f（210）的值等于 320【解答】解：f（3x）4xlog23+10，设 t3x，则 xlog3t，f（t）4log3tlog23+104log2t+10，f（2）+f（4）+f（8）+f（210）4（log22+log24+log28+log216+log232+log264+log2128+log2256+log2512+log21024）+10104（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+100320故答案为：320考点 4.方程组法 7已知函数 f（x）满足 f
16、（x）+2f（x）3x，则 f（1）3【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x）+2f（x）3x，令 x1 可得：f（1）+2f（1）3，令 x1 可得：f（1）+2f（1）3，联立，解可得：f（1）3；故答案为：38已知函数 f（x），g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）23x，则函数 f（x）3x+3x【解答】解：因为函数 f（x），g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）23x，所以 f（x）+g（x）f（x）g（x）23x，解得 f（x）3x+3x故答案为：3x+3x考点 5.求谁设谁 9已知函数 f（x）为奇函数，当 x（0
17、，+）时，f（x）log2x，（1）求 f（x）的解析式；（2）当 f（x）0 时求 x 的取值范围【解答】解：（1）设 x0，x0；f（x）log2（x）f（x）；f（x）log2（x）；()=202()0；（2）x0 时，由 f（x）0 得，log2x0；x1；x0 时，由 f（x）0 得，log2（x）0；log2（x）0；0 x1；1x0；x 的取值范围为（1，0）（1，+）10定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+1）2f（x），且当 x（0，1时，f（x）x2x，则当 x（1，0时，f（x）的值域为（）A 18，0B 14，0C 18，14D0，14【解答】解：f（x+1）2
18、f（x），f（x）=12f（x+1）；当 x（1，0时，x+1（0，1；故 f（x）=12f（x+1）=12（x+1）2（x+1）；14（x+1）2（x+1）0，18 12（x+1）2（x+1）0，故选：A考点 6.利用对称求解析式 11下列函数中，其图象与函数 ylnx 的图象关于直线 x1 对称的是（）Ayln（1x）Byln（2x）Cyln（1+x）Dyln（2+x）【解答】解：首先根据函数 ylnx 的图象，则：函数 ylnx 的图象与 yln（x）的图象关于 y 轴对称由于函数 ylnx 的图象关于直线 x1 对称则：把函数 yln（x）的图象向右平移 2 个单位即可得到：yln（2
19、x）即所求得解析式为：yln（2x）故选：B12设函数 yf（x）的图象与 y2x+a 的图象关于 yx 对称，且 f（2）+f（4）1，则 a（）A1B1C2D4【解答】解：与 y2x+a 的图象关于 yx 对称的图象是 y2x+a 的反函数，ylog2xa（x0），即 g（x）log2xa，（x0）函数 yf（x）的图象与 y2x+a 的图象关于 yx 对称，f（x）g（x）log2（x）+a，x0，f（2）+f（4）1，log22+alog24+a1，解得，a2，故选：C题型三.值域 考点 1.利用单调性求值域 1下列函数中，与函数()=(15)的定义域和值域都相同的是（）Ayx2+2x
20、，x0By|x+1|Cy10 xD=+1【解答】解：函数()=(15)的定义域 R，值域（0，+），A：函数的定义域不同，不符合题意；B：y|x+1|0，值域不同，不符合题意；C：y10 x 定义域 R，值域（0，+），符合题意；D：yx+1的定义域x|x0，定义域不同，不符合题意故选：C2已知函数 f（x）log3（x2）的定义域为 A，则函数 g（x）（12）2x（xA）的值域为（）A（，0）B（，1）C1，+）D（1，+）【解答】解：要使函数有意义，则 x20 得 x2，即函数 f（x）的定义域为（2，+），即 A（2，+），g（x）（12）2x=142x，为增函数，则 g（x）g（2）
21、=14221，即 g（x）的值域为（1，+），故选：D 考点 2.换元法 3函数=2+41 的值域为（）A（，4B（，4C0，+）D2，+）【解答】解：设 t=1 ，则 t0，则 x1t2，则函数等价为 y2（1t2）+4t2t2+4t+2，对称轴为 t=42(2)=1，则当 t1 时，函数取得最大值 y2+4+24，即 y4，即函数的值域为（，4，故选：B4函数 f（x）log2（x22x+3）的值域为（）A0，+）B1，+）CRD2，+）【解答】解：x22x+3（x1）2+22，()=2(2 2+3)log221，故函数 f（x）的值域是1，+），故选：B 考点 3.分离常数 5函数=2+
22、1+1 在 x0，+）上的值域是 1，2）【解答】解：当 x0 时，函数=2+1+1=21+1在0，+）上是增函数，故当 x0 时，函数取得最小值为 1，又 y2，故函数 f（x）的值域为1，2），故答案为：1，2）6已知函数()=2+4，则该函数在（1，3上的值域是（）A4，5）B（4，5）C133，5)D133，5【解答】解：()=2+4=+4，f（x）在（1，2）上单调递减，在2，3上单调递增，f（2）4 是 f（x）在（1，3上的最小值，且 f（1）5，f（3）=133，f（x）在（1，3上的值域为4，5）故选：A7函数=2+2+2+1的值域是（，22，+）【解答】解：=2+2+2+1
23、=(+1)2+1+1=(+1)+1+1当 x+10 时，y（x+1）+1+1 2，当且仅当 x+1=1+1，即 x0 时“”成立；当 x+10 时，y（x+1）+1+1=（x+1）+1(+1)2，当且仅当（x+1）=1+1，即 x2 时“”成立函数=2+2+2+1的值域是（，22，+）故答案为：（，22，+）8下列求函数值域正确的是（）A函数=514+2，x3，1的值域是|54B函数=23+1的值域是|1，15C函数=+12，2，2)(2，的值域是|44，12D函数=+1 2的值域是|1 2【解答】解：对于 A，函数=514+2=54 74(2+1)，因为 x3，1，所以52x+11，故720
24、 74(2+1)74，所以85 3，则函数的值域为85，3，故选项 A 错误；对于 B，当 x0 时，y0；当 y0 时，则有 yx2（3y+1）x+y0，所以（3y+1）24y20，解得 y1 或 15；综上所述，函数的值域为|1 或 15，故选项 B 正确；对于 C，因为=(2)1(2)20在2，2)（2，上恒成立，故函数=+12 在2，2)和（2，上单调递减，且 x2 是函数的渐近线，故函数=+12 的值域为是|44 或 12，故选项 C 正确；对于 D，函数=+1 2，设 xcos，0，所以 ycos+sin=2(+4)，因为 0，所以+4 4，54，故(+4)22，1，所以函数的值域
25、为|1 2，故选项 D 正确故选：BCD 课后作业.函数的三要素 1函数()=2+9+10 2(1)的定义域为（）A1，10B1，2）（2，10C（1，10D（1，2）（2，10【解答】解：要使 f（x）有意义，则：2+9+10 0 10 1 1；解得 1x10，且 x2；f（x）的定义域为（1，2）（2，10故选：D2已知函数 f（x）=2，03，则(14)的值为（）A19B13C2D3【解答】解：函数 f（x）=2，03，f（14）=214=2，(14)=f（2）32=19故选：A3已知()=2 2，则函数 f（x）的解析式为（）Af（x）x42x2（x0）Bf（x）x42x2C()=2(
26、0)D()=2【解答】解：()=2 2=()4 2()2，f（x）x42x2（x0）故选：A4已知函数 f（x）满足 2f（x1）+f（1x）2x1，求：f（x）解析式【解答】解：函数 f（x）满足 2f（x1）+f（1x）2x1，令 tx1，则 xt+1，代入 2f（x1）+f（1x）2x1，得：2f（t）+f（t）2t+1，2()+()=2+12()+()=2+1，解得 f（t）2t+13，函数解析式为 f（x）2x+135已知 f（x）=(1 2)+3(1)(1)的值域为 R，那么 a 的取值范围是（）A（，1B（1，12）C1，12）D（0，1）【解答】解：当 x1 时，f（x）lnx，其值域为0，+），那么当 x1 时，f（x）（12a）x+3a 的值域包括（，0），12a0，且 f（1）（12a）+3a0，解得：12，且 a1故选：C6用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值设 f（x）min2x，x+2，10 x（x0），则 f（x）的最大值为 6【解答】解：f（x）min2x，x+2，10 x（x0）如图所示，则 f（x）的最大值为 yx+2 与 y10 x 交点的纵坐标，即当 x4 时，y6故答案为 6
