1、专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标卷理数第1题
2、则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命
3、题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进
4、行真假判断,要学会用特值检验.二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对
5、连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.教师专用题组1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考,15单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考,15单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标理,25选择题易集合的运算解不等式
6、、集合的交集运算定义法数学运算2020课标文,15选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,14选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,15选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,25选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,94选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:新高考卷第1题,新高考卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式
7、的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考卷相近,直接求两个给定集合的交集;2020年新高考卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.1.1集合基础篇【基础集训】考点一集合及其关系1.若用列举法表示集合A=,则下列表示正确的是()A
8、.A=x=3,y=0B.A=(3,0)C.A=3,0D.A=(0,3)答案B2.若集合M=x|x|1,N=y|y=x2,|x|1,则()A.M=NB.MNC.MN=D.NM答案D3.已知集合A=xR|x2+x-6=0,B=xR|ax-1=0,若BA,则实数a的值为()A.或-B.-或C.或-或0D.-或或0答案D4.已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成a2,a+b,0,则a2021+b2021等于.答案-1考点二集合的基本运算5.已知集合M=x|-1x3,N=x|-2x1,则MN=()A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)答案B6.已知全集U=R,A=x|x0,
9、B=x|x1,则集合U(AB)=()A.x|x0B.x|x1C.x|0x1D.x|0x0,B=x|lg(x+1)1,则(RA)B=()A.x|-1x3B.x|-1x9C.x|-1x3D.x|-1x9答案C8.全集U=x|x0,xA,则B=()A.-1,0B.-1C.0,1D.1答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A=-1,0,1,所以B=1.2.设集合A=y|y=x2+2x+5,xR,有下列说法:1A;4A;(0,5)A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A=y|y4,所以都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以是错误的.故选C.3.
10、(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A=x|x-1,则正确的是()A.0AB.0AC.AD.0A答案D对于A,0A,故A错误;对于B,0A,故B错误;对于C,空集是任何集合的子集,即A,故C错误;对于D,由于集合0是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A=(x,y)|x+y2,x,yN,则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A=1,a,B=1,2,3,那么()A
11、.若a=3,则BAB.若a=3,则ABC.若AB,则a=2D.若AB,则a=3答案B当a=3时,A=1,3,又因为B=1,2,3,所以AB.若AB,则a=2或3.故选B.6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A=0,1,B=x|xA,则下列集合A与B的关系中正确的是()A.ABB.ABC.BAD.AB答案D因为xA,所以B=,0,1,0,1,则集合A=0,1是集合B中的一个元素,所以AB,故选D.7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A=,集合B=x|x2-40,若AB=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案BA=y|y-2或y2,B=-2x2,则P=AB
12、=-2,2,所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A=-1,1,B=x|ax+1=0,若BA,则实数a的所有可能取值的集合为()A.-1B.1C.-1,1D.-1,0,1答案D因为BA,所以当B=,即a=0时满足条件;当B时,a0,B=,又知BA,-A,a=1.综上可得实数a的所有可能取值集合为-1,0,1,故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“AB或AB且B”时,一定要注意讨论A=和A两种情况,A=的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A=1,2,3,B=1,m,若3-mA
13、,则非零实数m的值是.答案2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-,5),B=3,+),则(RA)(RB)=()A.RB.C.3,5)D.(-,3)5,+)答案DRA=5,+),RB=(-,3),所以(RA)(RB)=(-,3)5,+).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A=x|(x-1)(x-2)0,B=x|y=,则AB=()A.(2,+)B.C.(2,+)D.R答案A因为集合A=x|(x
14、-1)(x-2)0=x|x2,B=x|y=,所以AB=(2,+),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A=x|-1x2,B=x|x0,则下列结论正确的是()A.(RA)B=x|x-1B.AB=x|-1x0C.A(RB)=x|x0D.AB=x|x0答案BA=x|-1x2,B=x|x2,RB=x|x0.对于选项A,(RA)B=x|x-1,故A错误;对于选项B,AB=x|-1x-1,故C错误;对于选项D,AB=x|x2,故D错误.故选B.名师点拨对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A=(x,y)|x+y=2,B=(x,y)|y=
15、x2,则AB=()A.(1,1)B.(-2,4)C.(1,1),(-2,4)D.答案C本题主要考查集合的含义及集合的运算.联立消y可得x2+x-2=0,x=1或-2,方程组的解为或从而AB=(1,1),(-2,4),故选C.5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R为实数集,集合A=,B=,则图中阴影部分表示的集合为()A.-10,1B.C.D.-1答案D0,x-1且x(x-1)0,x-1或-1x1,A=x|x-1或-1x1.(x+1)0,x或x-1,B=.AB=.故图中阴影部分表示的集合为R(AB)=-1,即-1.故选D.综合篇【综合集训】考法一集合间基本关系的求解方法1.(20
16、21届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A=x|x2+x=0,xR,则满足AB=0,-1,1的集合B的个数是()A.4B.3C.2D.1答案A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M=x|x=4n+1,nZ,N=x|x=2n+1,nZ,则()A.MNB.NMC.MND.NM答案A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A=x|2a+1x3a-5,B=x|3x22.若A(AB),则实数a的取值范围为.答案(-,9考法二集合运算问题的求解方法4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A=x|y=lg(1-x),B=,则(UA)B=()A.(1,+)B.(0,1)C.(
17、0,+)D.1,+)答案D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A=x|x2-40,集合B=x|2x2,则(UA)B=()A.2,+)B.C.1,2)D.(1,2)答案C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=AB=x|-1x3,A(UB)=x|2x3,则集合B=()A.x|-1x2B.x|-1x2C.x|2x3D.x|2x3答案B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U=1,2,3,4,5,6,M=1,3,4,N=2,3,4,则集合(UM)(UN)等于()A.5,6B.1,5,6C.2,5,6D.1,2,5,6答案D8.(2021届重庆育才中学入学
18、考试,1)已知集合A=x|0x4,xZ,集合B=y|y=m2,mA,则AB=()A.1B.1,2,3C.1,4,9D.答案A教师专用题组【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M=1,m,N=n,log2n,若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析因为M=N,所以1,m=n,log2n.当n=1时,log2n=0,则m=0,所以(m-n)2015=-1;当log2n=1时,n=2,则m=2,所以(m-n)2015=0.故(m-n)2015=-1或0.2.已知集合A=,B=,则集合A、B的关系为.答案A=B解析A=,B=.x|x=2n+1,nZ=x|x=2n+3,nZ,A
19、=B.故答案为A=B.3.设集合A=-2,B=x|ax+1=0,aR,若AB=B,则a的值为.答案0或解析AB=B,BA.A=-2,B=或B.当B=时,方程ax+1=0无解,此时a=0,满足BA.当B时,a0,则B=,-A,即-=-2,解得a=.综上,a=0或a=.4.已知集合A=x|x4,B=x|2axa+3.若BA,则实数a的取值范围为.答案(-,-4)(2,+)解析当B=时,只需2aa+3,即a3;当B时,根据题意作出如图所示的数轴.可得或解得a-4或22与N=x|1x3的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.x|x2B.x|1x3D.x|x1答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是U
20、(MN).MN=x|x1,U(MN)=x|x1.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M=x|x+2a0,N=x|log2(x-1)1,若集合M(UN)=x|x=1或x3,则()A.a=B.aC.a=-D.a答案Clog2(x-1)0且x-12,即1x3,则N=x|1x3,U=R,UN=x|x1或x3,又M=x|x+2a0=x|x-2a,M(UN)=x|x=1或x3,-2a=1,解得a=-.故选C.3.设U=R,集合A=x|x2+3x+2=0,B=x|x2+(m+1)x+m=0,若(UA)B=,则m=.答案1或2解析A=-2,-1,由(UA)B=,得BA,方程x2+(m+1)x+m=0的判别式=(m+1)2-4m=(m-1)20,B.B=-1或B=-2或B=-1,-2.若B=-1,则m=1;若B=-2,则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)(-2)=4,这两式不能同时成立,B-2;若B=-1,-2,则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.m=1或2.
