1、易错点33 三角恒等变换一、单选题1. 在ABC中，角A，B的对边长依次是a，b，满足acosA=bcosB，则ABC的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形2. 1876年4月1日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设BEC=15，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE中(阴影部分)的概率是A. 32B. 34C. 23D. 223. 在ABC中，
2、a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，b=c且满足sinBsinA=1-cosBcosA，若点O是ABC外一点，AOB=00,|2)的最小正周期为，且f(-x)=f(x)，则A. f(x)在(0,2)单调递减B. f(x)在(4,34)单调递减C. f(x)在(0,2)单调递增D. f(x)在(4,34)单调递增二、填空题9. 已知tan=13，则sin2-sin21+cos2的值为_10. 若00，-,)的形式为_12. 已知不等式f(x)=32sinx4cosx4+6cos2x4-62+m0，对于任意的-56x6恒成立，则实数m的取值范围是_三、解答题13. 已知函数f(x)=4cos2
3、x+msinxcosx(mR)，且满足f4=4(1)求m的值及f(x)的最小正周期；(2)若x0,34，求f(x)的单调区间14. 已知函数f(x)=(cosx+3sinx)sin(2-x)+12(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间712,56上的最小值以及取得该最小值时x的值15. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinA=acos(B-6)(1)求角B的大小；(2)若D为AC的中点，且BD=1，求SABC的最大值在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m=cos3A2,sin3A2,n=cosA2,sinA2，且
4、满足m+n=3(1)求角A的大小；(2)若b+c=3a，试判断ABC的形状一、单选题1在ABC中，角A，B的对边长依次是a，b，满足acosA=bcosB，则ABC的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】解：根据正弦定理可知bcosB=acosA，sinBcosB=sinAcosAsin2A=sin2BA=B，或2A+2B=180即A+B=90，即有ABC为等腰或直角三角形故选D2、1876年4月1日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角
5、三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设BEC=15，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE中(阴影部分)的概率是A. 32B. 34C. 23D. 22【答案】C【解析】解：在直角BCE中，a=ccos15，b=csin15，则P=SCDES梯形ABCD=12c212(a+b)2=c2c2cos15+sin152=11+sin30=23，故选C3、在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，b=c且满足sinBsinA=1-cosBcosA，若点O是ABC外一点，AOB=0，OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面
6、积的最大值是A. 8+534B. 4+534C. 3D. 4+52【答案】A【解析】解：ABC中，b=c，sinBsinA=1-cosBcosA，sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin(A+B)=sin(-C)=sinC=sinA，A=C，又b=c，ABC为等边三角形SOACB=SAOB+SABC=12OAOBsin+12AB2sin3=1221sin+34(OA2+OB2-2OAOBcos)=sin-3cos+534=2sin(-3)+5340，-3-30,|2)的最小正周期为，且f(-x)=f(x)，则A. f(x)在(0,2)单调递减B. f(x)在(4,34)单调递减C
7、. f(x)在(0,2)单调递增D. f(x)在(4,34)单调递增【答案】A【解析】解：由于f(x)=sin(x+)+cos(x+)=2sin(x+4)，由于该函数的最小正周期为T=2，得出=2，又根据f(-x)=f(x)，得+4=2+k(kZ)，以及|2，得出=4因此，f(x)=2sin(2x+2)=2cos2x，若x(0,2)，则2x(0,)，从而f(x)在(0,2)单调递减，若x(4,34)，则2x(2,32)，该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确故选A二、填空题9、已知tan=13，则sin2-sin21+cos2的值为_【答案】518【解析】解：tan=13，故答
8、案为518/10若02，cos(3+)=13，则cos=_【答案】26+16【解析】解：00，-,)的形式为_【答案】2cos(-3)【解析】解：cos+3sin=2(12cos+32sin)=2cos(-13)，故答案为：2cos(-13).12已知不等式f(x)=32sinx4cosx4+6cos2x4-62+m0，对于任意的-56x6恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】(-,-3【解析】解：f(x)=32sinx4cosx4+6cos2x4-62+m=322sin12x+62(2cos2x4-1)+m=322sin12x+62cos12x+m=6sin(12x+6)+m，-56x6，-
9、412x+64，-22sin(12x+6)22，故由题意可得，f(x)的最大值为m+30，所以m-3故答案为：(-,-3.三、解答题13已知函数f(x)=4cos2x+msinxcosx(mR)，且满足f4=4(1)求m的值及f(x)的最小正周期；(2)若x0,34，求f(x)的单调区间【答案】解：(1)由f(4)=4，得4(22)2+m2222=4，解得m=4f(x)=4cos2x+4sinxcosx=41+cos2x2+2sin2x=2+2cos2x+2sin2x=22sin(2x+4)+2，所以函数f(x)的最小正周期T=(2)由-2+2k2x+42+2k(kZ)，得-38+kx8+k(
10、kZ)又x0,34时，所以x0,8，或x58,34，即f(x)的单调递增区间为0,8和58,34；由2+2k2x+432+2k(kZ)，得8+kx58+k(kZ)，又x0,34，所以f(x)的单调递减区间为8,5814已知函数f(x)=(cosx+3sinx)sin(2-x)+12(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间712,56上的最小值以及取得该最小值时x的值【答案】解：(1)因为函数f(x)=(cosx+3sinx)sin(2-x)+12=(cosx+3sinx)cosx+12=cos2x+3sinxcosx+12=1+cos2x2+32sin2x+12
11、=sin(2x+6)+1；函数f(x)最小正周期是T=；当2k-22x+62k+2，kZ，即k-3xk+6，kZ，函数f(x)单调递增区间为k-3,k+6，kZ；(2)x712,56432x+6116；所以当2x+6=32时，即x=23时，f(x)取得最小值015在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinA=acos(B-6)(1)求角B的大小；(2)若D为AC的中点，且BD=1，求SABC的最大值【答案】解：(1)由正弦定理及bsinA=acos(B-6)得sinBsinA=sinAcos(B-6)，由A(0,)，所以sinA0，则sinB=cos(B-6)=32cos
12、B+12sinB，tanB=3，又B(0,)，所以B=3(2)如图，由SABC=12acsinB=34ac，又D为AC的中点，则2BD=BA+BC，所以4=a2+c2+2BABC=a2+c2+ac3ac，则ac43，当且仅当a=c时取等号，所以ABC的面积最大值为3316在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m=cos3A2,sin3A2,n=cosA2,sinA2，且满足m+n=3(1)求角A的大小；(2)若b+c=3a，试判断ABC的形状【答案】解：(1)由|m+n|=3得m2+n2+2mn=3即1+1+2(cos3A2cosA2+sin3A2sinA2)=3，即2+2cosA=3，cosA=12，0A，A=3(2)b+c=3a，a2=(b+c)23，cosA=b2+c2-a22bc=2b2-2bc+2c26bc=12，2b2-5bc+2c2=0，b=2c或b=c2当b=2c时，a2+c2=3c2+c2=4c2=b2，ABC是以B为直角的直角三角形.当b=c2时，a2+b2=c2，ABC是以C为直角的直角三角形终上所述：ABC是直角三角形
