1、河南省2021届高三数学上学期期中试题 文（时间：120分钟，满分：150分）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设复数z满足，则虛部是（）A3iB3iC3D32已知集合Mx|x24，Nx|2，则（）Ax|2x3Bx|0x4Cx|2x2Dx|0x23函数y2在x1处的切线方程为（）Ay4x+2 By2x4 Cy4x2 Dy2x+44窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A（1）B（1+）C（+1）D（+1）5数列a
2、n中，a35，a72，若（）是等比数列，则a5（）A1或3B1C3D6从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（）ABCD7设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则mn的一个充分不必要条件是（）Am，n， Bm，n，Cm，n，Dm，n，8设a0，b0，且2a+b1，则（）A有最小值为 B有最小值为C有最小值为 D有最小值为49执行如图所示的程序框图，若输出的x为30，则判断框内填入的条件不可能是（）A x29？ Bx30？ Cx14？Dx16？10已知，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A，kZB，kZC，kZD，kZ11设函
3、数f（x）的定义域为R，满足2f（x）f（x+2），且当x2，0）时，f（x）x（x+2）若对任意x（，m，都有f（x）3，则m的取值范围是（）A（，B（，C，+）D，+）12已知球O的表面上有A，B，C，D四点，且AB2，BC，若三棱锥BACD的体积为，且AD经过球心O，则球O的表面积为（）A8B12C16D18二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知a，b，c，则a、b、c三者的大小关系为 14假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，799进行编号，如果从随机数
4、表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 83921206766301637859 1695566719 9810507175 1286735807 44395238793321123429 7864560782 5242074438 1551001342 996602795415已知向量，满足|+|2|，其中是单位向量，则在方向上的投影为 16数列满足，则数列的前20项和为 三解答题（第17-21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答；
5、第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答；本大题共6小题，共60分）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（）.（1）若，判断ABC的形状；（2）若，ABC的面积为，求ABC的周长18已知数列an是公差不为0的等差数列，数列bn是正项等比数列，其中a1b11，4（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn19“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x126121617花费累积y（万元）139172226假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求（1）花
6、费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：，.20如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PAPC，BDPA，E是BC上一点，且BE1，设ACBDO（1）证明：PO平面ABCD；（2）若BAD60，PAPE，求三棱锥PAOE的体积21已知的数f（x）+（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围22平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极
7、坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OQ|2|OP|，点M的坐标为（2，0），求MPQ的面积23已知a，b，c为一个三角形的三边长证明：（1）; （2）.20202021学年上期期中试卷参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1设复数z满足zi3+i，则虛部是（）A3iB3iC3D3【解答】解：zi3+i，则虚部是3，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2已知集合Mx|x24，Nx|log2x2，则MN（）Ax|2x3Bx|0x4Cx|2x
8、2Dx|0x2【解答】解：Mx|2x2，Nx|0x4，MNx|0x2故选：D【点评】本题考查了对数函数的单调性及定义域，描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题3函数y2x（lnx+1）在x1处的切线方程为（）Ay4x+2By2x4Cy4x2Dy2x+4【解答】解：由已知得：y2lnx+4，所以y|x14，切点为（1，2）故切线方程为：y24（x1），即y4x2故选：C【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于基础题4窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境
9、，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A（21）a2B（21+）a2C（+1）a2D（+1）a2【解答】解：根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积SSACE2S扇形AOBSBCD，即S故“窗花”面积为4S故选：A【点评】本题考查扇形的面积公式以及学生的运算能力，属于中档题5数列an中，a35，a72，若（nN*）是等比数列，则a5（）A1或3B1C3D【解答】解：根据题意，设bn，则数列bn是等比数列，设其公比为q，
10、若a35，a72，则b31，b74，则q44，变形有q22，则b5b3q22，则有2，解可得a53，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意求出该等比数列的通项公式，属于基础题6从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（）ABCD【解答】解：记2名男生为A1，A2，3名女生为B1，B2，B3，所有的结果为：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有10种情况，符合条件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3
11、，共6种情况，所以概率为，故选：C【点评】本题考查了列举法求概率问题，是一道基础题7设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则mn的一个充分不必要条件是（）Am，n，Bm，n，Cm，n，Dm，n，【解答】解：A、m，n，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出mn，因此不正确；B、，m，n，可得mn，因此无法得出mn，因此不正确；C、，m，n，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出mn，因此不正确D、，m，n，可得n，因此可得mn，因此正确；故选：D【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8设a0，b0，且2
12、a+b1，则（）A有最小值为2+1B有最小值为+1C有最小值为D有最小值为4【解答】解：根据题意，因为a0，b0，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最小值为故选：A【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题9执行如图所示的程序框图，若输出的x为30，则判断框内填入的条件不可能是（）Ax29？Bx30？Cx14？Dx16？【解答】解：执行程序，可得x2，2是偶数，x3，3不是偶数，x6，不符合判断框内的条件，执行否，x7，7不是偶数，x14，不符合判断框内的条件，执行否，x15，不是偶数，x30，此时应该满足条件，结束循环，故判断框内的条
13、件为x14时不符合要求，x30时符合要求，故A，B，D选项均满足故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10已知，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A，kZB，kZC，kZD，kZ【解答】解：，f（x）图象向右平移个单位长度得到的解析式为，令2xk，则，所以对称轴为，kZ故选：A【点评】本题主要考查了函数yAsin（x+）的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题11设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）f（x+2），且当x2，0）时，f（x）x（x+2）
14、若对任意x（，m，都有f（x）3，则m的取值范围是（）A（，B（，C，+）D，+）【解答】解：函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）f（x+2），可得f（0）2f（2）0，当x2，0）时，函数f（x）在2，1）上递增，在（1，0）上递减，所以f（x）maxf（1）1，由2f（x2）f（x），可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由f（x）f（x+2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当x4，2）时，f（x）maxf（3），当x0，2）时，f（x）maxf（1）2，当x2，4）时，f（x）maxf（3）4，设x2，4）时，x42，
15、0），f（x4）（x4）（x2）f（x），即f（x）4（x4）（x2），x2，4），由4（x4）（x2）3，解得x或x，根据题意，当m时，f（x）3恒成立，故选：A【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题12已知球O的表面上有A，B，C，D四点，且AB2，BC2若三棱锥BACD的体积为，且AD经过球心O，则球O的表面积为（）A8B12C16D18【解答】解：由题意可知画出图形，如图所示：球O的球心在AD的中点，取BC的中点E，连接AE，OE，由余弦定理得：，所以AC2，即AC2+AB2BC2，所以ABC为直角三角形则点E为ABC的
16、外接圆的圆心由球的对称性可知：OE平面ABC，由于，所以，即，解得OE，由于AE平面ABC，OEAE，AE，所以球的半径ROA，所以球的表面积为S42216故选：C【点评】本题考查的知识要点：余弦定理，球的对称性，线面垂直的判定和性质，球的表面积公式，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题二填空题（共4小题）13答案为：abc【解答】解：alog20.3，blog0.32，c20.3，alog20.3log20.51，0blog0.32log0.31，c20.30，abc14假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进
17、行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号331，572，455，068，047（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42
18、 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877它大于799故舍去，第五个数是047故答案为：331、572、455、068、047【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的15已知向量，满足|+|2|，其中是单位向量，则在方向上的投影为【解答】解：，在方向上的投影是故答案为：【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属
19、于基础题16220三解答题（共7小题）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC（acosB+bcosA）cosB（1）若sin2A2sinBsinC，判断ABC的形状；（2）若tanA，ABC的面积为，求ABC的周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）bcosC（acosB+bcosA）cosB由正弦定理可得：sinBcosC（sinAcosB+sinBcosA）cosBsin（A+B）cosB，可得：sinBcosCsinCcosB，可得：sin（BC）0，由于B，C（0，），可得：BC（，），所以：BC，可得：bc，4分因为：sin2A2sinBsinC，所以由正
20、弦定理可得：a22bc，可得：a2b2+c2，所以ABC是等腰直角三角形6分（2）tanA，sin2A+cos2A1，cosA，sinA，8分由（1）知bc，cosA，b2a，10分ABC的面积为，可得SbcsinA，a1，b2，ABC的周长a+b+c5a512分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18已知数列an是公差不为0的等差数列，数列bn是正项等比数列，其中a1b11，a5b3，a3a94b5（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn
21、【解答】解：（1）设数列an的公差为d（d0），数列bn的公比为q（q0），由题设可得：，解得：d2，q3，an1+2（n1）2n1，bn3n1；（2）由（1）知：anbn（2n1）3n1，Tn130+331+532+（2n1）3n1，又3Tn131+332+（2n3）3n1+（2n1）3n，两式相减得：2Tn1+2（31+32+3n1）（2n1）3n1+2+（12n）3n，整理可得：Tn（n1）3n+1【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题19“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中对我们物质帮助
22、是最重要的一个指标，下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x126121617花费累积y（万元）139172226假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：【解答】解：（1）由表可知，花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为（2）当x24时，1.463240.16735（万元），30岁成家立业之后，在50岁之前偿还，共计20年，所以每月应还元【点评】本题考查
23、回归直线方程的求法与应用，考查学生的运算能力，属于基础题20如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PAPC，BDPA，E是BC上一点，且BE1，设ACBDO（1）证明：PO平面ABCD；（2）若BAD60，PAPE，求三棱锥PAOE的体积【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，BDAC，O是AC的中点，BDPA，PAACA，BD平面PAC，PO平面PAC，BDPO，PAPC，O是AC的中点，POAC，ACBDO，PO平面ABCD（2）解：由四边形ABCD是菱形，BAD60，得ABD和BCD都是等边三角形，BDAB4，O是BD的中点，BO2，在RtABO中，AO2，在R
24、tPAO中，PA2AO2+PO212+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DFBC，在RtPOE中，PE2OE2+PO23+PO2，在ABE中，由余弦定理得AE2AB2+BE22ABBEcos12021，PAPE，PA2+PE2AE2，12+PO2+3+PO221，PO，SAOESABCSABESCOE，三棱锥PAOE的体积VPAOE【点评】本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21.解：（1）函数 f（x） 的定义域为（0，十），当a0 时，由 f（x）0，解得 ，令f（x）0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递增；
25、令f（x）0，得 ，所以 f（x） 在 上单调递减当2a0 时，由 f（x）0，解得 或 ，且 令f（x）0，得 ，所以f（x） 在 上单调递增；令f（x）0，得 ，所以f（x） 在 上单调递减当a2 时，f（x）0，f（x） 在 （0，+）上单调递增当a2 时，由 f（x）0，解得 或 ，且令f（x）0，得 ，所以f（x） 在 上单调递增；令f（x）0，得 ，所以f（x） 在 上单调递减（2）恒成立，即xex1lnx+ax 在 （0，+） 上恒成立，即 在 （0，+） 上恒成立令，则 ，令h（x）x2ex+lnx，则 ，所以h（x）在（0，+）上单调递增，而，故存在，使得h（x0）0，即，所
26、以令（x）xex，x（0，+），（x）（x+1）ex0，所以（x）在（0，+）上单调递增，所以当x（0，x0） 时，h（x）0，即 g（x）0，故g（x）在（0，x0）上单调递减；当x（x0，+） 时，h（x）0，即 g（x）0，故 g（x） 在 （x0，+）上单调递增，所以当xx0 时，g（x）取得极小值，也是最小值，所以，故a1所以a的取值范围为（，122平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：ykx与曲线C1、曲线C2在第一象限交
27、于P，Q两点，且|OQ|2|OP|，点M的坐标为（2，0），求MPQ的面积【解答】解：（1）依题意，曲线C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：x2+y2x0，根据整理得cos，由于曲线C2的极坐标方程为根据转换为直角坐标方程为（2）将0代入，得到，将0代入cos得到Pcos0，由于|OQ|2|OP|，所以2PQ，所以，解得，所以由于，所以，故PMQ的面积SMPQSOMPSOMQ【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23已知a，b，c为一个三角形的三边长证明：（1）+3；（2）2【解答】解：（1）a，b，c0，+3；当且仅当abc取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，三式左右相加得2，故命题得证【点评】考查了基本不等式的应用
