1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。22充分条件、必要条件、充要条件1命题真假与推出关系命题真假“若p，则q” 为真命题“若p，则q” 为假命题文字表述由p可以推出q成立由p不能推出q成立符号表示pqpD/q读法p推出qp不能推出q传递性如果pq，qs，那么ps2.充分条件、必要条件推出关系pq条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件3.充要条件(1)定义：推出关系pq，且qp，记作pq称为“p与q等价”或“p等价于q”条件关系p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件(2)本质：p是q的充分必要条件，
2、也常说成p成立当且仅当q成立(3)应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容4性质定理、判定定理和数学定义(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征. 性质定理具有“必要性”(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征判定定理具有“充分性”(3)数学定义既具有必要性也具有充分性1不等式x(x2)0成立的一个必要不充分条件是()A BC D【解析】选B.由x(x2)0得0x2，因为(0，2)x|x1，所以“x|x1”是“不等式x(x2)bc”是“ab”的必要条件B“acbc”是“ab”的必要条件C“acbc”是“ab”的充分条
3、件D“acbc”是“ab”的充分条件【解析】选B.若ab，则acbc；若acbc，则a不一定等于b，故“acbc”是“ab”的必要条件3从符号“”“D/”“”中选择适当的一个填空：(1)x20_(x2)(x3)0；(2)a5是无理数_a是无理数；(3)xy_.【解析】(1)x20 x2(x2)(x3)0；(2)根据无理数的定义可知，a5是无理数a是无理数(3)因为当xy2”是“x3”的_条件；(2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的_条件【解析】(1)因为“x3”“x2”，所以“x2”是“x3”的必要条件；(2)因为“四边形ABCD是正方形”“四边形ABCD是菱形”，所以“
4、四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件答案：(1)必要(2)充分5“x1”是“x2x20”的_条件，“x2x20”是“x1”的_条件(用“充分”“必要”填空)【解析】由x1x2x20，所以“x1”是“x2x20”的充分条件，“x2x20”是“x1”的必要条件答案：充分必要6p：1xa，若p是q的充分条件，则a的取值范围为_【解析】x1xa，令Ax|x1，Bx|xa，则AB，所以a1.答案：a17求证：关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x20，所以ac0.(2)充分性：由ac0及x1x20，所以方程ax2bxc0有两个不相等的实根，且
5、两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上可知，关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0且x4”的一个充分不必要条件为()A0x4 B0x0 Dx4【解析】选B.由题意得0x4，则充分不必要条件是集合x|0xbc，则()A“xb”是“xa”的充分不必要条件B“xa”是“xc”的充要条件C“xc”是“xa”的必要不充分条件D“xb”是“xc”的既不充分也不必要条件【解析】选C.对于A，xb/ xa，xaxb，则“xb”是“xa”的必要不充分条件，A错误；对于B，xaxc，xc/ xa，则“xa”是“xc”的充分不必要条件，B错误；对于C，xc/ xa，xaxc
6、，则“xc”是“xa”的必要不充分条件，C正确；对于D，xbxc，xc/ xb，则“xb”是“xc”的充分不必要条件，D错误6“m”是“关于x的一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件()A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要【解析】选A.关于x的一元二次方程x2xm0有实数解，则14m0，解得m，所以，所以“m”是“关于x的一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件二、多选题7已知A，B为实数集R的非空集合，则AB的必要不充分条件可以是()AABA BARBCRBRA DBRAR【解析】选ABD.因为ABRBRA，所以RBRA是AB的充分必要条件，因为ABABABAARB
7、BRAR，故选ABD.8下列各题中，p是q的充要条件的有()Ap：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分Bp：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例Cp：xy0；q：x0，y0Dp：x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根；q：abc0(a0)【解析】选BD.四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，故p不是q的充要条件；两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导，故p是q的充要条件；xy0不能推出x0，y0，可能x0，y0，故p不是q的充要条件；x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根，将1代入方程可得abc0，当ab
8、c0时，cab代入方程ax2bxc0得ax2bxab(axab)(x1)0，解得x1，故p是q的充要条件三、填空题9若集合A1，m2，B2，4，则“m2”是“AB4”的_条件(填必要、不必要)答案：不必要10函数ykxb的图象经过第一、二、三象限的充要条件是_【解析】函数ykxb的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k0，b0.答案：k0，b0四、解答题11下列所给的各组p，q中，p是q的什么条件？(1)p：x2x6，q：x；(2)p：b2ac，q：；(3)p：ABA，q：UBUA；(4)p：点P(2a，3a2)到两坐标轴距离相等，q：a1或a0.【解析】(1)由于“x2x6”，则“x”，故“
9、x2x6”是“x”的必要不充分条件(2)b2acD/，如b0，c0时，b2ac，而，无意义但b2ac，所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件(3)画出Venn图(如图)可得ABAABUAUB，故p是q的充要条件(4)当a1时，点P(1，1)到两坐标轴距离相等，当a0时，点P(2，2)到两坐标轴距离相等，当点P(2a，3a2)到两坐标轴距离相等时，|2a|3a2|，解得a1或a0.所以pq，所以p是q的充要条件12已知集合Ax|1x3，集合Bxa xa1，aR.(1)若“1B”是真命题，求实数a的取值范围；(2)若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围【解析】(1)若“1B”
10、是真命题，则a 1a1，得0a1.(2)若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则BA，即，得1a2，即实数a的取值范围是a|1a2一、选择题1若非空集合A，B，C满足ABC，且B不是A的子集，则()A“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C“xC”是“xA”的充分条件也是“xA”的必要条件D“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件【解析】选B.xA必有xC，但反之不一定成立，所以“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件2盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品从军行中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还其最后
11、一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件3(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则()Ap是q的既不充分也不必要条件Bp是s的充分条件Cr是q的必要不充分条件Ds是q的充要条件【解析】选BD.根据题意画出示意图如图：由图示可知，prsqrs，所以p是q的充分条件，p是s的充分条件，r是q的充要条件，s是q的充要条件二、填空题4已知Px|a4xa4
12、，Qx|1x0两种情况，当xy0时，不妨设x0，则|xy|y|，|x|y|y|，所以等式成立当xy0时，即x0，y0，或x0，y0，y0时，|xy|xy，|x|y|xy，所以等式成立当x0，y0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作ABCABC；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合1，2，3中的元素其中是命题的个数是()A2 B4 C5 D7【解析】选B.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，不是陈述句；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命
13、题；(8)是命题2已知p：A，q：AB，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选A.由已知AAB，反之不成立，得p是q的充分不必要条件3a，b中至少有一个不为零的充要条件是()Aab0 Bab0Ca2b20 Da2b20【解析】选D.A.ab0是a，b中至少有一个不为零的既不充分也不必要条件；Bab0是a，b中至少有一个不为零的充分不必要条件；Ca2b20是a，b中至少有一个不为零的既不充分也不必要条件；Da2b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.所以a2b20是a，b中至少有一个不为零的充要条件4已知集合A1，a，
14、B1，2，3，则“a3”是“AB”的()A充分条件B必要条件C既是充分条件也是必要条件D既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.当a3时，A1，3，故AB，若ABa2或a3，不一定有a3，故“a3”是“AB”的充分条件5(2021长春高一检测)在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选A.若开关A闭合，则灯泡B亮，所以pq；若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，所以qp不成立，所以p是q的充分不必要条件6(2021绥化高一检测)设p：x1；q：axa1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范
15、围是()A0a B0aC0a D0a【解析】选B.因为p：x1；q：axa1，且p是q的充分不必要条件，所以x|axa1，则且两不等式中的等号不同时成立解得：0a.7(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是()A“ab”是“acbc”的充要条件B“ab”是“a2b2”的充分条件C“a5”是“ab时，a2b2时，ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a3”时一定有“a5”成立，所以“a3”是“a5”的必要条件，C正确；D显然正确8(多选)下列结论中正确的是()A“x0”是“x2”的必要不充分条件B“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件C若a，
16、bR，则“a2b20”是“a，b不全为0”的充要条件D在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件【解析】选ABC.根据题意，依次分析选项：对于A，若x0，则“x2”不一定成立，反之若“x2”，必有“x0”，故“x0”是“x2”的必要不充分条件，A正确；对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如x，反之“x2为无理数”，则“x为无理数”，故“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件，B正确；对于C，若“a2b20”，则“a，b不全为0”，反之若“a，b不全为0”，则“a2b20”，故若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为0”的充要条件，C正确；对
17、于D，在ABC中，若“AB2AC2BC2”，则A90，故“ABC为直角三角形”，反之不一定成立，故“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充分不必要条件，D错误9(多选)已知集合Ax|1x3，集合Bx|xm1，则AB的一个充分不必要条件是()Am2 Bm2Cm2 D4m0”的一个充分不必要条件可以为_；一个必要不充分条件可以为_【解析】“x0”的充分不必要条件可以为x2；一个必要不充分条件可以为x1.答案：x2(答案不唯一)x1(答案不唯一)三、解答题(每小题10分，共30分)11将下列性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1)平面四边形的外角和为360；(2)在
18、平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相等【解析】(1)写成“若p，则q”的形式：若平面多边形是四边形，则它的外角和为360，“外角和为360”是“平面多边形是四边形”的必要条件；(2)写成“若p，则q”的形式：在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则两个点的横坐标相等，“两个点的横坐标相等”是“两个点关于x轴对称”的必要条件12已知集合Ax|2ax2a，Bx|x1 或x4(1)当a3时，求AB；(2)若a0，且“xA”是“xRB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解析】(1)因为当a3时，Ax|1x5, Bx| x1或x4，所以ABx| 1x1或4x5；(2)因为Bx| x1
19、或x4，所以RBx|1x0)，所以所以0a1.13求证：方程mx22x30有两个同号不相等实根的充要条件是0m.【证明】设p：0m，q：方程mx22x30有两个同号不相等实根(1)充分性(pq)：因为0m，所以412m0，所以一元二次方程mx22x30有两个不等的实根设方程的两根为x1，x2，当0m时，x1x20且x1x20，故方程mx22x30有两个同号且不相等的实根(2)必要性(qp)：若方程mx22x30有两个同号且不相等的实根，则有所以0m，即方程mx22x30有两个同号且不相等的实根0m.综上可知，方程mx22x30有两个同号且不相等的实根的充要条件是0m.关闭Word文档返回原板块
