1、抢分练2(时间:30分钟,满分:24分)1.(12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且ab=2.(1)求椭圆C1的方程;(2)已知B,A分别为椭圆C1的左、右顶点,P为椭圆C1上不同于A,B的任一点,在抛物线C2:y2=2px(p0)上存在两点Q,R,使得四边形AQPR为平行四边形,求p的最小值.2.(12分)(2022广东二模)已知函数f(x)=xenx-nx(nN*且n2)的图象与x轴交于P,Q两点,且点P在点Q的左侧.(1)求点P处的切线方程y=g(x),并证明:当x0时,f(x)g(x);(2)若关于x的方程f(x)=t(t为实数)有两个正实根x1,x2
2、,证明:|x1-x2|0,即-2km+p0,x1+x2=-2(km-p)k2,x1x2=m2k2,x0=x1+x22=-km-pk2,y0=kx0+m=pk.又x0=x3+22,y0=y32,x3=2x0-2=-2(km-p)k2-2,y3=2y0=2pk.P-2(km-p)k2-2,2pk.点P在曲线C1上,代入可得-2(km-p)k2-224+2pk2=1,即km-pk2+12+2pk2=1.令2pk=sin,km-pk2+1=cos,其中k,kZ,由得k=2psin,代入,得km=p-4p21+cos,代入得-2km+p=-2p+8p21+cos+p0,解得p1+cos8,sin 0,c
3、os 1,1+cos80,所以G(x)在0,+)上单调递增.又因为Flnnn=nlnnn+1eln n-(n+nln n)=0,所以当x0,lnnn时,F(x)0.所以F(x)在0,lnnn上单调递减,在lnnn,+上单调递增.所以F(x)在x=lnnn时有极小值,也是最小值,即F(x)Flnnn=lnnneln n-(n+nln n)lnnn+(ln n)2=0,所以当x0时,f(x)h(x).设方程h(x)=t的根为x2,则x2=t+(lnn)2nlnn.易知h(x)在0,+)上单调递增,由h(x2)f(x2)=t=h(x2),所以x2x2.对于(1)中g(x)=(1-n)x,设方程g(x
4、)=t的根为x1,则x1=t1-n.易知g(x)在0,+)上单调递减,由(1)知g(x1)f(x1)=t=g(x1),所以x1x1.所以x2-x1x2-x1=t+(lnn)2nlnn-t1-n=1nlnn+1n-1t+lnnn.因为nln n-(n-1)=n(ln n-1)+1,易知当n3时,ln n-10,故n(ln n-1)+10(n3);当n=2时,2(ln 2-1)+1=ln 4-10.所以nln nn-10,所以01nlnn2nlnn.记(x)=f(x)=(nx+1)enx-n,x0,则(x)=n(nx+2)enx0恒成立.所以(x)在0,+)上单调递增,因为f(0)=1-n0,所以存在x00,lnnn使得f(x0)=0.所以当x0,x0)时,f(x)0.所以f(x)在0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增.因为f(0)=0,flnnn=0,所以当方程f(x)=t(t为实数)有两个正实根x1,x2时,t0,所以1nlnn+1n-1t2tnlnn.所以x2-x1x2-x12tnlnn+lnnn,
