1、限时练4(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022山东临沂三模)已知复数z满足(1-i)z=2+2i,则|z|=()A.2B.3C.2D.32.(2022广东广州二模)已知数列an是等差数列,且a2+a5+a8=,则tan(a1+a9)=()A.3B.33C.-33D.-33.(2022山东潍坊二模)设集合M,N,U均为非空集合,且满足MNU,则(UM)(UN)=()A.MB.NC.UMD.UN4.(2022广东汕头一模)已知0,2,tan+4=-23tan ,则sincos2sin+cos
2、=()A.-12B.-35C.3D.-535.(2022山东烟台三模)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A,B两点,D为AB的中点,若kABkOD=12,则双曲线C的离心率为()A.6B.2C.3D.626.(2022山东潍坊模拟)折扇又名“撒扇”“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,如图1.其平面图如图2的扇形AOB,其中AOB=120,OA=2OC=2,点E在弧CD上,则EAEB的最小值是()图1图2A.-1B.1C.-3D.37.(2022北京9)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是ABC及其内部的点构成的
3、集合.设集合T=QS|PQ5,则T表示的区域的面积为()A.34B.C.2D.38.(2022全国甲理11)设函数f(x)=sinx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是()A.53,136B.53,196C.136,83D.136,196二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022河北唐山三模)下列说法正确的有()A.若ab,cd,则acbdB.若xex=1,则x+ln x=0C.若ab,则1a410.(2022广东佛山三模)如图,若正方体的棱长为2,M是正方体
4、ABCD-A1B1C1D1在侧面BCC1B1上的一个动点(含边界),P是AA1的中点,则下列结论正确的是()A.三棱锥P-DD1M的体积为定值B.若PM=5,则点M在侧面BCC1B1运动路径的长度为2C.若D1MDP,则A1M的最大值为22D.若D1MDP,则A1M的最小值为65511.(2022福建福州模拟)已知抛物线C:y2=4x,圆F:(x-1)2+y2=14(F为圆心),点P在抛物线C上,点Q在圆F上,点A(-1,0),则下列结论正确的是()A.|PQ|的最小值是12B.|PF|PA|的最小值是12C.当PAQ最大时,|AQ|=152D.当PAQ最小时,|AQ|=15212.(2022
5、海南海口二模)已知函数f(x)及其导函数f(x)满足xf(x)-f(x)=x2(ln x+1),且f(1)=0,则()A.f(x)在区间(1,+)上单调递增B.f(x)在12,1上有极小值C.f(x)x的最小值为-1D.f(x)-f(x)x的最小值为0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022新高考13)1-yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为.(用数字作答)14.(2022山东临沂三模)某足球队在对球员的使用上进行数据分析,根据以往的数据统计,甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置,且出场率分别为0.3,0.5,0.2,当甲球员在相应位置时,球队输球的概率依次为0
6、.4,0.2,0.6.据此估计当甲球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率为.15.(2022湖南永州二模)已知数列an,bn满足a1=12,an+bn=1,an+1(1-bn2)=an,则anbn=.16.(2022山东临沂二模)祖暅原理可表述为:“幂势既同,则积不容异”.即:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图1是一个椭圆球形瓷凳,其轴截面为图2中的实线图形,两段曲线是椭圆x29+y2a2=1(a29)的一部分.若瓷凳底面圆的直径为4,高为6,则a2=,利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为.
7、图1图2限时练41.A解析 由(1-i)z=2+2i,得z=2(1+i)1-i=2(1+i)2(1-i)(1+i)=(1+i)2=2i,所以|z|=2.2.D解析 在等差数列an中,a2+a5+a8=,则有3a5=,即a5=3,所以tan(a1+a9)=tan 2a5=tan23=-3.3.D解析 (UM)(UN)=U(MN),易知MN=N,则U(MN)=UN.4.B解析 由0,2,得tan 0.又tan+4=-23tan ,得tan+tan41-tantan4=-23tan ,即tan+11-tan=-23tan ,得tan =3或tan =-12(舍去),所以sin =3cos .又sin
8、2+cos2=1,0,2,解得sin =31010,cos =1010.故sincos2sin+cos=sin(cos2-sin2)sin+cos=sin(sin+cos)(cos-sin)sin+cos=sin (cos -sin )=310101010-31010=-35.5.D解析 根据双曲线的对称性,不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线方程为y=k(x-c),k0,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2a2-y2b2=1,y=k(x-c),整理得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-(a2k2c2+a2b2)=0,则x1+x2=2a2k2ca2k2-b2,x1x2=a2k2
9、c2+a2b2a2k2-b2,Da2k2ca2k2-b2,kb2ca2k2-b2,则kOD=kb2ca2k2c=b2a2k.由kABkOD=12,可得b2a2kk=12,即b2a2=12.则双曲线C的离心率e=ca=1+b2a2=62.6. C解析 以O为原点,OB为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1,3),B(2,0),设E(cos ,sin ),0120,EAEB=(-1-cos ,3-sin )(2-cos ,-sin )=(-1-cos )(2-cos )-(3-sin )sin =-3sin -cos -1=-2sin(+30)-1,所以当=60时,EAEB取得最小值-3.7
10、.B解析 过点P作底面的射影点为O,连接CO,可得CO=23326=23.又PC=6,所以PO=PC2-CO2=62-(23)2=26,在线段CO上存在一点M,使得PM=5,此时OM=13,则动点Q在以OM为半径,点O为圆心的圆面上(包括边界),所以面积为,故选B.8.C解析 设x+3=t,由x(0,),得t3,+3.因为有两个零点,可得2+33,即5383.又因为有三个极值点,(sin t)=cos t,即y=cos t在3,+3上有三个零点,所以52+372,解得136196.综上可得136-2,-1-33(-1)-212-12,故C错误;对于D,2x=6x=log26=1+log23,y
11、=log36=1+log32,所以xy=(1+log23)(1+log32)=1+log23+log32+log23log32=2+log23+log322+2log23log32=4,故D正确.10.AD解析 对于A,三棱锥P-DD1M的体积VP-DD1M=VM-PDD1,因为P为AA1的中点,所以三角形PDD1的面积是定值,且点M到平面PDD1的距离是正方体的棱长,所以三棱锥P-DD1M的体积是定值,故A正确;对于B,过点P作PQBB1,连接MQ,则由正方体的性质得PQ平面BB1C1C,所以PQMQ,又PM=5,正方体的棱长为2,所以MQ=PM2-PQ2=(5)2-22=1,所以点M的轨迹
12、是以Q为圆心,以1为半径的半圆弧,所以点M在侧面BCC1B1运动路径的长度为22=,故B不正确;对于C,过点P作PQBB1,则Q是BB1的中点,连接QC,取BC的中点N,连接NC1,A1N,A1C1,PD,D1M,则QCPD,C1NQC,因为D1MDP,所以D1MQC.因为D1C1平面BB1C1C,所以D1C1QC,又D1C1D1M=D1,D1C1,D1M平面D1C1M,QC平面D1C1M,所以QC平面D1C1M,所以QCC1M,所以点M的轨迹是线段C1N,在A1C1N中,A1C1=22,C1N=NC2+CC12=5,A1N=AA12+AB2+BN2=3,所以A1M的最大值为3,故C不正确;对
13、于D,cosA1NC1=32+(5)2-(22)2235=55,所以sinA1NC1=255,所以点A1到C1N的距离为d=A1NsinA1NC1=3255=655,所以A1M的最小值为655,故D正确.11.AC解析 抛物线C:y2=4x的焦点(1,0),圆F:(x-1)2+y2=14的圆心F(1,0),半径r=12.对于A,|PQ|的最小值是|PF|的最小值减去圆的半径,又|PF|的最小值是1,所以|PQ|的最小值是1-12=12,故A正确;对于B,设P(4t2,4t),则|PF|2=(4t2-1)2+16t2=16t4+8t2+1,|PA|2=(4t2+1)2+16t2=16t4+24t
14、2+1,当t=0时,|PF|PA|=1,当t0时,|PF|2|PA|2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1-16t216t4+24t2+1=1-1616t2+24+1t21-16216t21t2+24=12,当且仅当16t2=1t2,即t=12时,等号成立,所以|PF|PA|的最小值是22,故B不正确;对于C,如图所示,要使PAQ最大,当且仅当AQ与圆F相切,AP与抛物线C相切,且点P,Q在x轴两侧,所以当PAQ最大时,|AQ|=|AF|2-|QF|2=22-14=152,故C正确;对于D,PAQ最小为0,即P,A,Q共线,则当PAQ最小时,即|AQ|32,52,故D不正确.故选A
15、C.12.ABD解析 设g(x)=f(x)x,则g(x)=xf(x)-f(x)x2=ln x+1,所以g(x)=xln x+C(C为常数),所以f(x)=xg(x)=x2ln x+Cx.又f(1)=0,所以C=0,所以f(x)=x2ln x,f(x)=x(2ln x+1).当0x1e时,f(x)1e时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1e处取得极小值.因为1e2,所以121e1,所以f(x)在12,1上有极小值,故A,B正确;g(x)=xln x,g(x)=ln x+1,当0x1e时,g(x)1e时,g(x)0,g(x)单调递增,所以g(x)的最小值为g1e=-1e,故C错误;
16、f(x)-f(x)x=x(x-1)ln x,当0x1时,x-10,ln x0,当x1时,x-10,ln x0,所以f(x)-f(x)x0,而当x=1时,f(1)-f(1)1=0,所以f(x)-f(x)x的最小值为0,故D正确.故选ABD.13.-28解析 原式=(x+y)8-yx(x+y)8,展开式中含有x2y6的项为C86x2y6-yxC85x3y5=(C86-C85)x2y6=-28x2y6.故x2y6的系数为-28.14.0.66解析 记甲球员担任前锋、中锋、后卫分别为事件A1,A2,A3,记甲球员担任前锋、中锋、后卫时输球分别为事件B1,B2,B3,则当甲球员参加比赛时,该球队某场比赛
17、不输球的概率为P=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.3(1-0.4)+0.5(1-0.2)+0.2(1-0.6)=0.66.15.n(n+1)2解析 因为an+bn=1,所以bn=1-an,则an=an+11-(1-an)2=anan+1(2-an).因为a1=12,an+bn=1,所以b1=12,则34a2=a1=12,则a2=23,b2=13,所以89a3=23,则a3=34,以此类推可知an0,所以an+1=12-an.因为11-an+1-11-an=11-12-an-11-an=2-an1-an-11-
18、an=1,且11-a1=2,所以数列11-an是首项为2,公差为1的等差数列,即11-an=2+n-1=n+1,所以an=nn+1,bn=1-an=1n+1,因此,anbn=n(n+1)2.16.81544解析 如图,以椭圆x29+y2a2=1的中心为原点建立平面直角坐标系,瓷凳底面圆的直径为4,高为6,易得图中A点坐标为(2,3),故49+9a2=1,解得a2=815.图3为椭圆x29+5y281=1绕长轴所在直线旋转围成的几何体的一半,图4为圆柱挖去等底等高的圆锥形成的几何体,圆柱的底面半径为3,高为95.设OO1=h,即点P纵坐标为h,代入椭圆方程为x29+5h281=1,解得x2=9-5h29,故圆O1的面积S1=9-5h29;圆柱中大圆的半径为CA=3,由CB3=h95可得小圆的半径CB=53h,故圆环的面积S2=9-5h29.易得S1=S2,根据祖暅原理可得图3中的几何体的体积等于图4中的几何体的体积.又该瓷凳底面圆的直径为4,高为6,即O1P=2,O1O=3,CB=5,
