1、6.三角函数图象与性质综合1.三角函数中的取值范围研究在三角函数图象中，对整个图象的性质影响巨大，因此，对的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，比如2016年一卷12题，2019年一卷11题，三卷12题等，所以，对的取值范围的系统研究，找到解题的通性通法对提高学生的整体数学素养有巨大的帮助.1.已知单调性求.例1. 已知，函数在上单调递减，求的取值范围.分析：（1）最大的增，减区间占半周期可求的范围；（2）是最大减区间的子区间.2.已知最值求.例2函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C3.已
2、知对称轴求.例3. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.变式：图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.4.已知零点求.例4已知其中,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是( )AB CD【答案】D5.求综合问题例5（2019全国3卷）设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在（）有且仅有3个极大值点 在（）有且仅有2个极小值点在（）单调递增 的取值范围是)其中所有正确结论的编号是ABCD【答案】D【详解】当时，f（x）在有且仅有5个零点，故正确，由，知时，令时取得极大值，正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，不正确；因此由选项可知只需判断是否正
3、确即可得到答案，当时，若f（x）在单调递增，则 ，即 ，故正确故选D练习已知函数，、，且都有，满足的实数有且只有个，给出下述四个结论：满足题目条件的实数有且只有个；满足题目条件的实数有且只有个；在上单调递增；的取值范围是其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】D练习题1函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C2若函数在上的值域为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A3已知函数，若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B4设函数在上单调递减，则下述三个结论：在上的最大值为，最小值为；在上有且仅有4个零点；关于轴对称；其中所有正确结
4、论的编号是（ ）ABCD【答案】A2.三角函数图象综合问题 图象综合问题着重考察队三角函数图象的感知理解能力，除了掌握必备的图象与性质之外，还需准确的发掘题干中的隐含条件，进而完成题目，在近两年的全国卷中考察频繁.例1.（2021全国甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为_【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.例2已知函数，且在区间上的最大值为.若对任意的，都有成立，则实数的最大值是（ ）ABCD【详解】，所以周期，因为，且在区间上的最大值为，所以是函
5、数图象的一条对称轴，且，即有，.而，解得.故.因为任意的，都有成立，所以在上，.令，若，即，则，成立；若，即，此时，所以，而，即，解得.即.故满足题意的实数的范围为，即实数的最大值是.故选A.例3（2020全国1卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A B C D练习题1已知点是函数的图像上的一个最高点，点、是函数图像上相邻两个对称中心，且三角形的周长的最小值为.若，使得，则函数的解析式为ABCD【答案】A2已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B3函数在一个周期内的图象如图所示，M、N分别
6、是图象的最高点和最低点，O为坐标原点，且，则的值分别是（ ）ABCD【答案】A4已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，且时，则（ ）ABCD【答案】B3.带绝对值的三角函数性质研究近两年全国卷在三角函数的考察方面呈现两个明显的特点，第一，多选项，第二，构造性，通过一些常见的构造方式，考察分类讨论，数形结合能力，比如2019年一卷的11题，将常见的正弦函数套上绝对值，这样的构造方式会由于绝对值的参与使得很多考生望而生怯，本文通过对几道常见的带绝对值的三角函数性质研究，力争探索出一些解题的通性通法，提高解题能力.例1（2019全国卷一）关于函数有下
7、述四个结论：是偶函数 的最大值为2在有4个零点 在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD分析：去绝对值是关键步骤，这样就可以将其转化为熟悉的三角函数形态，这个时候就需要分析奇偶性与周期性从而将分析问题的区间尽可能的缩小到小范围内，这个时候，实际也完成了去绝对值的过程，因此，处理此类带绝对值的三角函数问题，分析奇偶性与周期性是两个必备的过程.解：的定义域为，因为，故为偶函数，结论正确，再分析周期性，周期为.这样就可以去掉绝对值化成分段函数，当，当，故当时，故函数的最大值为2，结论正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论正确.【答案】A因此，此
8、类问题的解题顺序可以归纳为：第一，分析奇偶性，周期性，第二，去绝对值，写成分段函数，第三，画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值. 我们可以再通过下面一些练习进一步提升此类题目的解题能力. 例2.已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，；点是的一个对称中心；直线是函数的一条对称轴；函数的单调递增区间是.其中正确的（ ）ABCD【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故不正确，正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故正确.故选：D.练习题1关于函数的下述四个结论中，正确的是（ ）A是奇函数B的最大值为C在有个零点D在区间单调递增【答案】D2设函数，下述四个结论：是偶函数； 的最小正周期为；的最小值为0； 在上有3个零点其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】B3已知函数，下列结论正确的是（ ）A函数图像关于对称B函数在上单调递增C若，则D函数的最小值为【答案】A4已知函数，现有下述四个结论：的最小正周期为；曲线关于直线对称；在上单调递增；方程在上有4个不同的实根.其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】D
