1、微专题1平面向量数量积的综合应用向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养 类型1数量积的计算【例1】(1)如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若2，则_(2)在ABC中，已知与的夹角是90，|2，|1，M是BC上的一点，且(，R)，且0，则的值为_(1)12(2)(1)因为2，所以，所以.因为ABCD，CD2，BAD，所以2|cos ，化简得|2.故()|2(2)222cos 12.(2)根据题意，建立
2、如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以(0，2)，(1，0)，(1，2).设M(x，y)，则(x，y)，所以(x，y)(1，2)x2y0，所以x2y，又，即(x，y)(0，2)(1，0)(，2)，所以x，y2，所以.平面向量数量积的运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos (为a，b的夹角).(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. 类型2求模【例2】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC中点，则|_2因
3、为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22abb2)4(322cos 4)4，则|2.求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算化为数量积运算；(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解 类型3求夹角【例3】已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2，设向量，的夹角为，则cos _因为2，所以E为BC的中点设正方形的边长为2，则|，|2，()()|2|222222，所以cos .求平面向量的夹角的方法(1)定义法：由向量数量积的定义知，cos ，其中两个向量的夹角的
4、范围为0，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos 类型4垂直问题【例4】ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)Db，|b|2，故A错；22cos 602，即2ab2，ab1，故B，C都错；(4ab)(4ab)b4abb2440，(4ab)，故选D.两向量垂直的应用abab0|ab|ab|(其中a0，b0). 类型5数量积的综合问题【例5】已知向量m(sin 2，cos )，n(sin ，cos )，其中R.(1)若mn，求；(2)若|mn|，求sin 的值解(1)若mn，则mn0，即sin (sin 2)cos20，即sin，可得2k或2k，kZ.(2)若|mn|，则(mn)22，即(2sin 2)2(2cos )22，即4sin 248sin 4cos22，即88sin2，可得sin .平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解
