1、20232024学年度上学期2023级（高一）十月月考数学试题（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合A0，1，则下列关系表示错误是A. 0AB. 1AC. AD. 0，1A2. 若y12x22x1，y2x24x1，则y1与y2大小关系是（ ）A. y1y2B. y1y2C. y1y2B. y1y2C. y1y2D. 随x值变化而变化【答案】A【解析】【分析】采用作差法，判断差的正负，从而可判断y1与y2的大小关系.【详解】 ,故 ，故选：A3. 已知集合，则集合B的子集的个数是（ ）A. 3B. 4C. 8D. 16【答
2、案】C【解析】【分析】先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意，所以集合B的子集的个数为，故选：C.4. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，故，因此，.故选：C.5. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D；【详解】解：对于A：当时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；对于C：由，则，所以，故C错误；对于D：由，所以，所以，故D正确；故选：D6. 一般认为，民用住
3、宅窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于，而且这个比值越大，采光效果越好若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（ ）A. 变坏了B. 变好了C. 不变D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】首先利用字母表示窗户面积与地板面积的比值，再利用作差法，即可比较大小.【详解】设和分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，（面积单位都相同），由题意得，则，因为，所以，又因为，则，所以，即，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.故选：B7. 已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解
4、析】【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.【详解】由可知（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得（当且仅当时等号成立）故选：D8. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，代入不等式求解即可【详解】因为方程的两根分别是和，所以，解得或，因为，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，
5、部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】BC【解析】【分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应关系是否完全一致即可.【详解】选项A，当时，所以与对应关系不完全一致，故不是同一个函数；选项B，与定义域都为，且对应关系完全一致，故是同一个函数；选项C，与的定义域都为，且，对应关系完全一致，故是同一个函数；选项D，对，由，解得，所以的定义域为，对，由，解得或，所以的定义域为，两函数定义域不同，故不是同一个函数.故选：BC.10. 给出下列四个条件：其中能成为的充分条件的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分
6、析】由不等式的性质即可得出结论.【详解】A中，若，则不能得到，A错误；B中，若，则有，满足充分性，B正确；C中，若，则有，是的充分条件，C正确；D中，若，则，不能得到，D错误.故选：BC11. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则；B. 若，则；C. 使不等式成立的一个充分不必要条件是或D. 若是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相等”的充分不必要条件【答案】BC【解析】【分析】A选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；B选项：由不等式的同向可乘性可以判断；C选项：通过检验就可以判断；D选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.【详解】A选项：特称命题的否定是将存在
7、词变为全称量词后否定结论，所以命题:,.则:,，A是假命题；B选项：，B是真命题；C选项：若或，则成立，故满足充分性；当时，或，不满足必要性，C是真命题；D选项：设，则所以不等式等价于.若，此时等价于，此时两者解集相等；若，此时等价于，此时两者解集不相等；若不等式和解集为，则两个不等式的系数没有关系.所以“”是“不等式和解集相等”的既不充分也不必要条件，D是假命题.故选：BC.【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.12. 下列说法正确的有（ ）A. 若a，则B. 若，则C. 若，则D. 设x，y为实数，若，则的最大值为【答案】BCD【解析】
8、【分析】利用基本不等式，结合特例法、绝对值的性质逐一判断即可.【详解】A：当时，故A错误；B：，当且仅当时取等号，即当时取等号，故B正确；C：当，时，当且仅当时取等号，即当时取等号，当且仅当时取等号，即当时取等号，相加可得，故C正确；D：，所以，当且仅当时，等号成立，可得，时取最大值，故的最大值为，D选项正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用基本不等式、特例法.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据复合函数的定义域的性质进行求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，
9、解得.所以函数的定义域为.故答案为：14. 若或是或的必要不充分条件，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析】不妨设或，或，由题意可得，由此即可得解【详解】不妨设或，或，若或是或的必要不充分条件，则有，所以有（等号不同时成立），解得.故答案为：.15. 函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】求出分母范围即可得到值域.【详解】由，则的值域为，故答案为：.16. 已知为正实数，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.【详解】由题得，设，则.当且仅当时取等.所以的最小值为6.故答案为：6四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （1）若不等式对任意的
10、恒成立，求实数k的取值范围；（2）已知a，b是正实数，且满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）题目转化为分和讨论即可；（2）利用乘“1”法即可求出最值【详解】（1）当时，此时对任意实数x都成立，；当时，则满足，即，解得；综上可得，实数k的取值范围为.（2）.则当且仅当时，等号成立，由实数，时，.18. 已知集合，集合，（1）若，求和；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.【小问1详解】当时，或，；【小问2详解】若，则时，即，即，满足
11、：时，则满足，或，解得综上可得，实数a的取值范围为19. 已知不等式的解集为或.（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式（其中c为实数）. 【答案】（1）， （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出、的值；（2）不等式化为，然后分，和讨论即可求出不等式的解集小问1详解】不等式的解集为，或，所以1和是方程的解，所以，解得；由根与系数的关系知，解得；所以，；.【小问2详解】由（1）知，不等式为，即，当时，不等式化为，解得；当时，解不等式得；当时，若，即时，解不等式得或，若，即时，解不等式得，若，即，解不等式得或，综上知，时，不等式的解集为；时，不等式的
12、解集为时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为时，不等式的解集为或20. 已知，是实数，求证：成立充要条件是.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论【详解】解：先证明充分性：若，则成立所以“”是“”成立的充分条件；再证明必要性：若，则，即，即成立所以“”是“”成立的必要条件.综上：成立的充要条件是21. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以2
13、0万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额）【答案】（1）3 （2）方案二更合理，理由见解析【解析】【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【小问1详解】设为前年的总盈利额，单位：万元；由题意可得，由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；【小问2详解】方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额为，当且仅当，即时，
14、等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元；综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.22. 已知函数，（1）若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据在区间上的单调性，结合零点存在性定理可得；(2)将问题转化为两个函数值域的包含关系问题，然后可解.【小问1详解】的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减.因为函数在区间上存在零点，所以，解得，即实数a的取值范围为.【小问2详解】记函数，的值域为集合A，的值域为集合B.则对任意的，总存在，使得成立.因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，得.当时，的值域为，显然不满足题意；当时，的值域为，因为，所以，解得；当时，的值域为，因为，所以，解得.综上，实数a的取值范围为
