1、2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义1.某质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段1,1+t内相应的平均速度为-3t-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-6答案:D2.已知某产品的成本C与产量x之间的函数关系式为C(x)=0.001x3+5x,那么,当x=1 000时,边际成本为()A.2 000B.2 005C.3 005D.4 000答案:C3.某收音机制造厂管理者通过对上午工人工作效率的研究表明:一个中等技术水平的工人,从8:00开始工作,t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)=-t3+9t2+12t,则Q(2)=,它的实际意义为 .
2、答案:36台/时10:00时,该工人装配收音机的速度为36台/时4.一个质量为m=3 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:cm)与时间t(单位:s)的关系可以用函数s(t)=1+t2表示,并且物体的动能W=12mv2,则该物体开始运动后第5 s时的动能为_.解析:因为s(t)=2t,所以s(5)=10 cm/s,即5 s时的瞬时速度为10 cm/s,即0.1 m/s.故W=123(0.1)2=0.015(J).答案:0.015 J5.某工厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c(单位:元)与生产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.(1)求产量为1 00
3、0台时的总利润与平均利润;(2)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量;(3)求c(1 000)与c(1 500),并说明它们的实际意义.解:(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)=-21 0002+7 0001 000+600=5 000 600(元),平均利润为c(1 000)1 000=5 000.6(元).(2)当产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量为c(1 500)-c(1 000)1 500-1 000=6 000 600-5 000 600500=2 000(元).(3)c(x)=(-2x2+7 000x+600)=-4x
4、+7 000,c(1 000)=-41 000+7 000=3 000(元).c(1 500)=-41 500+7 000=1 000(元).c(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时,每多生产一台机械可多获利3 000元;c(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时,每多生产一台机械可多获利1 000元.6.某考生在参加某年高考数学科考试时,其解答完的题目数量y(单位:道)与所用时间x(单位:分钟)近似地满足函数关系y=f(x)=2x.(1)求x从0分钟变化到36分钟时,y关于x的平均变化率;(2)求f(64),f(100),并解释它的实际意义.解:(1)当x从0分钟变
5、化到36分钟时,y关于x的平均变化率为f(36)-f(0)36-0=1236=13(道/分).它表示该考生在前36分钟内,平均每分钟解答13道题.(2)因为f(x)=1x,所以f(64)=18,f(100)=110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时,每分钟可解答18和110道题.7.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热,如果在第x h时,原油的温度(单位:)为y=f(x)=x2-7x+15(0x8).计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6).根据导数的定义,
6、得yx=f(2+x)-f(2)x=(2+x)2-7(2+x)+15-(22-72+15)x=4x+(x)2-7xx=x-3.所以f(2)=limx0yx=limx0(x-3)=-3.同理可得f(6)=5.所以在第2 h与第6 h时,原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,它说明在第2 h附近,原油温度大约以3 /h的速度下降;在第6 h附近,原油温度大约以5 /h的速度上升.8.已知线段AB的长为10米,在它的两个端点处各有一个光源,线段AB上的点P距光源A x米,若点P受两个光源的总光照度I(x)=8x2+1(10-x)2,其单位为:勒克斯.(1)当x从5变到8时,求点P处的总光照度关于点P与光
7、源A的距离x的平均变化率,它代表什么实际意义?(2)求I(5),并解释它的实际意义.解:(1)当x从5变到8时,点P处的总光照度关于点P与光源A的距离x的平均变化率为I(8)-I(5)8-5=18+14-825+1253=32003=0.005(勒克斯/米),它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中,距离每增加1米,光照度平均增强0.005勒克斯.(2)由I(x)=8x2+1(10-x)2,得I(x)=8(-2x-3)+(-2)(10-x)-3(-1)=-16x3+2(10-x)3.从而I(5)=-16125+2125=-14125=-0.112(勒克斯/米).它表示点P与光源A距离5米时,点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米.4
