1、第二章 第九节 导数概念及其运算、定积分授课提示：对应学生用书第287页A组基础保分练1.(sin xacos x)dx2，则实数a等于()A1B1C2 D2解析：由题意知(cos xasin x)|01a2，a1.答案：A2函数f(x)exln x在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2e(x1) B.yex1Cye(x1) Dyxe解析：f(1)0，f(x)ex，f(1)e，切线方程是ye(x1)答案：C3(2021南昌模拟)已知f(x)在R上连续可导，f(x)为其导函数，且f(x)exexxf(1)(exex)，则f(2)f(2)f(0)f(1)()A4e24e2 B.4e24e2C0
2、 D4e2解析：函数f(x)exex(x)f(1)(exex)f(x)，即函数f(x)是偶函数，两边对x求导数，得f(x)f(x)即f(x)f(x)，则f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，f(2)f(2)，即f(2)f(2)0，则f(2)f(2)f(0)f(1)0.答案：C4曲线yax在x0处的切线方程是xln 2y10，则a()A. B.2Cln 2 Dln 解析：由题意知，yaxln a，则在x0处，yln a，又切点为(0，1)，切线方程为xln ay10，a.答案：A5设函数f(x)xb，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线经过坐标原点，则ab()A1 B.0C1 D2解析：由
3、题意可得，f(a)ab，f(x)1，所以f(a)1，故切线方程是yab(xa)，将(0，0)代入得ab(a)，故b，故ab2.答案：D6如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图像那么yf(x)，yg(x)的图像可能是()解析：由yf(x)的图像知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故排除A、C.又由图像知yf(x)与yg(x)的图像在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图像在xx0处的切线的斜率相同，故排除B.答案：D7(2021天津模拟)已知函数f(x)(x2a)ln x，f(x)是函数f(x)的导函数，若f(1)2，则a的值为
4、_解析：f(x)(x2a)ln x(x0)，f(x)2xln x，f(1)1a2，得a3.答案：38已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x3ln x，则曲线yf(x)在点(1，1)处的切线的斜率为_解析：因为当x0时，f(x)x3ln x，所以当x0时，x0，f(x)x3ln(x)因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x3ln(x)，则f(x)3x2，所以f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，1)处的切线的斜率为2.答案：29已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解析：(1)f(
5、x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(x4x5x04)(3x8x05)(xx0)，又切线过点A(2，2)，2(x4x5x04)(3x8x05)(2x0)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.10(2021淮南模拟)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)在函数f(x)x2ln x的图像上是否存在两点，
6、使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由解析：(1)由题意可得f(1)1，且f(x)2x，f(1)211，则所求切线方程为y11(x1)，即yx.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，不妨设x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得1，又函数f(x)2x在区间上单调递增，函数的值域为1，1，故12x12x21，据此有解得x1，x21，故存在两点，(1，1)满足题意B组能力提升练1(2021南阳模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f
7、(e)()Ae B.C1 De解析：由f(x)2xf(e)ln x，得f(x)2f(e)，则f(e)2f(e)，所以f(e)，故f(x)xln x，所以f(e)1.答案：C2(2021保定模拟)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A2 B.C4 D解析：因为曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，所以g(1)2.又f(x)g(x)2x，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)g(1)24.答案：C3(2021广州模拟)已知过点A(a，0)作曲线C：yxex的切
8、线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()A(，4)(0，) B.(0，)C(，1)(1，) D(，1)解析：对yxex求导得yexxex(1x)ex.设切点坐标为(x0，x0ex0)，则过点A(a，0)的切线斜率k(1x0)ex0，化简得xax0a0.依题意知，上述关于x0的二次方程xax0a0有两个不相等的实数根，所以(a)241(a)0，解得a4或a0.答案：A4(2021宣城模拟)若曲线yaln xx2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a()A. B.C. D.解析：因为yaln xx2(a0)，所以y2x2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k，因为2，所以a.答案：B5
9、已知曲线y在x1处的切线l与直线2x3y0垂直，则实数a的值为_解析：y，当x1时，y1.由于切线l与直线2x3y0垂直，所以1，解得a.答案：6(2021乌鲁木齐模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线yxm与曲线yasin xbcos x(a，b，mR)相切于点(0，1)，则的值为_解析：根据题意，若直线yxm与曲线yasin xbcos x(a，b，mR)相切于点(0，1)，则点(0，1)为直线yxm与曲线yasin xbcos x的交点，则10m且1asin 0bcos 0，解得m1，b1.由yasin xbcos x，得yacos xbsin x，所以当x0时，yacos 0bsin
10、01，解得a1，则2.答案：27已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解析：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.C组创新应用练1给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函
11、数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数f(x)的“拐点”已知函数f(x)3x4sin xcos x的拐点是M(x0，f(x0)，则点M()A在直线y3x上B在直线y3x上C在直线y4x上D在直线y4x上解析：f(x)34cos xsin x，f(x)4sin xcos x，结合题意知4sin x0cos x00，所以f(x0)3x0，故M(x0，f(x0)在直线y3x上答案：B2在等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B.29C212 D215解析：因为f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(x
12、a2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a1a8a2a7a3a6a4a58，所以f(0)84212.答案：C3(2021长春模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线yx与直线x1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥x2dx0.据此类比：将曲线y2ln x与直线y1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V_解析：类比已知结论，将曲线y2ln x与直线y1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为(e)2ey，积分变量为y，积分区间为0，1，即V0(e1)答案：(e1)
