1、网格球顶 C的正式名称叫巴克敏斯特富勒(buckminsterfullerene)或富勒,其结构与美国发明家理查德巴克敏斯特富勒设计的“网格球顶”外形相似,故得此名网格球顶是把正二十面体的正三角形面分成多个相同的正三角形,然后将这些相同的正三角形内接于球体内,最后将各顶点投射于球面而形成在外表面积相同的立体图形中球拥有的体积最大,所以,与球相似的网格球顶较其他建筑物使用材料少、拥有空间大,而且又非常轻便、稳定、坚固,因而成为建筑行业的最爱第 十 五 章圆 锥 曲 线第一节 椭 圆 (全国大纲理)椭圆的中心在原点,焦距为,一条准线为x,则该椭圆的方程为()AxyBxy Cx y Dxy (山东理
2、)已知椭圆C:xa yb(ab)的离心率为 ,双曲线xy的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为,则 椭 圆 C 的 方 程 为()Ax y Bxy Cxy Dxy (全国新课标理)设 F、F 是椭圆 E:xa yb(ab)的左、右焦点,P 为直线xa 上一点,FPF 是底角为的等腰三角形,则E 的离心率为()ABCD(四川理)椭圆xa yb(ab)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A在椭圆上存在点P 满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是()A,B,(C,)D ,)(全国理)已知椭圆C:xa yb(ab)第 十 五 章 圆 锥 曲
3、 线蜗牛爬树 一棵树高九丈八,一只蜗牛往上爬白天往上爬一丈,晚上下滑七尺八试问需要多少天,爬到树顶不下滑?解:设蜗牛需x 天才爬至树顶不下滑,而爬到九丈八需x 天,可列方程式如下:()(x),解得x,即蜗牛需天才爬到树顶不下滑的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为k(k)的直线与 C 相交于A、B 两点,若AFFB,则k等于()AB C D(江西理)椭圆xa yb(ab)的左、右顶点分别是 A、B,左、右 焦 点 分 别 是 F、F若|AF|、|FF|、|FB|成等比数列,则此椭圆的离心率为 (四川理)椭圆x y 的左焦点为 F,直线xm 与椭圆相交于点A、B,当FAB 的周长最大时,FAB 的
4、面积是 (浙江理)设 F、F 分别 为 椭 圆x y的左、右焦点,点 A、B 在椭圆上,若FAFB,则点 A 的坐标是 (全国新课标理)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F、F 在x 轴上,离心率为 过点F的直线l交C 于A、B 两点,且ABF 的周长为,那么椭圆C 的方程为 (江 西 理)若 椭 圆xa yb 的 焦 点 在 x 轴上,过点,()作圆xy的切线,切点分别为 A、B,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是 (全国理)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BFFD,则C 的离心率为 (安徽理)如图
5、,点F(c,),F(c,)分别是椭圆C:xa yb(ab)的左、右焦点,过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P,过点F 作直线PF 的垂线交直线xac 于点Q()如果点 Q 的坐标是(,),求此时椭圆C 的方程;()证明:直线 PQ 与椭圆C 只有一个交点(第题)(江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆xa yb(ab)的左、右焦点分别为F(c,),F(c,)已知点(,e)和 e,都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率()求椭圆的方程;()设 A、B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线 AF 与直线BF 平行,AF 与BF 交于点 P()若 AFBF ,求直线 AF 的斜率;()求
6、证:PFPF 是定值(第题)(浙江理)如图,椭圆C:xa yb(ab)的离心率为 ,其左焦点到点 P(,)的距离为不过原点 O 的直线l与C 相交于A、B 两点,且线段 AB 被直线OP 平分()求椭圆C 的方程;()求ABP 的面积取最大时直线l的方程(第题)(福建理)如图,椭圆E:xa yb(ab)的左焦点为F,右焦点为F,离心率e 过点F 的直线交椭圆于 A、B 两点,且ABF 的周长为()求椭圆E 的方程;()设动直线l:ykxm 与 椭 圆E 有 且 只 有 一 个 公 共 点P,且与直线x相交于点 Q试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,
7、求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由(第题)(陕西理)已知椭圆C:x y,椭圆C 以C 的长轴为短轴,且与C 有相同的离心率()求椭圆C 的方程;最新年高考试题分类解析数学输在换弹的五分钟(一)在战争中,有时一个小小数据的忽略,也会招致整个战局的失利第二次世界大战中,日本联合舰队司令山本五十六是一个“要么全赢,要么输个精光”的“拼命将军”在中途岛海战中,当日本舰队发现按计划空袭失利,海面出现美军航空母舰时,山本五十六不听同僚的建议,妄图一举歼灭对方,他命令停在甲板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰,企图靠鱼雷击沉航空母舰获得最大的打击效果,而根本未考虑飞机在换装鱼雷的过程中最快也需五分钟
8、,而在这五分钟内,有被美军航空母舰上的飞机先行攻击的可能()设O 为坐标原点,点A、B 分别在椭圆C 和C 上,OBOA,求直线 AB 的方程(天津理)设椭圆xa yb(ab)的左、右顶点分别为 A、B,点 P 在椭圆上且异于A、B 两点,O 为坐标原点()若直线AP 与BP 的斜率之积为 ,求椭圆的离心率;()若|AP|OA|,证明:直线OP 的斜率k 满足|k|(北京理)已知椭圆G:x y过点(m,)作圆xy的切线l交椭圆G 于A、B 两点()求椭圆G 的焦点坐标和离心率;()将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值(第题)(辽宁理)如图,已知椭圆C 的中心在 原 点 O,长 轴
9、 左、右 端 点 M、N在x 轴上,椭圆C 的短轴为 MN,且C、C的离心率都为e,直线lMN,l与C 交于两点,与C 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A、B、C、D()设e ,求|BC|与|AD|的比值;()当e变 化 时,是 否 存 在 直 线l,使 得 BOAN,并 说 明理由(天津理)在平面直角坐标系xOy 中,P(a,b)(ab)为动点,F、F 分别为椭圆xa yb 的左、右焦点已知FPF 为等腰三角形()求椭圆的离心率e;()设直线 PF 与椭圆相交于 A、B 两点,M 是直线PF 上的点,满足AMBM,求点 M 的轨迹方程(湖南理)如图,椭圆C:xa yb(ab)的离心率
10、为 ,x 轴被曲线C:yxb截得的线段长等于C的长半轴长()求C、C 的方程;()设C 与y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线l 与C相交于点 A、B,直线 MA、MB 分别与C 相交于点 D、E证明:MDME;记MAB、MDE 的面积分别是S、S问:是否存在直线l,使得SS?请说明理由(第题)(四川理)椭圆有两顶点 A(,),B(,),过其焦点F(,)的直线l与椭圆交于C、D 两点,并与x 轴交于点P直线 AC 与直线BD 交于点Q()当|CD|时,求直线l的方程;()当点 P 异于A、B 两点时,求证:OPOQ为定值(第题)(山东理)已知动直线l与椭圆C:x y 交于 P(x,y),
11、Q(x,y)两不 同 点,且 OPQ 的 面 积SOPQ ,其中O 为坐标原点()证明xx 和yy 均为定值;()设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|PQ|的最大值;()椭圆 C 上 是 否 存 在 点 D、E、G,使 得 SODE SODG SOEG?若 存 在,判 断 DEG 的 形 状;若 不 存 在,请 说 明理由(重庆理)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e ,一条准线的方程为x()求该椭圆的标准方程;()设动点 P 满足:OPOMON,其 中 M、N 是 椭 圆 上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为 ,问:是否存在两个定点F、F,使得|PF|PF|为定值?若存在,求出点 F、F的
12、坐标;若不存在,请说明理由(第题)(江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M、N分别是椭圆x y 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限,过点 P 作x 轴的垂线,垂足为C,连接 AC 并延长,交椭圆于点B设直线 PA 的斜率为k()若直线 PA 平分线段 MN,求k的值;()当k时,求点 P 到直线AB 的距离d;第 十 五 章 圆 锥 曲 线输在换弹的五分钟(二)果然,由于美军成功破译了日本海军的密码,读懂了山本五十六发给各指挥官的命令(而这密码破译的情报是由一留日归国的中国留学生池步洲所提供的),在日本飞机把炸弹换装鱼雷的五分钟内,日舰和“躺在甲板上的飞
13、机”变成了活靶,受到迅速起飞的美军飞机的“全面屠杀”,日舰队被击溃,山本五十六也被击毙,日本在太平洋战场上由战略进攻转入了战略防御这“错误的五分钟”给日本舰队造成了多么惨重的损失()对任意的k,求证:PAPB(第题)(福建理)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(,),且点F(,)为其右焦点()求椭圆C 的方程;()是否存在平行于OA 的直线l,使得直线l与椭圆C 有公共点,且直线 OA 与l 的 距 离 等 于?若 存 在,求 出 直 线l的 方程;若不存在,请说明理由(安徽理)已知椭圆 E 经过点A(,),对称轴为坐标轴,焦点F、F 在x 轴上,离心率e ()求椭圆E 的方程;()求F
14、AF 的角平分线所在直线l的方程;()在椭圆E 上是否存在关于直 线l 对 称 的 相 异 两 点?若存在,请找出;若不存在,请说明理由(第题)(江苏)在平面直角坐标系xOy 中,如图,已知椭圆x y 的 左、右 顶 点 为 A、B,右 焦 点 为 F,设 过 点T(t,m)的直 线 TA、TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M(x,y),N(x,y),其中 m,y,y()设动点 P 满足PFPB,求点 P 的轨迹;()设x,x ,求点 T 的坐标;()设t,求证:直线 MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)(第题)(全国新课标理)设F、F 分别是椭圆E:xa yb(ab)的左、右
15、焦点,过点 F 斜率为 的直线l与E相交于A、B 两点,且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列()求E 的离心率;()设点 P(,)满足|PA|PB|,求椭圆E 的方程(天津理)已知椭圆xa yb(ab)的离心率e ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为()求椭圆的方程;()设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A 的坐标为(a,),点Q(,y)在线段AB 的垂直平分线上,且QAQB,求y 的值(辽宁理)设椭圆 C:xa yb(ab)的左焦点为F,过点F 的直线与椭圆C 相交于A、B 两点,直线l的倾斜角为,AFFB()求椭圆C 的离心率;()如果|AB|,求椭圆C 的方程(湖南理)为
16、了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距km 的A、B 两点各建一个考察基地视冰川面为平面形,以过 A、B 两点的直线为x 轴,线段 AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)在直线 x的右侧,考察范围为到点B 的距离不超过 km 的区域;在直线x的左侧,考察范围为到A、B 两点的距离之和不超过km的区域()求考察区域边界曲线的方程;()如图所示,设线段PP、PP 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动km,以后每年移动的距离为前一年的倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间(第题)(北京理)在平面直角坐标系
17、xOy 中,点 B 与点A(,)关于原点O 对称,P 是动点,且直线 AP 与BP 的斜率之积等于 ()求动点 P 的轨迹方程;()设直线AP 和BP 分别与直线x交于点 M、N,问:是否存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由(江西理)设椭圆C:xa yb(ab),抛物线C:xbyb()若C 经过C 的两个焦点,求C 的离心率;()设 A(,b),Q ,(),又 M、N 为C 与 C 不在y 轴最新年高考试题分类解析数学比尔盖茨和计算机(一)年月日,比尔盖茨(BillGates)出生于美国西雅图父亲是律师,后来成为比尔盖茨早期打官司的重要帮手
18、母亲是教师,在盖茨与IBM 历史性的合作中起过关键性的作用盖茨自小酷爱数学和计算机,在中学时就成为有名的“电脑迷”保罗艾伦是他最好的朋友,两人在中学时代经常一起玩电脑游戏上的两个交点,若AMN 的垂心为B,b(),且QMN 的重心在C 上,求椭圆C 和抛物线C 的方程(陕西理)如图,椭圆 C:xa yb 的顶点为A、A、B、B,焦 点 为 F、F,|AB|,SABAB SBFBF()求椭圆C 的方程;()设n是过原点的直线,l是与n 垂直相交于点P,与椭圆相交于 A、B 两 点 的 直 线,|OP|,是 否 存 在 上 述 直 线l 使APPB成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理
19、由(第题)C【精析】椭圆的一条准线为x,则ac,ac且焦点在x 轴上 c,c,a 椭圆的方程为x y D【精析】由e 可排除 A、B,又由题意,点(,)在该椭圆上,排除 C,故选 DC【精 析】如 图,FPF FFP,|AF|ac,|FF|FP|c,故在 RtFAP 中,cosAFPcos|AF|PF|acc ,解得ca e ,故选 C(第题)D【精 析】设 P(x,y),则 点 P 到 准 线xac 距 离 为|PE|ac x由题意和椭圆的定义,得|PF|PC|FA|PC|e,所以ac ce ac x(),又axa,所以ac ce ac a(),即ee又e,所以 e故选 D(第题)B【精析】
20、如图,设点A 与B 在椭圆右准线上的射影分别为A 与B,则由椭圆定义可得AFAABFBBe 设BFm,过点A作ADBB 于 点 D,则 易 得 BDm,ADm,所 以 ktanABDADBD,故选B(第题)【精析】因为 A(a,),B(a,),F(c,),F(c,),所以由|FF|AF|FB|,得c(ac)(ac)ac,所以ac,eca ,故填 【精析】当FAB 的周长最长时,直线xm 过椭圆的右焦点F(,),此时 A,(),所以SFAB ,故填(,)【精析】设 A(m,n),B(c,d),则 F(,),F(,)可得FAFB所以cm,d n 因为 A、B 都在椭圆上,所以m n,m n()解得
21、m,n所以 A(,)故填(,)xy 【精析】由题意设椭圆的方程为xa yb(ab),则由e ,得 ca 由ABF 的周长为,得a,所以a,c,b,所以椭圆方程为xy 故填xy 第 十 五 章 圆 锥 曲 线比尔盖茨和计算机(二)有人说盖茨“生逢其时”,盖茨赶上了一个好时代PC机时代的来临年夏天的一天,艾伦拿来一本电子学的杂志,翻到其中一篇只有个自然段的文章,对盖茨说:“有一家新成立的叫英特尔的公司推出一种叫的微处理芯片”两人很感兴趣,不久就弄来这种芯片,开始琢磨开发操作系统x y 【精析】过点,()作圆xy的切线,则切点弦 AB 所在的直线方程为x y令x,得y,即b令y,得x,即c,所以ab
22、c,所求椭圆的方程为x y 故填x y 【精析】不妨设点B 为(,b),F(c,),则点 D 的坐标为 c,b()设椭圆方程为xa yb,则ca ,故ca ,即ca 为所求故填 ()方法一:由条件知,P c,ba()故直线 PF 的斜率为kPF ba ccbac因为 PFFQ,所以直线FQ 的方程为yacbxacb 故 Q ac,a()由题设知,ac,a,解得a,c故椭圆方程为x y 方法二:设直线xac 与x 轴交于点 M,由条件知,P c,ba()因为PFFFMQ,所以|PF|FM|FF|MQ即baac c c|MQ|,解得|MQ|a所以ac,a解得a,c故椭圆方程为x y()直线 PQ
23、的方程为yaba axaccac,即ycaxa将上式代入椭圆方程,得xcxc解得xc,yba 所以直线 PQ 与椭圆C 只有一个交点()由题设知abc,eca 由点(,e)在椭圆上,(第题)得 a cab,解得b于是ca,又点 e,在椭圆上,所以ea b,即aa ,解得a因此,所求椭圆的方程是x y()由()知F(,),F(,),又直线AF 与BF 平行,所以可设直线AF 的方程为xmy,直线BF 的方程为xmy设 A(x,y),B(x,y),y,y由x y,xmy,得(m)y my,解 得 y mmm,故 AF(x)(y)(my)y(m)mmm 同理,BF(m)mmm()由得 AFBFmmm
24、,解mmm,得 m,注意到 m,故 m 所以直线 AF 的斜率为 m ()因 为 直 线 AF 与 BF 平 行,所 以 PBPF BFAF,于 是PBPFPFBFAFAF,故PFAFAFBFBF由点B 在椭圆上知BFBF,从而PFAFAFBF(BF)同理 PFBFAFBF(AF)因此,PFPFAFAFBF(BF)BFAFBF(AF)AFBFAFBF 又 由 知 AF BF (m)m,AF BF mm,所以 PF PF 因 此,PF PF 是定值()设椭圆左焦点为F(c,),则由题意得最新年高考试题分类解析数学比尔盖茨和计算机(三)年春天,当英特尔的芯片推出时,盖茨和艾伦已在的背后看到了个人电
25、脑的辉煌前景果然,在第二年,世界上最早的微型计算机 Altair便问世了,这个基于微处理器的小机器正是 MITS公司老板埃德罗伯茨的杰作当时还在哈佛上学的盖茨看到了商机,他打电话表示要给 Altair研制 Basic语言,罗伯茨听到这个年轻人的决定后只是将信将疑结果,盖茨和艾伦在哈佛阿肯计算机中心没日没夜地干了个礼拜后,真为 Altair配上了 Basic语言,从此开辟了 PC软件业的新道路,奠定了软件标准化生产的基础(c),ca ,得 c,a所以椭圆方程为x y()设 A(x,y),B(x,y),线段 AB 的中点为 M 当直线AB 与x轴垂直时,直线 AB 的方程为x,与不过原点的条件不符
26、,舍去故可设直线AB 的方程为ykxm(m),由 ykxm,xy,消去y,整理得(k)xkmxm,则km(k)(m),xx kmk,xxmk 所以线段 AB 的中点 M kmk,mk()因为点 M 在直线OP 上,所以mk kmk,得 m(舍去)或k 此时方程为xmxm,则(m),xxm,xxm所以|AB|k|xx|m 设点 P 到直线AB 距离为d,则d|m|m|设ABP 的面积为S,则S|AB|d (m)(m),其中 m(,)(,)令u(m)(m)(m),m,u(m)(m)(mm)(m)(m)(m)所以当且仅当 m,u(m)取到最大值故当且仅当 m,S 取到最大值综上,所求直线l方程为xy
27、 解法一:()因为|AB|AF|BF|,即|AF|FB|AF|BF|,又|AF|AF|BF|BF|a,所以a,a又因为e ,即ca ,所以c所以bac 故椭圆E 的方程是x y(第题)()由ykxm,x y,得(k)xkmxm因为动直线l与椭圆E 有且只有一个公共点P(x,y),所以 m且,即km(k)(m)化简得km()此时x kmkkm,ykxm m,所以 P km,m()由 x,ykxm,得 Q(,km)假设平面内存在定 点 M 满 足 条 件,由 图 形 对 称 性 知,点 M必在x 轴上设 M(x,),则MPMQ对满足()式的 m,k恒成立因为MPkm x,m(),MQ(x,km),
28、由MPMQ,得km kxm xxkm,整理,得(x)km xx()由于()式 对 满 足()式 的 m,k 恒 成 立,所 以x,xx,解得x故存在定点 M(,),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M 解法二:()同解法一()由ykxm,x y,得(k)xkmxm因为动直线l与椭圆E 有且只有一个公共点P(x,y),所以 m且,即km(k)(m),化简得km()此时x kmkkm,ykxm m,所以 P km,m()由 x,ykxm,得 Q(,km)第 十 五 章 圆 锥 曲 线比尔盖茨和计算机(四)年,微软公司正式创办为此,盖茨甚至放弃了在哈佛法学院的学业世纪年代中期,盖茨开始开发应用软件如财
29、务电子表和文字处理软件此时正值 DOS系统如日中天的时代,敏锐的盖茨却看到了机遇:把图形用户界面操作系统变成技术的巨大潜力于是他毅然决定开发视窗(WINDOWS)操作系统经过几个版本的升级,Windows取得了空前的成功,占领了整个 PC机操作系统的市场假设平面内存在定 点 M 满 足 条 件,由 图 形 对 称 性 知,点 M必在x 轴上取k,m,此时 P(,),Q(,),以 PQ 为直径的圆为(x)(y),交x 轴于点M(,),M(,);取k ,m,此 时 P,(),Q(,),以 PQ 为 直 径 的 圆 为x()y(),交 x 轴 于 点 M(,),M(,)所以若符合条件的点 M 存在,
30、则 M 的坐标必为(,)以下证明 M(,)就是满足条件的点:因为 M 的坐标 为(,),所 以MPkm,m(),MQ(,km),从而MPMQkm km,故恒有MPMQ,即存在定点 M(,),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M()由已知可设椭圆C 的方程为ya x(a),其离心率为 ,故aa ,则a,故椭圆C 的方程为yx 解法一:A、B 两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),OBOA及()知,O、A、B 三 点 共 线 且 点 A、B 不 在y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为ykx将ykx 代入x y中,得(k)x,所以xA k,将ykx 代入yx 中,得(k)x,所以xB k,
31、又由OBOA,得xBxA,即 kk,解得k,故直线 AB 的方程为yx 或yx解法二:A、B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由OBOA及()知,O、A、B 三点共线且点A、B 不在y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为ykx将ykx 代入x y中,得(k)x,所以xA k,由OBOA,得xBk,yB kk,将xB,yB 代入yx 中,得kk,即kk,解得k,故直线 AB 的方程为yx 或yx()设点 P 的坐标为(x,y),由题意,有xa yb 由 A(a,),B(a,),得kAP yxa,kBP yxa由kAP kBP ,可得xay,代入并整理得(ab)y由于y,故ab于
32、是eaba ,所以椭圆的离心率e ()解法一:依题意,直线 OP 的方程为ykx,设点 P 的坐标为(x,y)由条件得ykx,xa yb 消去y 并整理得xabkab由|AP|OA|,A(a,)及ykx,得(xa)kxa整理得(k)xax而x,于是x ak,代入,整理得(k)kab()由ab,故(k)k,即k,因此k,所以|k|解法二:依题意,直线OP 的方程为ykx,可设点P 的坐标为(x,kx)由点 P 在椭圆上,有xa kxb 因 为ab,kx,所以xa kxa,即(k)xa由|AP|OA|,A(a,),得(xa)kxa,整理得(k)xax,于是x ak代入,得(k)a(k)a,解得k,
33、所以|k|()由已知得a,b,所以cab 所以椭圆G 的焦点坐标为(,),(,),离心率为eca ()由题意知,|m|当 m时,切线l的方程为x,点 A、B 的 坐 标 分 别 为 ,此时|AB|当 m时,同理可得|AB|当|m|时,设切线l的方程为yk(xm)由yk(xm),x y,得(k)xkmxkm设 A、B 两点的坐标分别为(x,y),(x,y),则 xxkmk,xxkmk 又由直线l与圆xy相切,得|km|k,即 mk最新年高考试题分类解析数学比尔盖茨和计算机(五)因此,有人认为,盖茨和微软对于世纪IT 行业的最大贡献就是将 PC操作系统商品化,并几乎统一了 PC平台上的操作系统但是
34、,真正代表微软水平的操作系统是其面向网络的视窗新技术(WINDOWSNT)操作系统k所以|AB|(xx)(yy)(k)(xx)xx(k)km(k)(km)k|m|m 由于当 m时,|AB|,所以|AB|m|m,m(,)因为|AB|m|m|m|m|,且当 m 时,|AB|,所以|AB|的最大值为()因为C、C 的离心率相同,故依题意可设 C:xa yb,C:bya xa(ab)设直线l:xt(|t|a),分别与C、C 的方程联立,求得A t,abat(),B t,baat()当e 时,b a,分别用yA,yB 表示点A、B 的纵坐标,可知|BC|AD|yB|yA|ba ()当t时,l不符合题意;
35、当t时,BOAN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN 相等,即baattabatta,解得t ababee a|t|a,又 e,ee,解得 e 当e 时,不存在直线l,使得BOAN;当 e时,存在直线l,使得BOAN()设F(c,),F(c,)(c)由题意,可得|PF|FF|,即(ac)b c整理得 ca()ca 得 ca(舍)或 ca ,所以e ()由()知ac,b c,可 得 椭 圆 方 程 为 xyc,直线 PF 的方程为y(xc)A、B 两点的坐标满 足 方 程 组xyc,y(xc)消 去y 并 整理,得 x cx解 得 x,x c,得 方 程 组 的 解x,y c,x
36、c,y c不妨设 Ac,c,B(,c)设点 M 的坐标为(x,y),则AM x c,y c,BM(x,y c),由y(xc),得cx y,于是AM y x,y x,BM(x,x)由AMBM,即 y x xy x x化简得x xy将yx x代入cx y,得cxx所以x因此,点 M 的轨迹方程是x xy(x)()由题意知eca ,从而ab又ba,解得a,b故C、C 的方程分别为x y,yx()由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为ykx由 ykx,yx,得xkx设 A(x,y),B(x,y),则x,x 是上述方程的两个实根,于是xxk,xx又点 M 的坐标为(,),所以kMA kMB
37、 yxyx(kx)(kx)xxkxxk(xx)xxkk故 MAMB,即 MDME设直线 MA 的斜率为k,则直线 MA 的方程为ykx由 ykx,yx,解得 x,y或 xk,yk则点 A 的坐标为(k,k)又 直 线 MB 的 斜 率 为 k,同 理 可 得 点 B 的 坐 标 为第 十 五 章 圆 锥 曲 线检票问题(一)旅客在车站候车室等候检票,并且排队的旅客按照一定的速度在增加,检票速度一定,当车站开放个检票口,需用半小时可将待检旅客全部检票进站;同时开放个检票口,只需十分钟便可将旅客全部进站现有一班增开列车过境载客,必须在分钟内旅客全部检票进站,问此车站至少要同时开放几个检票口?分析:
38、本题是一个贴近实际的应用题,给出的数量关系具有一定的隐藏性,仔细阅读后发现涉及的量为:原排队人数,旅客按一定速度增加的人数,每个检票口检票的速度等 k,k()于是S|MA|MB|k|k|k kk|k|由 ykx,xy,得(k)xkx,解得 x,y或x kk,ykk,故点 D 的坐标为kk,kk()又 直 线 ME 的 斜 率 为 k,同 理 可 得 点 E 的 坐 标 为kk,kk()于是S|MD|ME|(k)|k|(k)(k)因此SS k k()由题意,知 k k(),解得k或k 又由点A、B 的坐标可知,kk kk kk k,所以k 故满足条件的直线l存在,且有两条,其方程分别为y x和y
39、 x()因为椭圆焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为ya xb(ab)由已知得b,c,所以a,则椭圆方程为xy 直线l垂直于x 轴时与题意不符设直线l的方程为ykx,联立 xy,ykx,得(k)xkx,设C(x,y),D(x,y),则k(k)(k),xx kk,xxk,|CD|k(xx)xx (k)k由已知得(k)k ,解得k,所以直线l的方程为y x或y x()直线l垂直于x 轴时与题意不符设直线l的方程为ykx(k且k),所以点 P 的坐标为 k,()设C(x,y),D(x,y),由()知xx kk,xxk,直线 AC 的方程为y yx(x),直线BD 的方程为y yx(x)解法一:联立方程
40、y yx(x),y yx(x),设 Q(x,y),解得xy(x)y(x)y(x)y(x)y(x)y(x)y(x)y(x),不妨设xx,则x(kx)(x)(kx)(x)(kx)(x)(kx)(x)kxx(xx)k(xx)k(xx)(xx)kk kkk(k)k kk(k)kkk(k)(k)k,因此点 Q 的坐标为(k,y)又 P k,(),OPOQ(k)k()故OPOQ为定值解法二:联立方程y yx(x),y yx(x),消去y,得xxy(x)y(x),x,x,所以xx与yy异号xx()y(x)y(x)xx(x)(x)(x)(x)(x)(x)kk k kk k kk()又 yykxxk(xx)(k
41、)(k)k(k)kkk,kk与yy 异号,xx与kk同号最新年高考试题分类解析数学检票问题(二)给分析出的量一个代表符号:设检票开始时等候检票的旅客人数为x 人,排队队伍每分钟增加y 人,每个检票口每分钟检票z人,最少同时开n个检票口,就可在分钟内使旅客全部进站把本质的内容翻译成数学语言:开放个检票口,需半小时检完,则xyz;开放个检票口,需分钟检完,则xyz;开放n个检票口,最多需分钟检完,则xynz,可解得xz,yz将以上两式代入得nz,则n答:需同时开放个检票口 xxkk,解得xk 点 Q 的坐标为(k,y),又 P k,(),OPOQ(k)k()故OPOQ为定值()当 直 线l的 斜
42、率 不 存 在 时,P、Q 两 点 关 于x 轴对称,所以xx,yy因为点 P(x,y)在椭圆上,因此x y 又因为SOPQ ,由得|x|,|y|此时xx,yy当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm由题意知 m,将其代入x y,得(k)xkmx(m)其中km(k)(m),即km()又xx kmk,xx(m)k,所以|PQ|k(xx)xxk kmk因为点O 到直线l的距离为d|m|k,所以SOPQ|PQ|d k kmk|m|k|m|kmk又SOPQ ,整理得km,且符合()式,此时x x (x x)xx kmk()(m)k,yy (x)(x)(xx)综上所述,xx,yy,结论成立()解法
43、一:当直线l的斜率不存在时,由()知|OM|x|,|PQ|y|,因此|OM|PQ|当直线l的斜率存在时,由()知,xxkm,yyk xx()mkmmkmm m|OM|xx()yy()km mmm m()|PQ|(k)(km)(k)(m)m m()所以|OM|PQ|m()m()m()m()m m 所以|OM|PQ|,当且仅当 m m,即 m 时,等号成立综合,得|OM|PQ|的最大值为 解法二:因为|OM|PQ|(xx)(yy)(xx)(yy)(xx)(yy)所以|OM|PQ|OM|PQ|即|OM|PQ|,当且仅当|OM|PQ|时等号成立因此|OM|PQ|的最大值为 ()椭圆 C 上 不 存 在
44、 三 点 D、E、G,使 得 SODE SODG SOEG 证明如下:假设存在 D(u,v),E(x,y),G(x,y)满足SODE SODGSOEG 由()得ux,ux,xx;vy,vy,yy解得uxx ;vyy因此u,x,x 只能从 中选取,v,y,y 只能从中选取因此D、E、G 只能在 ,这四点中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一条过原点与SODE SODG SOEG 矛盾所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D、E、G()由eca ,ac ,解得a,c,bac第 十 五 章 圆 锥 曲 线“虎!虎!虎!”(一)据说年日本偷袭珍珠港前两星期,美国情报人员曾截获一段重要的电话对话那是两名
45、分别在东京和华盛顿的日本高级官员之间的通话在华盛顿的日本人:是不是真的有个小孩要出生了?在东京的日本人:是的,而且看来马上就要出生了在华盛顿的日本人:这个小孩真的要生了?是在哪个方向呢?故椭圆的标准方程为x y()设 P(x,y),M(x,y),N(x,y),则 由OP OM ON,得(x,y)(x,y)(x,y)(xx,yy),即xxx,yyy因为点 M、N 在椭圆xy上,所以xy,xy故xy(xxxx)(yyyy)(xy)(xy)(xxyy)(xxyy)设kOM,kON 分别为直线OM、ON 的斜率,由题设条件知kOM kON yyxx 因此xxyy所以xy所以点 P 是椭圆x()y()上
46、的点设该椭圆的左、右焦点分别为 F、F,则由椭圆的定义|PF|PF|为 定值,又因 为c()(),因 此 两 焦 点 的 坐 标为F(,),F(,)()由题设知,a,b,故 M(,),N(,),所以线段 MN 中点的坐标为,由于直线PA 平分线段 MN,故直线PA 过线段 MN 的中点又直线 PA 过坐标原点,所以k ()直线 PA 的方程为yx,代入椭圆方程,得(第题)x x,解得x ,因此 P,(),A ,()于是C ,(),直线 AC 的斜率为 ,故直线 AB 的方程为xy 因此,d ()解法一:将直线 PA 的方程ykx 代入x y,解得xk记k,则 P(,k),A(,k)于是C(,)
47、,直线 AB 的斜率为k k 其方程为yk(x)代入椭圆方程,得(k)xkx(k)解得x(k)k或x因此B(k)k,kk()于是直线PB 的斜率kkkk(k)k kk(k)k(k)k 因此kk,所以 PAPB解法二:设 P(x,y),B(x,y),则x,x,xx,A(x,y),C(x,)设直线 PB、AB 的斜率分别为k,k因为C 在直线AB 上,所以k(y)x(x)yxk 从而kkkkyyxxy(y)x(x)yyxx(xy)(xy)xxxx因此kk,所以 PAPB()依题意,可设椭圆C 的方程为xa yb(a,b),且可知左焦点为F(,),从而有c,a|AF|AF|,解得 c,a,又abc,
48、所以b故椭圆C 的方程为xy()假 设 存 在 符 合 题 意 的 直 线l,则lOA,可 设 其 方 程 为y xt,由y xt,xy,得xtxt最新年高考试题分类解析数学“虎!虎!虎!”(二)后来发生的事实证明,这段对话里“小孩出生”的真正意思是“发动战争”,也就是攻击珍珠港这就是一种隐语后来发生的事实还证明,这个隐语的使用是十分成功的,因为美国情报人员虽然截获了这段对话,却不解其中含义,结果还是让日本人打了个措手不及日本人好像对隐语有特别的爱好,他们偷袭珍珠港时表示攻击得手的隐语“虎!虎!虎!”,已作为这个事件的经典代号而载入史册因为 直 线 l 与 椭 圆 有 公 共 点,所 以 有
49、(t)(t),解得 t,另一方面,由直线OA 与l的距离为,可得为|t|,从而t,由于 ,所 以 符 合 题 意 的 直 线l存在,方程为 xy,或 xy ()设椭圆E 的方程为xa yb 由e ,得ca ,bacc xcyc将 A(,)代入,有 c c,解得c 椭圆E 的方程为xy()A(,),F(,),F(,),AF(,),AF(,)AF|AF|AF|AF|(,)(,)(,)k l:y(x),即xy()解 法 一:假 设 存 在 这 样 的 两 个 不 同 的 点B(x,y)和C(x,y),BCl,kBC yyxx 设BC 的中点为 M(x,y),则xxx,yyy由于点 M 在直线l上,故
50、xy又 点B、C 在椭圆上,有xy与xy两式相 减,得xxyy,即(xx)(xx)(yy)(yy)则 xxyyxx yy,并将直线 BC 的斜率kBC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中,得x y,即xy,得x,y,即BC 的中点为点A,而这是不可能的 不存在满足题设条件的点B 和C解法二:假设存在 B(x,y),C(x,y),两点关于直线l对称,则lBC kBC 设直线BC 的方程为y xm,将其代入椭圆方程xy,得一元二次方程 x xm(),即 xmxm则x 与x 是该方程的两个根由韦达定理,得xxm,于是yy (xx)mm,BC 的中点坐标为m,m()又 线段BC 的中点在直线yx上,
51、m m,得 m即BC 的中点坐标为(,),与点 A 重合,矛盾 不存在满足题设条件的相异两点()由题意知F(,),A(,),设P(x,y),则(x)y(x)y化简整理,得x 故所求点 P 的轨迹为直线x ()把 x,x 代 人 椭 圆 方 程 分 别 求 出M,(),N,()直线 AM:y (x)直线BN:y x 联立,得 T,()()T(,m),直 线TA:y m(x ),与 椭 圆 联 立,得M(m)m,m()直 线TB:y m(x ),与 椭 圆 联 立,得N(m)m,m()直线 MN:ymmm(m)m(m)mx(m)m,化简,得ymm x(m)m()令y,解得x,即直线 MN 过x 轴
52、上定点(,)()由椭圆定义知|AF|AB|BF|a,第 十 五 章 圆 锥 曲 线麦比乌斯带 每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱,如果有一张纸它有一条棱而且只有一个面,使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点,这有可能吗?事实上是有可能的只要把一条纸带半扭转,再把两头贴上就行了这是德国数学家麦比乌斯()在年发现的,自此以后那种带就以他的名字命名,称为麦比乌斯带有了这种玩具使得一支数学的分支拓扑学得以蓬勃发展又|AB|AF|BF|,得|AB|a直线l的方程为yxc,其中cab 设 A(x,y),B(x,y),则 A、B 两点的坐标满足方程组yxc,xa yb 化简,得(ab)
53、xacxa(cb)则xxacab,xxa(cb)ab因为直线 AB 的斜率为,所以|AB|xx|(xx)xx即 a abab,故ab,所以E 的离心率eca aba ()设 AB 的 中 点 为 N(x,y),由()知 x xxacab c,yxcc 由|PA|PB|,得kPN,即yx,得c,从而a,b故椭圆E 的方程为xy ()由eca ,得ac再由cab,解得ab由题意可知 ab,即ab解方程组 ab,ab,得a,b所以椭圆的方程为x y()设 线 段 AB 的 中 点 为 M,由 题 意 得 到 点 M 的 坐 标 为 kk,kk()以下分两种情况:当k时,点B 的坐标是(,),线段 A
54、B 的垂直平分线为y 轴,于是QA(,y),QB(,y)由QAQB,得y 当k时,线段 AB 的垂直平分线方程为ykk k x kk()令x,解得ykk由QA(,y),QB(x,yy),QAQBxy(yy)(k)kkkkkkk()(kk)(k),整理,得k故k 所以y 综上,y 或y 设 A(x,y),B(x,y),由题意知y,y()直线l的方程为y(xc),其中cab 联立y(xc),xa yb 得(ab)y bcyb解得y b(ca)ab,y b(ca)ab因为AFFB,所以yy即 b(ca)ab b(ca)ab得离心率eca ()因为|AB|yy|,所以 abab 由ca ,得b a,所
55、以 a,得a,b 椭圆C 的方程为x y ()设边界曲线上点 P 的坐标为(x,y)当x 时,由 题 意 知(x)y 当 x 时,由|PA|PB|,知点 P 在以A、B 为焦点,长轴 长 为 a 的椭圆上此时短半轴长b()因而其方程为xy 故考察区域边界曲线(如图)的方程为C:(x)y(x)和C:xy(x)()设过点 P、P 的直线为l,过点 P、P 的直线为l,则直线l,l 的方程分别为y x,y最新年高考试题分类解析数学组合数学(一)组合数学也称组合分析或组合论,有着古老的起源,中国古代传说中有“洛书图”,东汉郑玄注周易则称“九宫数”,这是最早的幻方杨辉与朱世杰以及比他们略早的印度数学家婆
56、什迦罗等都得出了一系列有意义的组合恒等关系中世纪的阿拉伯数学家也表现出对排列与幻方的浓厚兴趣近代意义的组合数学则是以莱布尼兹年发表的组合的艺术为起点,“组合”这个名词正是他首先引进的(第题)设直线l平行于直线l,其方程为y xm,代入椭圆方程xy,消去y,得x mx(m)由m(m),解得 m或 m从图中可以看出,当 m时,直线l与C 的公共点到直线l 的距离最近,此时直线l的方程为y x,直线l与l 之间的距离为d|又直线l 到C 和C 的最短距离d ,而d,所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为设冰川边界线移动到考察区 域 所 需 的 时 间 为n 年,则 由 题设及等比数列求和公式,得(
57、n),解得n故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为年()因为点 B 与A(,)关于原点 O 对 称,所 以 点 B的坐标为(,)设点 P 的坐标为(x,y),由题意,得yxyx ,化简,得xy(x)故动点P 的轨迹方程为xy(x)()解法一:设点 P 的坐标为(x,y),点 M、N 的坐标分别为(,yM),(,yN)则直线 AP 的方程为yyx(x),直线 BP 的方程为yyx(x),令x,得yM yxx,yN yxx于是PMN 的面积为SPMN|yM yN|(x)|xy|(x)|x|,又直线AB 的方程为xy,|AB|,故点 P 到直线AB 的距离d|xy|于是PAB 的面积为SPAB|
58、AB|d|xy|,当SPAB SPMN 时,得|xy|xy|(x)|x|,又|xy|,所以(x)|x|,解得x 因为xy,所以y,故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面 积 相 等,此 时 点 P的坐标为,解法二:若存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x,y),则|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sinMPN因为sinAPBsinMPN,所以|PA|PM|PN|PB|,所以|x|x|x|x|,即(x)|x|,解得x 因为xy,所以y 故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面 积 相 等,此 时 点 P的坐标为,()因 为 抛 物 线 C 经 过
59、 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 F(c,),F(c,),可得cb由abcc,得ca ,所以椭圆C 的离心率e ()由题设可知点 M、N 关于y 轴对称设 M(x,y),N(x,y)(x),则由AMN 的垂心为B,有BMAN,所以x y()(yb)由于点 N(x,y)在C 上,故有xbyb由,得yb 或yb(舍去),所以x b,故 M b,b,Nb,b(第题)第 十 五 章 圆 锥 曲 线组合数学(二)、世纪的数学家提出了一系列著名的组合数学(包括图论)的问题,如哥尼斯堡七桥问题、军官问题、柯克曼女生问题、哈密顿环球旅行问题早期组合数学是带有趣味性和益智性的问题,后来逐渐与数论、概率统计、拓扑
60、学及线性规划等领域的问题交织在一起,而显示出理论和应用上的重要价值特别是在世纪下半叶,与电子计算机发展相结合使古老的组合数学获得了新的生机所以QMN 的重心为,b()由重心在C 上,得b b,所以b,M,(),N,(),又因为点 M、N 在C 上,所 以()a(),得a 所以椭圆C 的方程为xy,抛物线C 的方程为xy()由|AB|知ab,由SABAB SBFBF 知ac,又bac,由解得a,b,故椭圆C 的方程为x y()设 A、B 两点的坐标分别为(x,y),(x,y)假设使APPB成立的直线l存在,()当l不垂直于x 轴时,设l的方程为ykxm,由l与n 垂直相交于点P,且|OP|,得|
61、m|k,即 mk APPB,|OP|,OAOB(OPPA)(OPPB)OPOPPBPAOPPAPB,即xxyy将ykxm 代入椭圆方程,得(k)xkmx(m),由求根公式,得xx kmk,xxmk xxyyxx(kxm)(kxm)xxkxxkm(xx)m(k)xxkm(xx)m将代入上式并化简,得(k)(m)kmm(k),将 mk 代入并化简,得(k),矛盾即此时直线l不存在()当直线l垂直于x 轴时,满足|OP|的直线l的方程为x或x,当x时,点 A、B、P 的 坐 标 分 别 为,(),(),(,),AP,(),PB,()APPB 当x时,同理可得APPB,矛盾即此时直线l也不存在综上,使APPB成立的直线l不存在
