1、高考资源网（） 您身边的高考专家5从力的做功到向量的数量积5.1向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义(重点)2体会平面向量数量积与投影数量的关系(难点)3会进行平面向量数量积的运算(重点)4能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)1.通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养2通过数量积的应用，培养数学运算素养.1平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为a，b或(0180)，我们把|a|b|cosa，b叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b|a|b|cos .规定
2、：零向量与任一向量的数量积为零2投影(1)如图，已知两个非零向量a和b，作a，b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A，投影称为投影向量(2)如图，|a|cosa，b称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos a，b的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosa，b的乘积(如图)(4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs.思考：1.向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相等吗？提示当且仅当时，相等2当a0时， 由ab0一定能得到b0吗
3、？提示不一定例如，当ab时，即使b0，也有ab0.3数量积的运算律：交换律：abba.与数乘的结合律：(a)b(ab)a(b)关于加法的分配律：a(bc)abac.4数量积的性质：(1)若e是单位向量，则eaae|a|cosa，e；(2)abab0(其中a，b为非零向量)；(3)|a|；(4)cosa，b(|a|b|0)；(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立思考：3.数量积运算是否满足结合律？提示不满足1已知实数和非零向量a，b，下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)abD|ab|a|b|B当且仅当a，b的夹角为0或 时，|ab|a|b|，
4、故B错2已知三角形ABC中，0，则三角形ABC的形状为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形A|cos B0，cos B0，又B为ABC的内角B.3已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.2|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412，|a2b|2.4已知|a|1，|b|，设a与b的夹角为.(1)若，求|ab|；(2)若a与ab垂直，求.解(1)|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos|b|212 23，|ab|.(2)若a与ab垂直，则a(ab)0，a2ab0.ab|a|21，c
5、os .0180，135.数量积的基本概念【例1】下列判断：若a2b20，则ab0；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影数量；a，b共线ab|a|b|；aaa|a|3；a2b22ab；非零向量a，b满足：ab0，则a与b的夹角为锐角；其中正确的是_(填序号)由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；根据投影数量的定义知，正确；a，b共线ab|a|b|，所以错；对于应该是aaa|a|2a，所以错；对于，a2b22|a|b|2ab，故正确；对于，当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错综上可知正确对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识
6、深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.1给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正确结论的序号是_因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确数量积的运算【例2】已知|a|10，|b|4，a与b的夹角120.求：(1)ab；(2)a在b方向上的投影数量；(3)(a
7、2b)(ab)；(4)(ab)2.思路点拨利用向量数量积的定义，几何意义并结合数量积的运算律求解解(1)ab|a|b|cos 120104()20；(2)a在b方向上的投影数量为|a|cos 12010()5；(3)(a2b)(ab)a2ab2ab2b2a2ab2b2|a|2|a|b|cos 1202|b|2100104()24288；(4)(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 120|b|21002104()421004016156.1求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求出|a|和|b|；利用数量积的定义：ab|a|b|cos 求解2若所求形式比较复杂，则应先运
8、用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积2在ABC中，|3，|4，BAC60，则_.6|cos(180BAC)34()6.数量积的应用角度一求向量的模【例3】已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.3a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244 |b|b|210，|b|3.数量积的性质|a|，可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.角度二求向量的夹角【例4】已知非零向量a，b，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角思路点拨由(a3b)(7a5b)0及(a4b)(7a2
9、b)0建立ab与b2以及|a|与|b|的等量关系，求a与b的夹角解由向量垂直得即化简得设a与b的夹角为，cos ，又0，a与b的夹角为.求向量a，b夹角的流程图3设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，向量e1与e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得cos 0，(2te17e2)(e1te2)0.化简，得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角设2te17e2(e1te2)，0，则故实数t的取值范围是.1两向量a与b的数量积是一个实数，
10、其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,900()(4)对于任意向量a，b，总有(ab)2a2b2()答案(1)(2)(3)(4)2已知|a|1，|b|2，且(ab)a，则a与b的夹角是()A60B30C135D45A法一：(ab)aa2ab0，aba21，设a与b的夹角为，cos .又0，180，60.法二：作a，b，则AOBa，b，ab，由(ab)a，得A90，在直角OAB中，cosAOB，所以AOB60，即a，b60.3已知向量a在向量b方向上的投影是，|b|3，则ab的值为_2ab|a|b|cosa，b|b|a|cosa，b3 2.4已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？解要想(kab)(a2b)，则需(kab)(a2b)0，即k|a|2(2k1)ab2|b|20，52k(2k1)54cos 602420，解得k，即当k时，向量kab与a2b垂直- 8 - 版权所有高考资源网
