1、3弧度制学 习 目 标核 心 素 养1.了解角的另外一种度量方法弧度制(重点、难点)2能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算(重点)3掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式(重点)1.通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养2通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养.1弧度制的定义在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度以弧度作为单位来度量角的方法，叫作弧度制思考：1.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？提示：确定2角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180rad rad1801
2、rad0.017_45 rad1 rad5718思考：2.(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？(2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？提示：(1)1度；(2)弧度3弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，(02)为其圆心角，则为度数为弧度数扇形的弧长llr扇形的面积SSlrr21与120角终边相同的角为()A2k (kZ)BC2k(kZ)D(2k1)(kZ)C120且2k(2k4)(kZ)，120与2k(kZ)，终边相同2化为角度应为()A345B15C315D375A 180345.3已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为_由
3、弧长公式lR，得.4一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.弧度制的概念【例1】下列说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C根据弧度的定义，180一定等于弧度D不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关思路点拨根据定义进行一一判定DA正确；1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确；根据弧度的定义，180一定等于弧度，C正确根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还
4、是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选D1“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.2在角度制下，角x与其正弦sin x无法进行运算，在弧度制下，角x是一个实数，与其正弦sin x就可以进行运算，这拓展了我们所研究函数的范围1下列各说法中，错误的说法是()A半圆所对的圆心角是radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D根据1rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角对照选项，知A、B、C正确，D项错误角度制与弧
5、度制的互化【例2】将下列各角度与弧度互化(1)11230；(2) rad；(3)3 rad.思路点拨依据换算关系rad180逐个角进行转化解(1)11230112.5 rad112.5 rad.(2) rad180405；(3)3 rad3.1在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 rad180是解题的关键2一些特殊角30，45，60，90，270等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记3弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如2k30(kZ)，这种方法是不恰当的2把1480写成2k(kZ)的形式，其中02.解1480(1480).又10，且02.14802(5).弧长公式与扇形面积公式【
6、例3】已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？思路点拨先用半径r表示弧长，再依据Slr建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，最后利用配方法求最大值解设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.l202r，Slr(202r) rr210r(r5)225(0r10)当半径r5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时2(rad)当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.1已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角解设圆心角是，半径是r，则 或(舍)故扇形圆心角为.2已知扇形OAB的圆心角为120，半径长
7、为6.求的长解120，r6，的长l 64.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，解决扇形中的有关最值问题可运用函数思想，将扇形面积表示为半径r的函数，再求该函数的最值.1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180rad”这一关系式3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)1弧度就是1度的圆心角所对的弧()(2)1弧度是长度为半径的弧()(3)1的角比1 rad的角要大 ()(4)1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关()答案(1)(2)(3)(4)2.弧度化为角度是()A110B160C108D218C180108.3把2230化为弧度的结果是_223022.5.4直径为20 cm的圆中，分别求下列圆心角所对的弧长及扇形面积(1)；(2)165.解(1)l|r10(cm)，S|r2 102(cm2)(2)165165 rad rad.l|r10(cm)Slr 10(cm2)
