1、九（上）数学教材习题习题 24.1人教 版复习巩固求证：直径是圆中最长的弦.1.已知：如图，在 O 中，AB 为直径，CD 为O 的任意一条非直径的弦.求证：ABCD.证明：连接OC，OD在OCD中，OC+ODCD，即ABCD.复习巩固如图，在半径为 50 mm 的 O 中，弦 AB 长50 mm.求：（1）AOB 的度数；2.解：OA，OB 是 O 的半径，OA=OB=50 mm又 AB=50 mm，OA=OB=AB，即AOB 是等边三角形.AOB=60.复习巩固如图，在半径为 50 mm 的 O 中，弦 AB 长50 mm.求：（2）点 O 到 AB 的距离.2.C解：如图，过点 O 作
2、OCAB 于点 C，则OCA=90由垂径定理得，AC=BC=AB=25 mm，OC=25 (mm)，即点 O 到 AB 的距离为 25 mm复习巩固如图，O 中，C=75.求A 的度数.3.解：，AB=ACB=C=75A=180 75 75=30，即A 的度数是 30.复习巩固如图，AD=BC，比较与的长度，并证明你的结论.4.解：，证明如下：AD=BC，即.复习巩固如图，O 中，OABC，AOB=50，求ADC 的度数.5.解：如图，连接 OC.OABC，AOC=AOB=50ADC=AOC=25复习巩固如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？6.解：第二个（即中间的）工件是合
3、格的，因为90的圆周角所对的弦是直径.复习巩固求证：圆内接平行四边形是矩形.7.已知：如图，四边形 ABCD 为 O 内接平行四边形求证：四边形 ABCD 为矩形证明：ABCD 内接于 O，A=C，且A+C=180A=C=90 ABCD 为矩形综合运用解：如图，连接 OD，设 O 的半径为 r m M 为 CD 的中点，OMCD CD=4 m，EM=6 m，OD=OE=r m，MD=2 m，OM=(6 r)m如下页图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分如果 M 是 O 中弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交 O 于点 E，并且 CD=4 m，EM=6 m求 O 的半径
4、8.综合运用在 RtOMD 中，OM2+MD2=OD2，即(6 r)2+22=r2，解得 r=O 的半径为m综合运用如图，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点求证：AC=BD9.解：如图，过点 O 作 OPAB 于点 P由垂径定理可知 PA=PB，PC=PD，PA PC=PB PD，即 AC=BDP综合运用O 的半径为 13 cm，AB，CD 是 O 的两条弦，ABCD，AB=24 cm，CD=10 cm求 AB 和 CD 之间的距离10.解：过点 O 作 EFAB，垂足为 G，交 O 于点 E、F，交 CD 于点 H分两种情况讨论：（1）当 AB、CD 在点 O
5、的同侧时，如图所示综合运用 CDAB，EFAB，EFCD由垂径定理得 AG=AB=12 cm，CH=CD=5 cm.由勾股定理得 OG=5(cm)，OH=12(cm)HG=OH OE=12 5=7(cm)综合运用（2）当 AB、CD 在点 O 的异侧时，如图所示同（1）可得 OG=5(cm)，OH=12(cm)HG=OH+OE=12+5=17(cm)综上可知，AB 与 CD 之间的距离为 7 cm 或 17 cm综合运用如图，AB，CD 是 O 的两条平行弦，MN 是 AB 的垂直平分线求证：MN 垂直平分 CD11.证明：MN 是 AB 的垂直平分线，MN 过 O 的圆心 O，即 MN 是
6、O 的直径.ABCD.MNCD MN 平分 CD即 MN 垂直平分 CD综合运用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点 O 是这段弧所在圆的圆心AB=300 m，C 是上一点，OCAB，垂足为 D，CD=45 m，求这段弯路的半径.12.解：OCAB，AB=300 m，AD=BD=AB=150 m OA=OC，CD=45 m，OD=OC CD=OA 45（m）综合运用在 RtAOD 中，AD2+OD2=OA2，即 1502+(OA 45)2=OA2，解得 OA=272.5 m答：这段弯路的半径是 272.5 m综合运用如图，A，B 是 O 上的两点，AOB=120，C 是的中点，求证：四边形
7、 OACB 是菱形13.证明：连接 OC C 是的中点，即 =，AOB=120，AOC=BOC=120=60又 OA=OC=OB，AOC 与BDC 均为等边三角形 OA=AC=OC=OB=BC，四边形OACB是菱形综合运用如图，A，P，B，C 是 O 上的四个点，APC=CPB=60判断ABC 的形状，并证明你的结论14.解：ABC 是等边三角形证明如下：APC=CPB=60，ABC=BAC=60ACB=180 ABC BAC=60ABC=BAC=ACBABC 是等边三角形综合运用如图，AB 和 CD 分别是 O 上的两条弦，圆心 O 到它们的距离分别是 OM 和 ON，如果 ABCD，OM
8、和 ON 的大小有什么关系？为什么？15.解：OMON理由如下：如图，连接 OA，OC，则 OA=OC OMAB，ONCD，CN=CD，AM=AB又ABCD，AMCN，故 AM2CN2综合运用在 RtOAM 和 RtOCN 中，OM2=OA2 AM2，ON2=OC2 CN2，OM2ON2 OMON综合运用如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交会，QON=30，在点 A 处有一栋居民楼，AO=200 m，如果火车行驶时，周围 200 m 以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72 km/h，居民楼受噪声影响的时
9、间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？16.综合运用解：如图，过点 A 作 ABON 于点 BAOB=30，AO=200 m，AB=AO=100 m 200 m 居民楼会受到噪声影响在 MN 上找一个不同于 O 的点 C，使 AC=200 m.则火车在铁路 MN 上沿 ON 方向行驶到点 O 处时，居民楼开始受到火车噪音的影响；行驶过点 C 处时，结束噪音的影响.BC综合运用BC由勾股定理，得 OB=100(m)AO=AC，ABON，BC=OB OC=2OB=200 (m)200 (7210003600)17.3（s）答：居民楼受噪音影响的时间约为 17.3 s.综合运用如图，一个海港在范围内是浅滩，为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角XPY，并把它与已知的危险角XZY（上任意一点 Z 与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持XPYXZY你知道这样做的道理吗？17.解：同弧所对的圆外角小于相应地圆周角，因此只要航行中保持XPYXZY，就能保证点 P 在所在的圆外，也就保证了船只不进入浅滩
