1、3.3 定积分与微积分基本定理第三章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】1.定积分的定义2.定积分的几何意义图图3.定积分的性质4.微积分基本定理F(b)-F(a)5.定积分在物理中的两个应用常用结论1.定积分与曲边梯形的面积的关系:常用结论【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.答案B3.汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是()答案D4.(2020湖南师大附中测试)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()答案D5.(2020江西南昌模拟)设
2、a0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成的封闭图形的面积为a2,则a=.解析 封闭图形如图阴影部分所示,关键能力 学案突破考点1考点2考点3考点1定积分的计算考点1考点2考点3考点1考点2考点3思考计算定积分的步骤有哪些?解题心得计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点2利用定积分的几何意义求定积分考点1考点2考点3答案A考
3、点1考点2考点3思考怎样求曲线围成平面图形的面积?解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.考点1考点2考点3考点1考点2考点3答案 B考点1考点2考点3考点3定积分的应用(多考向探究)考向1求曲线围成的平面图形的面积【例3】(1)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为()考点1考点2考点3思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?考点1考点2考点3答案(1)A(2)B考点1考点2考点3考点1考点2考点3考向2已知曲线围成的面积求参数A.2B.3C.1D.8思考应
4、用怎样的数学思想解决已知曲线围成的面积求参数问题?答案A考点1考点2考点3考向3定积分在概率中的应用【例5】(2020山西太原联考)如图,在矩形ABCD中的曲线是y=sin x,y=cos x的一部分,点A(0,0),B ,D(0,1),在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()思考怎样求定积分与概率的交汇问题?考点1考点2考点3答案B考点1考点2考点3考向4定积分在物理中的应用思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什么?考点1考点2考点3答案(1)C(2)36考点1考点2考点3解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,
5、选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.3.与概率相交汇问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.4.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.考点1考点2考点3(3)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x3(x0)和曲线y=围成一个叶形图(阴影部
6、分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是()考点1考点2考点3(4)汽车以36 km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-2 m/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是m.(5)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为J(x的单位:m;力的单位:N).考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3要点归纳小结1.求定积分的方法:(1)利用定义求定积分,可操作性不强.(2)利用微积分基本
7、定理求定积分的步骤如下:求被积函数f(x)的一个原函数F(x);计算F(b)-F(a).(3)利用定积分的几何意义求定积分.2.定积分的几何意义是x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间a,b上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab),y=0所围成的曲边梯形的面积.考点1考点2考点3要点归纳小结1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.本 课 结 束
