1、中学阶段解不等式的基本思想是转化与化归思想,对于含有参数的不等式,还要用到分类讨论思想、函数与方程思想以及数形结合的思想.根据以上基本思想,同学们有必要探究以下几种不等式的解法,以提高自己的数学素养.一含有绝对值的不等式1.绝对值的属性:非负性2.式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方去掉绝对值.3.若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解:(1)|f(x)|g(x)的解集与f(x)g(x)或f(x)-g(x)的解集相同;(2)|f(x)|g(x)的解集与-g(x)f(x)g(x)的解集相同.4.对于其他含绝对值的问题,则要具
2、体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理.【例1】解下列不等式:(1)|x2+x|3x;(2)|x-1|+|x+2|5;(3)|2x-1|-|x-2|1时,不等式变为x-1+x+25,解得x2,1x2.当-2x1时,不等式变为1-x+x+25,解得35,-2x1时不等式均成立.当x-2时,不等式变为1-x-x-2-3,-3x-2.综上所述,不等式的解集为(-3,2).(3)思路:本题依然可以仿照(2)的方式进行零点分段,再解不等式,但从另一个角度观察,所解不等式为|2x-1|b0a2b2)一次将两个绝对值去掉,再进行求解.|2x-1|x-2|,
3、(2x-1)2(x-2)2,4x2-4x+1x2-4x+4,3x23,解得-1x0.解法一(列表法):求得相应方程的根为-2,1,3.列表如下:x-2-2x11x3x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知,原不等式的解集为x|-2x3.小结:此法叫列表法,解题步骤是:将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.由图可知,原不等式的解集为x|-2x3.小结:此法叫穿根法,解题步骤是:将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“0”,则找“线
4、”在x轴下方的区间.【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解检查各因式中x的符号均正.求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图.原不等式的解集为x|-1x2或2xg(x)g(x)0,f(x)g(x);(2)f(x)g(x)g(x)0,f(x)g2(x),或f(x)0,g(x)0;(3)f(x)g(x)f(x)0,g(x)0,f(x)a-x(a0).解2ax-a2a-x2ax-a20,a-x0,2ax-a2(a-x)2,或2ax-a20,a-x(a-x)2xa,x2-4ax+2a20xa,(2
5、-2)ax(2+2)a(2-2)a0).xa2,xaxa(因为a0).所以原不等式的解集是(2-2)a,a(a,+),即(2-2)a,+).【例6】解不等式:(x-1)x+20.解(x-1)x+20(x-1)x+20,或(x-1)x+2=0x-10,x+20,或x-1=0,x+20,或x+2=0x1或x=1或x=-2.所以原不等式的解集是1,+)-2.归纳小结无理不等式的等价转化即由无理不等式转化为等价的有理不等式来求解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.案例探究(一)三类不等式的解法对点训练解将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)20.求得相应方程的根为-2(二重),-1,3.在数轴上表示各根并穿线,如图.原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.说明:注意不等式若带“=”号,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉.
