1、第一章测评(一)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022湖北黄冈检测)设点M(1,1,1),A(2,1,-1),O(0,0,0).若OM=AB,则点B的坐标为()A.(1,0,-2)B.(3,2,0)C.(1,0,2)D.(3,-2,0)2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上都不对3.(2021安徽芜湖期中)已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(5,7,-5),又点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的
2、值为()A.14B.13C.12D.114.已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量OA,OB,OC表示向量OG是()A.OG=OA+23OB+23OCB.OG=12OA+23OB+23OCC.OG=16OA+13OB+13OCD.OG=16OA+13OB+23OC5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.266.已知两个不重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1
3、),则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为()A.30B.60C.120D.1508.长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合A=x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图,在长方体ABCD
4、-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则()A.点B1的坐标为(4,5,3)B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)10.设a,b,c是空间一个基底,下列说法正确的有()A.若ab,bc,则acB.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列说
5、法正确的是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12B.A1C(A1B1A1A)=0C.向量AD1与向量A1B的夹角是60D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|12.(2021湖北黄冈期中)如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,将ABD沿对角线BD翻折到PBD位置,连接PC,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.PC与平面BCD所成的最大角为45B.存在某个位置,使得PBCDC.存在某个位置,使得B到平面PDC的距离为3D.当二面角P-BD-C的大小为90时,PC=6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设a=(2,6,-3),则
6、与a平行的单位向量的坐标为,同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量e=.14.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2).若2a-b与b垂直,则|a|=.15.(2021上海青浦期末)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43,半径为18的扇形,则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.16.(2022浙江杭州模拟)已知e1,e2,e3是空间单位向量,e1e2=e2e3=e3e1=12,若空间向量a满足a=xe1+ye2(x,yR),|a|=2,则|ae3|的最大值是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021湖北武汉
7、期中)如图,在三棱锥P-ABC中,点D为棱BC上一点,且CD=2BD,点M为线段AD的中点.(1)以AB,AC,AP为一组基底表示向量PM;(2)若AB=AC=3,AP=4,BAC=PAC=60,求PMAC.18.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为3,求侧棱的长.19.(12分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且cBC,求向量c;(2)已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值;(3)求ABC的面积.20.(1
8、2分)设点E,F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点.如图,以C为坐标原点,射线CD,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.(1)求向量D1E与C1F的数量积;(2)若点M,N分别是线段D1E与线段C1F上的点,问是否存在直线MN,使MN平面ABCD?若存在,求点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.21.(12分)(2021黑龙江哈尔滨期中)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ADE平面ABCD,O,M分别为线段AD,DE的中点.四边形BCDO是边长为1的正方形,AE=DE,AEDE.(1)求证:CM平面ABE;(2)求直线DE与平面A
9、BE所成角的正弦值.22.(12分)(2021陕西咸阳模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,且AC=BC=CC1=2,M是AB1,A1B的交点,N是B1C1的中点.(1)求证:MN平面A1BC;(2)求平面AA1B与平面A1BC夹角的大小.第一章测评(一)1.B设B(x,y,z),则AB=(x-2,y-1,z+1).因为OM=AB,OM=(1,1,1),所以(1,1,1)=(x-2,y-1,z+1),所以x=3,y=2,z=0,即点B的坐标为(3,2,0).2.Cab=-4+0+4=0,ab.-4-2=-6-3=21,ac.bc=-8+0+8=0,bc,故选C.3.B因为点A
10、(4,1,3),B(2,3,1),C(5,7,-5),P(x,-1,3),所以AP=(x-4,-2,0),AB=(-2,2,-2),AC=(1,6,-8).因为点P(x,-1,3)在平面ABC内,则存在实数m,n,使得AP=mAB+nAC,所以(x-4,-2,0)=m(-2,2,-2)+n(1,6,-8),则x-4=-2m+n,-2=2m+6n,0=-2m-8n,解得x=13.4.COG=OM+MG=OM+23MN=OM+23(MO+OC+CN)=13OM+23OC+13(OBOC)=16OA+13OB+13OC.5.B设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAD=0,即4
11、x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得平面ABCD的一个法向量n=(3,12,4).故四棱锥的高h=|APn|n|=2613=2.6.A由题意,计算n1AB=21+(-3)0+1(-2)=0,得n1AB,计算n1AC=21+(-3)1+11=0,得n1AC,所以n1平面ABC,所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面平面ABC.7.C设向量a+b与c的夹角为,因为a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14,cos=(a+b)c|a+b|c|=12,所以=60.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120.8.C长方体A1A2A3A4
12、-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2),与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B2,A3B3,A4B4,此时A1B2A1B1=22=4;与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2A1B2=1+4=5;A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2A1B3=1+4=5;与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2A1B4=22=
13、4;与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2A2B1=-1+4=3;A2B4=(1,-1,2),A1B2A2B4=-1+4=3;A3B1=(1,1,2),A1B2A3B1=-1+4=3;与A3B2=(0,1,2)相等的向量为A4B1,此时A1B2A4B1=22=4;A4B2=(-1,1,2),A1B2A4B2=1+4=5.综上,集合A=x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5中元素的个数为3.9.ACD由图形及其已知可得,点B1的坐标为(4,5,3),点C1(0,5,3)关于点B(4,5,0)对称的点为(8,5,-3),点A关于直线BD1对称
14、的点为C1(0,5,3),点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0).故A,C,D正确.10.BCD对于A,b与a,c都垂直,a,c夹角不一定是2,故A错误;对于B,根据基底的概念可知,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;对于C,根据空间向量的基本定理可知,C正确;对于D,由于a,b,c为空间中的一个基底,所以a,b,c不共面,设a+b,b+c,c+a共面,不妨设a+b=x(b+c)+(1-x)(c+a),化简得c=xa+(1-x)b,所以a,b,c共面,这与已知矛盾,所以a+b,b+c,c+a不共面,可作为空间的一个基底,故D正确.11.AB由向量的加法
15、得A1A+A1D1+A1B1=A1C,A1C2=3A1B12,A1C2=3A1B12,故A正确;A1B1A1A=AB1,AB1A1C,A1CAB1=0,故B正确;ACD1是等边三角形,AD1C=60,又A1BD1C,异面直线AD1与A1B所成的夹角为60,但是向量AD1与向量A1B的夹角是120,故C不正确;ABAA1,ABAA1=0,故|ABAA1AD|=0,故D不正确.12.BD选项A,取BD的中点O,连接OP,OC,则OP=OC=3.由题可知,ABD和BCD均为等边三角形,由对称性可知,在翻折的过程中,PC与平面BCD所成的角为PCO,当PC=3时,OPC为等边三角形,此时PCO=604
16、5,即选项A错误;选项B,当点P在平面BCD内的投影为BCD的重心Q时,有PQ平面BCD,PQCD.又BQCD,BQPQ=Q,BQ,PQ平面PBQ,CD平面PBQ.PB平面PBQ,PBCD,即选项B正确.选项C,点B到PD的距离为3,点B到CD的距离为3,若B到平面PDC的距离为3,则平面PBD平面PCD,平面CBD平面PCD,则有DB平面PCD,即DBCD,与BCD是等边三角形矛盾.选项D,当二面角P-BD-C的大小为90时,平面PBD平面BCD.PB=PD,OPBD.平面PBD平面BCD=BD,OP平面BCD,OPOC.又OP=OC=3,POC为等腰直角三角形,PC=2OP=6,即选项D正
17、确.13.27,67,-37或-27,-67,3713,-23,23或-13,23,-23设与a平行的单位向量为u,则u=a=(2,6,-3),且|u|=1=(2)2+(6)2+(-3)2,解得=17,u=27,67,-37或u=-27,-67,37.设同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量e=(x,y,z),则ea=0,eb=0,|e|=1,即2x+2y+z=0,4x+5y+3z=0,x2+y2+z2=1,解得x=13,y=-23,z=23或x=-13,y=23,z=-23,e=13,-23,23或e=-13,23,-23.14.352a=(1,n,2),b=(-2,1,
18、2),2a-b=(4,2n-1,2).2a-b与b垂直,(2a-b)b=0,-8+2n-1+4=0,解得n=52,a=1,52,2,|a|=1+254+4=352.15.23设母线长为l,底面圆的半径为r.因为圆锥的侧面展开图是圆心角为43,半径为18的扇形,所以l=18,且1843=2r,解得r=12.设圆锥的母线与底面所成角为,则cos=rl=1218=23,所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值为23.16.233空间向量a满足a=xe1+ye2(x,yR),且e1e2=e2e3=e3e1=12,则|a|2=x2+y2+xy.又由|a|=2,得|a|2=4.即x2+y2+xy=4.又|ae3
19、|=|(xe1+ye2)e3|=12|x+y|,由于x2+y22xy,所以由x2+y2+xy=4,整理得3xy4,即xy43,所以|x+y|2=x2+y2+2xy=x2+y2+xy+xy4+43=163,故|x+y|433,所以|ae3|=12|x+y|233,当且仅当x=y=233时,等号成立.17.解(1)M为线段AD的中点,AM=12AD.CD=2BD,BD=13BC,PM=PA+AM=PA+12AD=PA+12(AB+BD)=PA+12AB+13BC=PA+12AB+13(BA+AC)=PA+12AB13AB+13AC=-AP+13AB+16AC.(2)PMAC=-AP+13AB+16
20、ACAC=-APAC+13ABAC+16AC2=-|AP|AC|cosPAC+13|AB|AC|cosBAC+16|AC|2=-4312+133312+1632=-6+32+32=-3.18.(1)证明AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因为BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=0.又ABC为正三角形,所以=23.因为AB1BC1=(AB+BB1)(BB1+BC)=ABBB1+ABBC+|BB1|2+BB1BC=|AB|BC|cos+|BB1|2=-1+1=0,所以AB1BC1.(2)解由(1)知AB1BC1=|AB|BC|cos+|BB1|2=|BB1|2-1.又|AB1
21、|=|AB|2+|BB1|2=2+|BB1|2=|BC1|,所以cos=|BB1|2-12+|BB1|2=12,所以|BB1|=2,即侧棱长为2.19.解(1)B(1,-1,-2),C(3,0,-4),BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2).|c|=3,且cBC,c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),mR,|c|=(2m)2+m2+(-2m)2=3|m|=3,m=1,c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)a=AB=(-1,-1,0),b=AC=(1,0,-2),ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2).向量ka
22、+b与b互相垂直,(ka+b)b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos=ABAC|AB|AC|=-125=-1010,sin=1-110=31010,ABC的面积SABC=12|AB|AC|sin=122531010=32.20.解(1)在给定的空间直角坐标系中,C1(0,0,2),F(2,2,1),C1F=(2,2,-1),D1(2,0,2),E(1,2,0),D1E=(-1,2,-2),所以D1EC1F=-12+22+(-2)(-1)=4.(2)存在唯一直线MN,使MN平面ABCD.若MN平面ABCD
23、,则MN与平面ABCD的一个法向量(0,0,1)平行,又N在线段C1F上,所以设M(a,a,m),N(a,a,n),MN=(0,0,n-m),nm.又因为点M,N分别是线段D1E与线段C1F上的点,所以D1MD1E,C1NC1F,即D1M=D1E,R,C1N=tC1F,tR,(a-2,a,m-2)=(-,2,-2),(a,a,n-2)=(2t,2t,-t),所以a-2=-,a=2,m-2=-2,a=2t,n-2=-t,解得a=43,m=23,n=43,所以点M,N的坐标分别是M43,43,23,N43,43,43.21.(1)证明如图,取线段AE中点P,连接BP,MP.M为线段DE的中点,MP
24、AD,MP=12AD=OD.又四边形BCDO是边长为1的正方形,BCDO,BC=DO,BCMP,BC=MP,四边形BCMP为平行四边形,CMBP.CM平面ABE,BP平面ABE,CM平面ABE.(2)解连接EO.AE=DE,O为AD中点,EOAD.EO平面ADE,平面ADE平面ABCD,平面ADE平面ABCD=AD,EO平面ABCD.又OB平面ABCD,OD平面ABCD,EOBO,EOOD.以O为原点,分别以OB,OD,OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1),M0,12,12.设平面ABE的法向量为
25、m=(x,y,z),AB=(1,1,0),AE=(0,1,1),由ABm=x+y=0,AEm=y+z=0,可取m=(1,-1,1).又DE=(0,-1,1),|cos|=|mDE|m|DE|=63,直线DE与平面ABE所成角的正弦值为63.22.(1)证明以C为原点,分别以CB,CC1,CA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由AC=BC=CC1=2,知A1(0,2,2),B1(2,2,0),B(2,0,0),C1(0,2,0),A(0,0,2),M(1,1,1),N(1,2,0),A1B=(2,-2,-2),CB=(2,0,0),MN=(0,1,-1),MNA1B=0-2+2=0,MNCB=0+0+0=0,MNA1B,MNCB.又CBA1B=B,CB,A1B平面A1BC,MN平面A1BC.(2)解作CHAB于点H,易知点H为线段AB的中点,H(1,0,1).平面ABC平面ABB1A1,平面ABC平面ABB1A1=AB,CH平面A1BA,故平面A1BA的一个法向量为CH=(1,0,1).又由(1)知,平面A1BC的一个法向量为MN=(0,1,-1),cos=CHMN|CH|MN|=-12.平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为3.
