1、高考资源网（） 您身边的高考专家7.4.2超几何分布教材要点要点一超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk）_，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M，则称随机变量X服从超几何分布判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征：不放回抽样；一个总体(共有N个）内含有两种不同的事物A(有M个），B(有NM个），任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布满足超几何分布模型的事件的总体都是
2、由较明显的两部分组成，如男生，女生；正品，次品；优，劣等要点二超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数令p，则E(X）_基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”）(1）超几何分布的模型是有放回的抽样(）(2）二项分布与超几何分布是同一种分布(）(3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布超几何分布的总体里只有两类物品(）2.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(）A将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，
3、选出女生的人数XC某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数3.一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量的分布列为(）4.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为_题型一超几何分布师生共研例1在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率方法归纳(1）当研究的事物涉及二维
4、离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；(2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率跟踪训练1从一批含13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率题型二超几何分布的分布列与期望师生共研例2盒中装有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的(用过的就是旧的）.从盒中任取3个使用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数Y是一个随机变量，求Y的分布列若随机变量Y的分布列不易求，则可以根据题意找出与随机变量Y有关的随机变量X，确定二者的对应值及取对应值的概率的关系，将求随机变量Y的分布列转化为求随机变量X的分布列
5、方法归纳若X是随机变量，则Yf(X）也是随机变量，求Y的分布列，可由X的分布列得出：先由Yf(X）求出随机变量Y的值，再根据随机变量X的取值所对应的概率写出分布列跟踪训练2在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(
6、2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列题型三超几何分布与二项分布的区别师生共研例3在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽样时，抽取次品数的均值；(2）放回抽样时，抽取次品数的均值方法归纳二项分布和超几何分布最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样，所以在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读，辨别题目条件是非常重要的跟踪训练3(1）现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本的本数为 (）A2 B3 C4 D5(2）甲、乙两人玩秒表游戏，先按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一
7、位数若出现0，1，2，3，则甲赢；若出现6，7，8，9，则乙赢；若出现4，5，则是平局玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列易错辨析对超几何分布的概念理解不透致错例4盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数X的分布列解析：X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0），P(X1），P(X2），P(X3）.因此，随机变量X的分布列为X0123P【易错警示】易错原因本题易错认为X服从超几何分布，其中N12，M3，n3，所以在取得正品之前已取出次品数X的分布列为P(Xk） (k0，1，2，3）
8、，从而所求分布列错误产生错误的原因是未理解超几何分布的概念，本题是不放回抽样，属于排列问题，而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题纠错心得根据超几何分布的定义，可以知道超几何分布的模型是不放回抽样同时在总体中只有两类物品，它研究的对象必须明确，即是对哪一类物品的分布进行研究的，不能搞错如检验产品时，既可以研究抽取的产品中合格品的件数是否服从超几何分布也可以研究抽取的产品中不合格品的件数是否服从超几何分布，由于是从总数为N件的物品中任取n件，这N件物品中包括合格品与不合格品，因此在计算不合格品的分布列的过程中也可得到合格品的分布列74.2超几何分布新知初探课前预习要点一要点二np基础自
9、测1(1)(2)(3)2解析：由超几何分布的定义可知B正确答案：B3解析：随机变量的可能值为1，2，3，P(1)，P(2)，P(3).故选C.答案：C4解析：次品数服从超几何分布，则E(X)30.3.答案：0.3题型探究课堂解透题型一例1解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为P(X2)P(X2)P(X3).故中奖的概率为.跟踪训练1解析：由题意知X服从超几何分布，其中N15，M2，n3，则P(X1)1P(X0)11.故至少有一件次品的概率为.题型二例2解析：由题意知，取出的3个球中旧球的个数X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从参数为N
10、12，M3，n3的超几何分布，用完放回后增加的旧球个数分别为3(取出的为3个新球)，2(取出的为1个旧球和2个新球)，1(取出的为2个旧球和1个新球)，0(取出的为3个旧球)，所以此时盒中旧球的个数Y的所有可能取值为6，5，4，3.由此建立了Y与X的关系，可用X的分布列表示Y的分布列根据超几何分布的分布列可得P(Y3)P(X3)，P(Y4)P(X2)，P(Y5)P(X1)，P(Y6)P(X0)，所以Y的分布列为Y3456P跟踪训练2解析：(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1，但不包含B1”的事件为M，则P(M).(2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X0)，P(X1
11、)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列为X01234P题型三例3解析：(1)方法一P(0)；P(1)；P(2)，随机变量的分布列为012PE()012.方法二由题意知P(k)(k0，1，2)，随机变量服从超几何分布，n3，M2，N10，E().(2)由题意，知每次取到次品的概率为，B，E()3.跟踪训练3解析：(1)设语文课本有m本，任取2本中的语文课本数为X，则X服从参数为N7，Mm，n2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2，且P(Xk)(k0，1，2).由题意，得P(X1)P(X0)P(X1)，所以m2m120，解得m4或m3(舍去)，即7本书中语文课本有4本故选C.(2)由题意得，每次甲赢的概率为0.4，X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)C0.630.216，P(X1)C0.40.620.432，P(X2)C0.420.60.288，P(X3)C0.430.064.故X的分布列为X0123P0.2160.4320.2880.064答案：(1)C(2)见解析- 17 - 版权所有高考资源网
