1、上海市黄浦区2021届高三数学二模试题（含解析）一、填空题（共有12题，满分54分，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分）.1已知集合Ax|x2+2x30，Bx|x1|1，则AB 2方程2log4x+13的解x 3已知某球体的表面积为36，则该球体的体积是 4已知函数f（x）的定义域为R，函数g（x）是奇函数，且g（x）f（x）+2x，若f（1）1，则f（1） 5已知复数z的共轭复数为，若（其中i为虚数单位），则|z| 6已知长方体ABCDA1B1C1D1的棱ABBC3，CC14，则异面直线AB1与CD1所成角的大小是 .（结果用反三角函数值表示）7已知随机事件A和B相互独立，若P（AB）0
2、.36，（表示事件A的对立事件），则P（B） 8无穷等比数列an（nN*，anR）的前n项和为Sn，且2，则首项a1的取值范围是 9已知（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式中元素1的代数余子式的值是 10已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z2x+5y的最大值是 11某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .（结果用数值作答）12已知aR，函数f（x）的
3、最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是 二、选择题（满分20分）13已知空间直线l和平面，则“直线l在平面外”是“直线l平面”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件14某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38则下列描述合理的是（）A甲队员每场比赛得分的平均值大B乙队员每场比赛得分的平均值大C甲队员比赛成绩比较稳定D乙队员比赛成绩比较稳定15已知点P（4，m）是直线l：（tR，t是参数）和圆C：（R，是参数）的公共点，过点P作圆C的切线l1，则切
4、线l1的方程是（）A3x4y280B3x+4y280C3xy130Dx3y16016已知x、y是正实数，ABC的三边长为CA3，CB4，AB5，点P是边AB（P与点A、B不重合）上任一点，且若不等式2x+3ymxy恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCDm3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17已知长方体ABCDA1B1C1D1中，棱ABBC2，AA13，点E是棱AD的中点（1）联结CE，求三棱锥D1EBC的体积V；（2）求直线CD1和平面D1EB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18已知ABC中，内角A、B、C所对边长
5、分别为a、b、c，且b1，asinA3sinB（1）求正实数a的值；（2）若函数f（x）asin2x+cos2x（xR），求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间19某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随经济收益x（单位：万元）的增加而增加，且y0，奖金金额不超过20万元（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；（答案不唯一）（2）若该企业采用函数y作为奖励函数模型，试确定实数a的取值范围20（16分）椭圆的右顶点为A（a，0
6、），焦距为2c（c0），左、右焦点分别为F1、F2，P（x0，y0）为椭圆C上的任一点（1）试写出向量、的坐标（用含x0、y0、c的字母表示）；（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数a、b的值；（3）在满足（2）的条件下，若直线l：ykx+m与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标21（18分）定义：符号maxx1，x2，x3表示实数x1、x2、x3中最大的一个数；minx1，x2，x3表示x1、x2、x3中最小的一个数如，max2，2，1.22，min2，22设K是一个给定的正整数（K3），数列an共
7、有K项，记Aimina1，a2，ai1，ai，Bimaxai+1，ai+2，aK1，aK，diAiBi（i1，2，3，4，K1）由di的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论比如，若d20，则a2a3.理由：d20，则A2B2.又a2A2，B2a3，于是，有a2a3.试解答下列问题：（1）若数列an的通项公式为，求数列di（i1，2，3，K1）的通项公式；（2）若数列an（n1，2，K）满足a13，di1（i1，2，K1），求通项公式an；（3）试构造项数为K的数列an，满足anbn+cn，其中bn是等比数列，cn是公差不为零的等差数列，且数列di（i1，2，K1）是单调递减数列，并说明理由（答
8、案不唯一）参考答案一、填空题（共12小题）.1已知集合Ax|x2+2x30，Bx|x1|1，则AB（1，2）【解答】Ax|x2+2x3x|（x+3）（x1）0x|x3或x1，Bx|1x11x|0x2，ABx|1x2，故答案为：（1，2）2方程2log4x+13的解x4解：方程2log4x+13，即方程log4x1，x4，故答案为：43已知某球体的表面积为36，则该球体的体积是36解：设球的半径为R，则4R236，即R3该球的体积为V故答案为：364已知函数f（x）的定义域为R，函数g（x）是奇函数，且g（x）f（x）+2x，若f（1）1，则f（1）解：根据题意，g（x）f（x）+2x，则g（1
9、）f（1）+2，g（1）f（1）+，又由g（x）是奇函数，则g（1）+g（1）f（1）+f（1）+f（1）+0，解可得：f（1），故答案为：5已知复数z的共轭复数为，若（其中i为虚数单位），则|z|5解：因为，所以43i，故|z|5故答案为：56已知长方体ABCDA1B1C1D1的棱ABBC3，CC14，则异面直线AB1与CD1所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示）解：建立空间直角坐标系，如图所示：由长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC3，CC14，所以A（3，0，0），B1（3，3，4），C（0，3，0），D1（0，0，4），所以（0，3，4），（0，3，4），计算cos，所以异面
10、直线AB1与CD1所成角的大小是arccos故答案为：arccos7已知随机事件A和B相互独立，若P（AB）0.36，（表示事件A的对立事件），则P（B）0.9解：随机事件A和B相互独立，P（AB）0.36，（表示事件A的对立事件），P（A）10.60.4，P（B）0.9故答案为：0.98无穷等比数列an（nN*，anR）的前n项和为Sn，且2，则首项a1的取值范围是（0，2）（2，4）解：无穷等比数列an（nN*）的前n项的和是Sn，且2，即a12（1q），由题意可得1q1，且q0，01q2，且1q1，0a14，且a12，首项a1的取值范围是（0，2）（2，4）故答案为：（0，2）（2，4）
11、9已知（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式中元素1的代数余子式的值是5解：因为（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，所以22112，解得n8，所以行列式中元素1的代数余子式为（3118）5故答案为：510已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z2x+5y的最大值是解：画出可行域，如图所示：当直线z2x+5y过点B时，z取得最大值，联立方程，解得，点B（，），zmax2+5故答案为：11某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数若某
12、位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是.（结果用数值作答）解：获奖号码从用0、1、2、3、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，基本事件总数n998648，一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数，满足条件的三个奇数可能为（1，3，5），（1，5，9），（3，5，7），（5，7，9），一等奖号码包含的基本事件个数m24，某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是P故答案为：12已知aR，函数f（x）的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是解：若a0时，则f（x）x2ax+a+1的
13、对称轴为 x，当x0时，f（x）minf（）+1，又当x0时，f（x）02a，+12a，a2+6a40，a3或a3（舍去），若a0时，则f（x），f（x）12a，a0，若a0时，则f（x）x2ax+a+1的对称轴为 x0，当x0时，f（x）x2ax+a+1单调递减，f（x）f（0）+1，当x0时，f（x），f（x）a+2，a+22a，a2，又+12a，0a，a2，综上所述：a3故答案为：3二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13已知空间直线l和平面，则“直线l在平面外”是“直线l平
14、面”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解：若直线l在平面外，则l或l与相交，故“直线l在平面外”推不出“直线l平面”，由“直线l平面”则推出“直线l在平面外”，故“直线l在平面外”是“直线l平面”的必要不充分条件，故选：B14某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38则下列描述合理的是（）A甲队员每场比赛得分的平均值大B乙队员每场比赛得分的平均值大C甲队员比赛成绩比较稳定D乙队员比赛成绩比较稳定解：甲队员得分的平均值为（21+22+23+25+28+
15、29+30+30）26，乙队员得分的平均值为（14+16+23+26+28+30+33+38）26，故甲队员和乙队员每场比赛得分的平均值相等，故选项A，B错误；甲队员得分的方差为（2126）2+（2226）2+（2326）2+（2526）2+（2826）2+（2926）2+（3026）2+（3026）212，甲队员得分的方差为（1426）2+（1626）2+（2326）2+（2626）2+（2826）2+（3026）2+（3326）2+（3826）248.25，所以甲队员的成绩比较稳定，故选项C正确，选项D错误故选：C15已知点P（4，m）是直线l：（tR，t是参数）和圆C：（R，是参数）的公
16、共点，过点P作圆C的切线l1，则切线l1的方程是（）A3x4y280B3x+4y280C3xy130Dx3y160解：直线l：（tR，t是参数）转换为直角坐标方程为x3y160由于点P（4，m）在直线上，故m3，所以P（4，4），设圆C的切线l1的方程为y+4k（x4），整理得kxy4k30由于直线与圆相切，故圆心（1，0）到直线kxy4k30的距离d，解得k所以切线的方程为3x4y280故选：A16已知x、y是正实数，ABC的三边长为CA3，CB4，AB5，点P是边AB（P与点A、B不重合）上任一点，且若不等式2x+3ymxy恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCDm3解：建立如图所示的直角
17、坐标系，因为，分别为，方向上的单位向量，则为（0，1），（1，0），则（0，x）+（y，0）（y，x），故P（y，x），因为AB所在的直线方程为，即x+3，（0x3，0y4），因为2x+3ymxy恒成立，所以m，令f（y），则，易得，当0y4时，函数单调递减，当4时，函数单调递增，故当y4时f（y）取得最小值，故m故选：A三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17已知长方体ABCDA1B1C1D1中，棱ABBC2，AA13，点E是棱AD的中点（1）联结CE，求三棱锥D1EBC的体积V；（2）求直线CD1和平面D1EB所成角的大小
18、（结果用反三角函数值表示）解：（1）因为ABCDA1B1C1D1是长方体，且棱ABBC2，AA13，所以AA1平面ABCD，即三棱锥D1EBC的高等于AA1，所以，故；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则E（1，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），D1（0，0，3），所以，设平面EBD1的法向量，则，即，令x6，得，故平面EBD1的一个法向量为，设直线CD1和平面EBD1所成的角为，则，所以直线CD1和平面EBD1所成角的大小为18已知ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且b1，asinA3sinB（1）求正实数a的值；（2）若函数f（x）asin2x
19、+cos2x（xR），求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间【解答】解 （1）在ABC中，b1，asinA3sinB，根据正弦定理，得（a0），（2）由（1）知，f（x）asin2x+cos2x2sin（2x+），函数f（x）的最小正周期为由（kZ），得函数f（x）的递增区间是（kZ）19某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随经济收益x（单位：万元）的增加而增加，且y0，奖金金额不超过20万元（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要
20、求的理由；（答案不唯一）（2）若该企业采用函数y作为奖励函数模型，试确定实数a的取值范围【解答】解 （1）答案不唯一 构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，如，就是符合企业奖励的一个函数模型，理由：根据一次函数的性质，易知，y随x增大而增大，即为增函数，当x50时，当x1500时，即奖金金额y0且不超过20万元，故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型（2）当50x500时，易知是增函数，且当x50时，；当x500时，即满足奖金y0且不超过20万的要求，故当50x500时，符合企业奖励要求，当500x1500时，函数是增函数，即对任意x1、x2（500，1500，且x1x2时，
21、成立，故当且仅当1a0，即a1时，此时函数在（500，1500上是增函数，由，得a9501，进一步可知，故成立，即当1a9501时，函数符合奖金y0且金额不超过20万的要求，依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有，解得a4001综上，所求实数a的取值范围是1a400120（16分）椭圆的右顶点为A（a，0），焦距为2c（c0），左、右焦点分别为F1、F2，P（x0，y0）为椭圆C上的任一点（1）试写出向量、的坐标（用含x0、y0、c的字母表示）；（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数a、b的值；（3）在满足（2）的条件下，若直线l：ykx+m与椭圆C交于M、N两点（M、
22、N与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标解：（1）根据题意，可知F1（c，0）、F2（c，0），于是，（2）由（1）可知，P（x0，y0）在椭圆上，则依据椭圆的性质，可知ax0a当且仅当x0a时，当且仅当x00时，又a2b2c2，的最大值为3，最小值为2，解得即为所求（3）证明：由（2）知，椭圆 又l：ykx+m，联立方程组得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120设M（x1，y1）、N（x2，y2）是直线l：ykx+m与椭圆C的两个交点，于是，有，以线段MN为直径的圆经过点A（2，0），即（x12，y1）（x22，y2）0，进一
23、步得（y1y2（kx1+m）（kx2+m），化简得7m2+16km+4k20解得（经检验，都满足0），当m2k时，直线l过点A（2，0）不满足M、N与椭圆的左右顶点不重合要求，故m2k舍去，即直线l必经过定点，且定点的坐标为21（18分）定义：符号maxx1，x2，x3表示实数x1、x2、x3中最大的一个数；minx1，x2，x3表示x1、x2、x3中最小的一个数如，max2，2，1.22，min2，22设K是一个给定的正整数（K3），数列an共有K项，记Aimina1，a2，ai1，ai，Bimaxai+1，ai+2，aK1，aK，diAiBi（i1，2，3，4，K1）由di的取值情况，我们
24、可以得出一些有趣的结论比如，若d20，则a2a3.理由：d20，则A2B2.又a2A2，B2a3，于是，有a2a3.试解答下列问题：（1）若数列an的通项公式为，求数列di（i1，2，3，K1）的通项公式；（2）若数列an（n1，2，K）满足a13，di1（i1，2，K1），求通项公式an；（3）试构造项数为K的数列an，满足anbn+cn，其中bn是等比数列，cn是公差不为零的等差数列，且数列di（i1，2，K1）是单调递减数列，并说明理由（答案不唯一）【解答】解 （1）数列an的通项公式为，根据指数函数的图像与性质，可知数列an是单调递减数列，即anan+1（n1，2，K1），（i1，2，
25、K1）为所求的通项公式（2）数列an（n1，2，K）满足a13，di1（i1，2，K1），依据题意，由d110，知a1a2；由d210，知a2a3；依此类推，有aK1aK，即a1a2aK1aK，于是，数列an（n1，2，K）是单调递减数列Aimina1，a2，ai1，aiai，Bimaxai+1，ai+2，aK1，aKai+1（i1，2，K1）di1，aiai+11，即ai+1ai1数列an是首项a13，公差为1的等差数列ana1+（n1）d4n（n1，2，K）（3）构造数列bn：，数列cn：cnbn（b0），n1，2，K，设anbn+cn，则数列an满足题设要求理由如下：构造数列bn：，数列cn：cnbn（b0），n1，2，K，易知，数列bn是等比数列，数列cn是等差数列由指数函数yax（xR，0a1）的性质，知anan+1，即数列bn是单调递减数列；由函数ykx（xR，k0）的性质，知数列cn是单调递减数列an+bnan+1+b（n+1），即anan+1（n1，2，3，K1）数列an是单调递减数列，即数列di（i1，2，K1）是单调递减数列数列an是满足条件的数列
