1、第一章 抛体运动 一、主干知识成体系二、模型构建探本质(一)类平抛运动模型 1运动建模 当一种运动和平抛运动特点相似，即合外力恒定且与初速度方向垂直的运动都可以称为类平抛运动。2模型特点 3分析方法 与平抛运动的处理方法一致，将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。4解答思路 典例1 如图所示，光滑斜面长L10 m，倾角为30，一小球从斜面的顶端以v010 m/s的初速度水平射入，求：(g取10 m/s2)(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；(2)小球到达斜面底端时的速度大小。解析：(1)小球在斜面上沿 v0 方向做匀速直线运动，沿垂直于 v
2、0 方向做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 mgsin 30ma，又 L12at2，解得 t2Lgsin 30。所以 xv0tv02Lgsin 3020 m。解决类平抛运动问题的步骤(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动，并明确物体两个分运动的方向。(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。(3)根据题目的已知条件和要求解的未知量，充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。(2)小球运动到斜面底端时的速度大小用 v 表示，则有vxv010 m/s，vy22aL2gsin 30LgL，故 v vx2vy210 2 m/s。答案：(1)20 m
3、(2)10 2 m/s针对训练 1如图所示，两个足够大的倾角分别为30、45的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球，它们到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1、t2、t3。下列关于时间的关系不正确的是()At1t3t2Bt1t1，t2t2，t3t3 Ct1t3t2Dt1t1，t2t2，t3t3 解析：静止释放三个小球时，对 a：hsin 3012gsin 30t12，则 t128hg。对
4、b：h12gt22，则 t222hg。对 c：hsin 4512gsin 45t32，则 t324hg，所以 t1t3t2。当平抛三个小球时，小球 b 做平抛运动，小球 a、c 在斜面上做类平抛运动，沿斜面方向的运动同第一种情况，所以 t1t1，t2t2，t3t3。故选 D。答案：D 2.如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：(1)飞机受到的升力大小；(2)在高度h处飞机的速度大小。解析：(1)飞机水平速度不变，
5、在水平方向：lv0t，竖直方向加速度恒定：hat22，消去 t 解得 a2hv02l2，由牛顿第二定律：Fmgmamg12hv02gl2。(2)在高度 h 处，飞机竖直方向的速度 vyat2hv0l则速度大小：v v02vy2v014h2l2。答案：(1)mg12hv02gl2(2)v014h2l2 (二)巧用平抛运动的两个重要推论解题 推论一：做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示，B为OC的中点。推论二：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为，位移方向与水平方向的夹角为，则tan 2tan，
6、如图乙所示。典例2如图所示，从倾角为的足够长的斜面的顶端，先后将同一小球以不同的初速度水平向左抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面夹角为1，落点与抛出点间的距离为x1，第二次初速度为v2，且v21.5v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面夹角为2，落点与抛出点间的距离为x2，则()A21B21 Cx21.5x1Dx23x1 解析：小球运动的轨迹图如图所示，根据平抛运动的推论：速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的 2 倍，可知 tan()2tan，由于两次都落在斜面上，位移方向与水平方向的夹角 相等，所以速度方向与水平方向的夹角()也相等，
7、即 21，故 A 错误，B 正确；两次都落在斜面上，由 tan 12gt2v0t，解得 t2v0tan g，由水平位移公式 xv0tv02v0tan g2v02tan g，即 xv02，可知两次的水平位移之比为：x2x1v22v121.5v12v122.25，故 C、D 错误。答案：B 针对训练 3.如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端P以初速度v0抛出一个小球，落在斜面上Q点处，小球落在斜面上的速度方向与斜面的夹角为，若把初速度变为kv0，小球仍落在斜面上，则()A小球的水平位移和竖直位移之比变为原来的k倍 B小球在空中的运动时间变为原来的k倍 CPQ间距一定为原来间距的k倍 D夹角将变为原
8、来的k倍 解析：斜面倾角的正切值 tan yx12gt2v0t，得：t2v0tan g，运动的时间与平抛运动的初速度有关，初速度变为原来的 k 倍，则小球的水平位移和竖直位移之比不变，运动时间变为原来的 k 倍，故 A 错误，B 正确；因为初速度变为原来的 k 倍，运动的时间也变为原来的 k 倍，根据 xv0t，水平位移变为原来的 k2倍，竖直位移也变为原来的 k2 倍，PQ 间距 s x2y2，所以 PQ 间距变为原来间距的 k2 倍，故 C 错误；由 tan()2tan，知斜面倾角 不变，速度与斜面的夹角 也不变，故 D 错误。答案：B 4.如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水
9、平射出的，飞镖甲与竖直墙壁成53角，飞镖乙与竖直墙壁成37角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离为多少。(sin 370.6，cos 370.8)解析：设射出点 P 离墙壁的水平距离为 L，飞镖甲下降的高度为 h1，飞镖乙下降的高度为 h2，根据平抛运动的重要推论可知，两飞镖速度的反向延长线一定通过水平位移的中点 Q，如图所示，由此得L2cot L2cot d，代入数值得：L24d7。答案：24d7(三)平抛运动的临界模型 1模型特点(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围
10、”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。2求解思路(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。(2)分解速度或位移。(3)列方程求解结果。典例3 如图所示，水平房顶高H5 m，墙高h3.2 m，墙到房子的距离l3 m，墙外马路宽d10 m。欲使小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足的条件。(墙的厚度不计，g取10 m/s2)解析：如图甲所示，设球刚好触墙而过时小球离开房顶的速度为 v1，则小球自房顶飞出后做平抛运动到达墙头时，水平位移大小为 l，竖直位移大小为(Hh)，则 yHh(53.2)m1.8 m，由 y12gt12 得小球自飞出
11、后运动到墙头所用的时间为t12yg 21.810s0.6 s，由 lv1t1 得小球离开房顶时的速度为v1 lt1 30.6 m/s5 m/s。设小球飞出后恰好落在墙外的马路边缘时离开房顶的速度为 v2，如图乙所示，此过程水平位移大小为(ld)，竖直位移大小为 H，则小球在空中的飞行时间 t2 满足 H12gt22，则 t22Hg 2510s1 s，对于有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题中数据盲目地代入公式。由 ldv2t2 得 v2ldt2 3101m/s13 m/s，即小球恰好落在马路边缘时从房顶飞出的速度大小为 13 m/s。综上分析
12、知，欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度 v0 应满足 v1v0v2，即 5 m/sv013 m/s。答案：5 m/sv013 m/s针对训练5.如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某同学先用一个小球从A平台边缘以v05 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为()A6 m/sB7.5 m/sC9 m/sD11.25 m/s解析：设 A、B 两个平台水平距离为 x，竖直高度差为 h，由平抛运动的规律可知：xv01t1
13、，h6.25 m12gt12；当小球恰能落到平台 B 上时，xv02t2，h12gt22，联立解得：v027.5 m/s，故选项 B 正确。答案：B 6.如图所示，窗子上、下沿间的高度H1.6 m，墙的厚度d0.4 m。某人在离墙壁距离L1.4 m，距窗子上沿高h0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是()Av7 m/sBv2.3 m/sC3 m/sv7 m/sD2.3 m/sv3 m/s解析：小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时 v 最大，此时有 Lvmaxt，h12gt2，代入数据解
14、得 vmax7 m/s，恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v 最小，则有 Ldvmint，Hh12gt2，解得 vmin3 m/s，故 v 的取值范围是 3 m/sv7 m/s，C 正确。答案：C 7.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把排球垂直于网所在平面水平击出。(g取10 m/s2)(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。解析：(1)如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为，排
15、球恰不出界时其运动轨迹为，根据平抛运动的规律，由 xv0t 和 h12gt2 可得，当排球恰不触网时有x13 m，x1v1t1，h12.5 m2 m0.5 m，h112gt12，由可得 v13 10 m/s，当排球恰不出界时有x23 m9 m12 m，x2v2t2，h22.5 m，h212gt22，由可得 v212 2 m/s，所以排球既不触网也不出界的速度范围是3 10 m/sv012 2 m/s。(2)如图所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹。设击球点的高度为 h，根据平抛运动的规律有x13 m，x1v0t1，h1h2 m，h112gt12，x23 m9 m12 m，x2v0t2，h2h
16、12gt22，由式可得，所求高度 h2.1 m。答案：(1)3 10 m/sv012 2 m/s(2)2.1 m三、创新应用提素养 平抛运动中的STSE问题 平抛运动常与实际生活相联系，特别是与体育运动中的某些球类运动相联系，而且容易涉及临界问题，例如：乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不能出边界；足球的球门有固定的高度和宽度等，对某些物理量往往要有一定的范围限制；在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。1生活中的平抛运动问题 多选中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开
17、水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是()A运动的时间都相同B速度的变化量都相同C落入锅中时，最大速度是最小速度的 3 倍D若初速度为 v0，则 Lg2hv03Lg2h解析：根据 h12gt2 可得运动的时间 t2hg，所有小面圈在空中运动的时间都相同，故选项 A 正确；根据 vgt 可得所有小面圈的速度的变化量都相同，故选项 B 正确；因为水平位移的范围为 LxL2L3L，则最小初速度为 v0minLt Lg2h，最大初速度为
18、：v0max3Lt 3Lg2h，则水平初速度的范围为：Lg2h v03Lg2h；落 入 锅 中 时，最 大 速 度 vmax v0max22gh 9L2g2h 2gh，最小速度为 vmin v0min22ghL2g2h 2gh，故选项 D 正确，C 错误。答案：ABD 2.娱乐活动中的平抛运动问题 游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上。A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距h，如图所示，不计空气阻力。关于两支枪射出的子弹初速度大小，下列判断正确的是()A甲枪射出的子弹初速度较大 B乙枪射出的子弹初速度较大 C甲、乙两支枪
19、射出的子弹初速度一样大 D无法比较甲、乙两支枪射出的子弹初速度的大小 解析：子弹被射出后做平抛运动，水平方向有 xv0t，竖直方向有 y12gt2，由以上两式得 ygx22v02，由题图可知 y 乙y 甲，故 v0 乙v0 甲，即甲枪射出的子弹初速度较大。答案：A 3足球比赛中的平抛运动问题如图所示为足球球门，球门长为 L。一个球员在球门中心正前方距离球门 s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中 P 点)。球员顶球点的高度为 h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则()A足球位移的大小 xL24 s2B足球初速度的大小 v0g2hL24 s2C足球末速度的大小 vg2h
20、L24 s2 4ghD足球初速度的方向与球门线夹角的正切值 tan L2s解析：根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为 h，水平位移为 x 水平s2L24，则足球位移的大小为：x x水平2h2s2L24 h2，选项 A 错误；由 h12gt2，x 水平v0t，可得足球的初速度为 v0g2hL24 s2，选项 B 正确；足球在 P 点竖直方向的速度：vy 2gh，可得足球末速度 v v022ghg2hL24 s2 2gh，选项 C 错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为 tan 2sL，选项 D 错误。答案：B 4网球比赛中的平抛运动问题 一位网球运动员用拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一
21、个球飞出时的初速度为v1，落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示，第二个球飞出时的初速度为v2，直接擦网而过，也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：(1)两个球飞出时的初速度大小之比v1v2；(2)运动员击球点的高度H、网高h之比Hh。解析：(1)第一、二两只球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的。由题意结合题图可知，水平射程之比为x1x213，故飞出时的初速度之比为v1v213。(2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知，BD 段的逆过程和OB 段是相同的平抛运动，则两只球下落相同高度 Hh 后水平距离 x1x22x1，根据公式 H12gt12，Hh12gt22，而 x1v1t1，x1v1t2，x2v2t2，综合可得 v1t2v2t22v1t1，故 t12t2，则 H4(Hh)，解得 Hh43。答案：(1)13(2)43
