1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲函数yAsin(x)的图象及应用基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：基础诊断考点突破课堂总结(1)定点：如下表所示.x232 2x02322yAsin(x)0A0A0 x232 2x02322y
2、Asin(x)0A0A0基础诊断考点突破课堂总结(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yAsin(x)在 R 上的图象基础诊断考点突破课堂总结2函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的两种途径基础诊断考点突破课堂总结3函数 yAsin(x)的物理意义当函数 yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时，A 叫做振幅，T 2 叫做周期，f1T叫做频率，x 叫做相位，叫做初相.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)利用图
3、象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样()(2)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()基础诊断考点突破课堂总结(3)函数 f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(4)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014四川卷)为了得到函数ysin(x1)的图象，只需把函数ysin x的图象上所有的点()A向左平行移动1个单位长度B向右平行移动1个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度基础诊断考点突破课堂总结解
4、析 根据平移法则“左加右减”可知，将函数sin x的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度即可得到函数ysin(x1)的图象答案 A基础诊断考点突破课堂总结3(2014安徽卷)若将函数 f(x)sin 2xcos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是()A.8B.4 C.38 D.54基础诊断考点突破课堂总结解析 将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后所得图象对应的函数为 y 2cos2x42，且该函数为偶函数，故 24k(kZ)，所以 的最小正值为38.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4.已知函数 y2sin(x)(0)在区间0,2的图象如图所示，那么
5、_.解析 由图象可知，函数周期 T，2T 2.答案 2基础诊断考点突破课堂总结5.(人教 A 必修 4P60 例 1 改编)如图，某地一天，从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_基础诊断考点突破课堂总结解析 从图中可以看出，从 614 时的是函数 yAsin(x)b 的半个周期，所以 A12(3010)10，b12(3010)20，又122 146，所以 8.又8102，解得 34，y10sin8x34 20，x6,14答案 y10sin8x34 20，x6,14基础诊断考点突破课堂总结考点一 函数 yAsin(x)的图象及变换 【例 1】设函
6、数 f(x)sin x 3cos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到基础诊断考点突破课堂总结解(1)f(x)sin x 3cos x212sin x 32 cos x 2sinx3，又T，2，即 2.f(x)2sin2x3.函数 f(x)sin x 3cos x 的振幅为 2，初相为3.基础诊断考点突破课堂总结(2)令 X2x3，则 y2sin2x3 2sin X.列表，并描点画出图象：x612371256X02322ysin X01010y2sin2x30
7、2020基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结(3)法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移3个单位，得到ysinx3 的图象；再把 ysinx3 的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x3 的图象；最后把 ysin2x3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3 的图象基础诊断考点突破课堂总结法二 将 ysin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到 ysin 2x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移6个单位，得到 ysin 2x6 sin2x3 的图象；再将 ys
8、in2x3 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y2sin2x3 的图象基础诊断考点突破课堂总结规律方法 作函数 yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0，2，32，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】设函数 f(x)cos(x)0，20 的最小正周期为，且
9、 f4 32.(1)求 和 的值；(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图象基础诊断考点突破课堂总结解(1)T2，2，又 f4 cos24 32，sin 32，又20，3.基础诊断考点突破课堂总结(2)由(1)得 f(x)cos2x3，列表：2x33023253x06512231112f(x)12101012基础诊断考点突破课堂总结图象如图基础诊断考点突破课堂总结考点二 由图象求函数 yAsin(x)的解析式 【例 2】(1)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_基础诊断考点突破课堂总结(2)(2015杭州月考)设偶函数 f(x)
10、Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，KLM 为等腰直角三角形，KML90，|KL|1，则 f16 的值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题图可知 A 2，法一 T471234，所以 T，故 2，因此 f(x)2sin(2x)，又3，0 对应五点法作图中的第三个点，因此 23，所以 3，故 f(x)2sin2x3.基础诊断考点突破课堂总结法二 以3，0 为第二个“零点”，712，2 为最小值点，列方程组3，71232，解得2，3，故 f(x)2sin2x3.基础诊断考点突破课堂总结(2)取 K，L 中点 N，则|MN|12，因此 A12.由 T2 得.函数为偶函数，2，f(x
11、)12cos x，f16 12cos 6 34.答案(1)f(x)2sin2x3 (2)34基础诊断考点突破课堂总结规律方法 已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)五点法，由 2T 即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(20
12、14南京、盐城模拟)函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0,0)的图象如图所示，则f3 的值为_基础诊断考点突破课堂总结解析 由三角函数图象可得 A2，34T1112 634，所以周期T2，解得 2.又函数图象过点6，2，所以 f6 2sin26 2,0，解得 6，所以 f(x)2sin2x6，f3 2sin23 6 1.答案 1基础诊断考点突破课堂总结考点三 函数 yAsin(x)的性质应用 【例 3】已知函数 f(x)3sin(x)0，22 的图象关于直线 x3对称，且图象上相邻最高点的距离为.(1)求 f4 的值；(2)将函数 yf(x)的图象向右平移 12个单位后，得到 y
13、g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间基础诊断考点突破课堂总结解(1)因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为，所以 f(x)的最小正周期 T，从而 2T 2.又 f(x)的图象关于直线 x3对称，所以 23k2，kZ，因为22，所以 k0，所以 223 6，所以 f(x)3sin2x6，则 f4 3sin246 3sin 332.基础诊断考点突破课堂总结(2)将 f(x)的图象向右平移 12个单位后，得到F x 12 的图象，所以 g(x)fx 12 3sin2x 12 6 3sin2x3.当 2k22x32k32(kZ)，即 k512xk1112(kZ)时，g(x)单调递减因此 g(x
14、)的单调递减区间为k512，k1112(kZ)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把 x 看做一个整体在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】已知函数 f(x)2 3sinx24 cosx24 sin(x)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间0
15、，上的最大值和最小值基础诊断考点突破课堂总结解(1)f(x)2 3sinx24 cosx24 sin(x)3cos xsin x2sinx3于是 T21 2.基础诊断考点突破课堂总结(2)由已知得 g(x)fx6 2sinx6x0，x66，76sinx6 12，1，g(x)2sinx6 1,2故函数 g(x)在区间0，上的最大值为 2，最小值为1.基础诊断考点突破课堂总结微型专题 三角函数图象与性质的综合问题辅助角公式 asin bcos a2b2sin()(其中 tan ba)，或 asin bcos a2b2cos()(其中 tan ab)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、
16、考查到，应特别加以关注基础诊断考点突破课堂总结【例 4】已知函数 f(x)3sin(x)cos(x)(0，0)为偶函数，且函数 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求 f8 的值；(2)求函数 yf(x)fx4 的最大值及对应的 x 的值点拨(1)先将 f(x)化成 yAsin(x)的形式，再求值(2)将解析式化为 yAsin(x)，再结合性质求解基础诊断考点突破课堂总结解(1)f(x)3sin(x)cos(x)232 sinx12cosx2sinx6.因为 f(x)为偶函数，所以 62k，kZ，所以 23 k，又 0，23，所以 f(x)2sinx2 2cos x.由题意得2 2
17、2，所以 2.故 f(x)2cos 2x.因此 f8 2cos 4 2.基础诊断考点突破课堂总结(2)y2cos 2x2cos 2x42cos 2x2cos2x22cos 2x2sin 2x2 2sin42x.令42x2k2(kZ)，y 有最大值 2 2，所以当 xk8(kZ)时，y 有最大值 2 2.基础诊断考点突破课堂总结点评 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式第二步：构造 f(x)a2b2(sin xaa2b2cos xba2b2)第三步：和角公式逆用 f(x)a2b2sin(x)(其中 为辅助角)第四步：利用 f(x)
18、a2b2sin(x)研究三角函数的性质.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1由图象确定函数解析式由函数 yAsin(x)的图象确定 A，的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置要善于抓住特殊量和特殊点基础诊断考点突破课堂总结2解决三角函数的对称问题，特别应注意：函数 yAsin(x)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象坐标为(x，A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少2复合形式的三角函数的单调区间的求法函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把 x看做一个整体，若 0，要先根据诱导公式进行转化.
