1、2.5 椭圆及其方程 2.5.2 椭圆的几何性质 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形 2根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形(重点、难点)通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 根据开普勒三大定律，地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳处在这个椭圆的一个焦点上在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点，在近日点时距离太阳 14 710 万千米在远日点时距离太阳 15210 万千米事实上，很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆如神舟九号飞船，于 2012
2、 年 6 月 16 日搭载 3 名航天员发射升空，之后进入近地点高度 200 千米，远地点高度 329.8 千米的椭圆形轨道，然后进行了 5 次变轨，两天后与天宫一号交会对接成功，这是中国实施的首次载人空间交会对接 知识点 1 椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准 方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 对称性对称轴_，对称中心_范围x_，y_x_，y_顶点_x轴和y轴(0，0)a，ab，bb，ba，aA1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)
3、，B1(b，0)，B2(b，0)焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 轴长短轴|B1B2|_，长轴|A1A2|_焦点_ _ 焦距|F1F2|_离心率e_(0e1)2b2aF1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)2cca1椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？提示 最大距离：ac；最小距离：ac 2椭圆方程x2a2y2b21(ab0)中 a，b，c 的几何意义是什么？提示 在方程x2a2y2b21(ab0)中，a，b，c的几何意义如图所示即 a，b，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形，RtOB2F2 也叫椭圆的特征三角形1(
4、1)椭圆x29y2161 的焦点坐标是_，顶点坐标是_(2)椭圆 x24y24 的离心率为()A 32 B34 C 22 D23(1)(0，7)(3，0)，(0，4)(2)A(1)由方程x29y2161 知焦点在 y 轴上，所以 a216，b29，c2a2b27 因此焦点坐标为(0，7)，顶点坐标为(3，0)，(0，4)(2)化椭圆方程为标准形式得x24y21，所以 a24，b21，所以 c2a2b23 所以 eca 32 知识点 2 椭圆离心率e的几何意义 椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度 当 e 越趋近于 1 时，c 越趋近于 a，从而 b a2c2越小，因此椭圆越扁；当
5、 e 越趋近于 0 时，c 越趋近于 0，从而 b a2c2越趋近于 a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当 ab 时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为 x2y2a2 3ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？提示 ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度(1)当ba1 时，ba，椭圆越圆；当ba0 时，b0，椭圆越扁(2)当cb0 时，c0，此时 ba，椭圆越圆；当cb时，b0，此时 ca，椭圆越扁 2比较椭圆x29y236 与x29 y25 1 的形状，则_更扁(填序号)x29y236 化为标准方程得x236y241，故离心率 e14 262 23；椭圆x29y251 的离心
6、率 e223因为 e1e2，所以更扁合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 已知椭圆方程研究其几何性质 【例 1】求椭圆 16x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标 解 把已知方程化成标准方程x252y2421，可知 a5，b4，所以 c3因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a10 和 2b8，离心率 eca35，两个焦点分别是 F1(3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个顶点是 A1(5，0)，A2(5，0)，B1(0，4)和 B2(0，4)1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型2焦点位置不确
7、定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2b2c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的两倍 跟进训练 1求椭圆 4x29y236 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率 解 将椭圆方程变形为x29y241，a3，b2，c a2b2 94 5 椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6，2c2 5，焦点坐标为F1(5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为 A1(3，0)，A2(3，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，离心率 eca 53 类型 2 利用几何性质求椭圆的标准方程 【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆 4x
8、29y236 有相同的焦距，且离心率为 55；(2)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，4)解(1)将方程 4x29y236 化为x29y241，可得椭圆焦距为 2c2 5又因为离心率 e 55，即 55 5a，所以 a5，从而 b2a2c225520 若椭圆焦点在 x 轴上，则其标准方程为x225y2201；若椭圆焦点在 y 轴上，则其标准方程为y225x2201(2)依题意 2a22b，即 a2b 若椭圆焦点在 x 轴上，设其方程为x2a2y2b21(ab0)，则有a2b，4a216b21.解得a268，b217，所以标准方程为x268y2171 若椭圆焦点在 y 轴上，设其方程为y2a
9、2x2b21(ab0)，则有a2b，16a2 4b21，解得a232，b28.所以标准方程为x28y2321 利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：1求出 a2，b2 的值；2确定焦点所在的坐标轴；3写出标准方程.在求解 a2，b2 时常用方程组思想，通常由已知条件与关系式 a2b2c2，eca等构造方程组加以求解.提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.跟进训练 2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是 10，离心率是45；(2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互
10、相垂直，且焦距为 6 解(1)设椭圆的方程为 x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)由已知得 2a10，a5，eca45，c4 b2a2c225169 椭圆方程为x225y291 或x29y2251(2)依题意可设椭圆方程为 x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，2c6，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为x218y291 类型 3 求椭圆的离心率 【例 3】(对接教材人教 B 版 P132 例 2)已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直
11、线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率 求椭圆离心率的关键是什么？提示 根据 eca，a2b2c2，可知要求 e，关键是找出 a，b，c 的等量关系 解 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点坐标为 F1(c，0)，F2(c，0)依题意设 A 点坐标为c，b2a，则 B 点坐标为c，b2a，|AB|2b2a 由ABF2 是正三角形得 2c 32 2b2a，即 3b22ac 又b2a2c2，3a2 3c22ac0，两边同除以 a2 得 3ca22ca 30，解得 eca 33 1(变换条件)本例中将条件“过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，
12、若ABF2 是正三角形”改为“A 为 y 轴上一点，且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上，若AF1F2 为正三角形”如何求椭圆的离心率？解 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点坐标为 F1(c，0)，F2(c，0)，设 A 点坐标为(0，y0)(y00)，则 B 点坐标为c2，y02，B 点在椭圆上，c24a2 y204b21，解得 y204b2b2c2a2，由AF1F2 为正三角形得 4b2b2c2a2 3c2，即 c48a2c24a40，两边同除以 a4 得 e48e240，解得 e 31 2(变换条件)“若ABF2 是正三角形”换成“椭圆的焦点在 x轴上，且 A 点的纵坐标等
13、于短半轴长的23”，求椭圆的离心率 解 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，F1(c，0)，F2(c，0)，由题意知 Ac，23b 在椭圆上，c2a2491，解得 e 53 求椭圆离心率的方法(1)直接求出 a 和 c，再求 eca，也可利用 e1b2a2求解(2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成ca的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解 跟进训练 3已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 36 的直线上，PF1F2 为等腰
14、三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A23 B12 C13 D14 D 由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，过点 P 作 x轴的垂线，垂足为 B设|F1F2|2c，PF1F2 为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，PF2B60|OF2|c，点 P 的坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点 P(2c，3c)点 P在过 A 且斜率为 36 的直线上，3c2ca 36，a4c，ca14，即椭圆 C 的离心率 e14 当堂达标夯基础 NO.31 3 2 4 1椭圆x29y2161 的离心率()A 74 B 916 C13D14 A a216，b2
15、9，c27，从而 eca 74 1 3 2 4 2若中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()Ax281y2721Bx281y291 Cx281 y245 1Dx281 y236 1 1 3 2 4 A 由已知得 a9，2c13 2a，c13 a3，b2a2c272 又焦点在 x 轴上，椭圆方程为x281 y272 1 1 3 2 4 3椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为()A12 B2C14 D4 1 3 2 4 C 椭圆 x2my21 化为标准形式为：x2y21m 1 因为焦点在 y 轴
16、上，且长轴长是短轴长的 2 倍，所以1m 4，所以 m14 1 3 2 4 4某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆，测得近地点 A 距离地面 m km，远地点 B 距离地面 n km，地球半径为 R km，关于这个椭圆有下列说法：焦距为 nm；短轴长为 mRnR；离心率 enmmn2R 其中正确说法的序号为_ 1 3 2 4 由题意，得 nRac，mRac，可解得 2cnm，amn2R2，2b2 a2c2 2 mRnR，enmmn2R，故正确，不正确 回顾本节知识，自我完成以下问题：1在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？提示 椭圆的对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率等与位置无关；顶点坐标、焦点坐标等与位置有关 2a，b，c 对椭圆形状有何影响？提示 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
