1、1.1正弦定理 第1课时正弦定理(1)1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，了解正弦定理的推导过程(重点)2掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形的度量问题(难点)3解三角形时增解或漏解(易错点)基础初探教材整理1正弦定理阅读教材P5P7“思考”以上部分，完成下列问题三角形的各边和它所对角的正弦之比相等即.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理适用于所有三角形()(2)在ABC中，abcsin Asin Bsin C()(3)2R，其中R为ABC的外接圆的半径()【答案】(1)(2)(3)教材整理2解斜三角形阅读教材P7例1P8，完成下列问题1解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个
2、角)中的_个元素(至少有一个是_)，求其余未知元素的过程【答案】三边2利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题(1)已知_，求其他两边和一角；(2)已知_与其中一边的_，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)【答案】两角与任一边两边对角1在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B_.【解析】根据，有，得sin B.【答案】2在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC_. 【导学号：91730000】【解析】由正弦定理可知，所以AC2.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_ 小组合作型已知两
3、角及任一边解三角形在ABC中，已知A45，B30，c10，求a，b，C.【精彩点拨】利用正弦定理求解【自主解答】由正弦定理得，即a10(1)由得，b5()已知两角与一边求解三角形问题的基本解法1若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边2若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边再练一题1在ABC中，若tan A，C150，BC1，求AB，AC的值【解】tan A，sin A，cos A.由正弦定理得AB.又ABC180，B180AC30A.sin Bsin(30A)sin 30cos Aco
4、s 30sin A.AC.已知两边与其中一边的对角，解三角形在ABC中，分别根据下列条件解三角形(1)a1，b，A30；(2)a，b1，B120.【精彩点拨】(1)先求sin B，再利用大边对大角求B，进而求C及c.(2)先求sin A的值再进行判断【自主解答】(1)根据正弦定理，sin B.ba，BA30，B60或120.当B60时，C180(AB)180(3060)90，c2；当B120时，C180(AB)180(30120)30，c1.(2)根据正弦定理，sin A1.因为sin A1.所以A不存在，即无解利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出
5、其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍再练一题2在ABC中，c，C，a2，求A，B，b.【解】，sin A.ca，CA，A，B.，b1.探究共研型判断三角形解的情况探究1在ABC中，若AB，则sin Asin B吗？反之呢？【提示】由AB，得ab，sin Asin B，反之，亦然探究2在ABC中，若Ab时，ABC的解是唯一的探究3探究2中的ABC会有两解吗？【提示】当bsin Aab时，ABC有两解不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；(2)a7，b14，A150；(3)a9，b10，A60；(
6、4)a1，b2，A30.【精彩点拨】根据已知条件画图，依据高和图形判断解的个数【自主解答】(1)如图(1)，A为钝角，且ab，三角形有一解(1)(2)(2)如图(2)，A为钝角，且ab，无解(3)如图(3)，hbsin A5，而5910，三角形有两解(3)(4)(4)如图(4)，hbsin A1，ah，三角形有一解三角形解的各种情况汇总已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin A且ab；abbsin Aababab解的个数一解两解无解一解无解再练一题3根据下列条件判断ABC解的情况(1)已知b4，c8，B30；(2)已知b6，c9，B45；(3
7、)已知B30，b，c2.【解】(1)由正弦定理，得sin C1，又由cb知CB，30C1，故无解(3)由正弦定理，得sin C，又cb，30Cb，A60或120，当A60时，C180(AB)75，c.当A120时，C180(AB)15，c.故A60，C75，c或A120，C15，c.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1在ABC中，a5，b3，C120，则sin Asin B的值是_【解析】由正弦定理可知，sin Asin Bab53.【答案】532在ABC中，若A75，B60，c2，则b_.【解析】在AB
8、C中，C180AB45，b.【答案】3在ABC中，若，则C的值为_【解析】由正弦定理可知，又，即tan C1,0C180，C45.【答案】454(2015北京高考)在ABC中，a3，b，A，则B_.【解析】在ABC中，根据正弦定理，有，可得sin B.因为A为钝角，所以B.【答案】5在ABC中，已知a4，b4，A60，则c_. 【导学号：91730002】【解析】由，得sin Bsin A.b90，ab，满足条件的三角形有1个【答案】17在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的长为_【解析】易得A75，B为最小角，即b为最短边，由，得b.【答案】8(2016苏州高二检测)在ABC中，若AB
9、C123，则abc_.【解析】由ABC123，可知A，B，C.abcsin Asin Bsin C112.【答案】12二、解答题9在ABC中，若a2，A30，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？【解】当a4时， 无解；当ab或absin A，即b2或b4时，有一解；当bsin Aab，即2b4时，有两解10在ABC中，b2a，BA60，求角A.【解】根据正弦定理，把b2a代入得，sin B2sin A.又BA60，sin(A60)2sin A，展开得sin Acos A0，sin(A30)0，解得A30.能力提升1(2016南通高二检测)在锐角ABC中，角A，B所对
10、的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于_【解析】由正弦定理可得，2asin Bb可化为2sin Asin Bsin B，又sin B0，即sin A，又ABC为锐角三角形，得A.【答案】2(2014广东高考)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos Cccos B2b，则_.【解析】因为bcos Cccos B2b，所以sin Bcos Csin Ccos B2sin B，故sin(BC)2sin B.故sin A2sin B，则a2b，即2.【答案】23在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是_. 【导学号：91730003】【解析】因为三角形有两解，所以asinBba，即x2x，2x2.【答案】(2,2)4在ABC中，acosbcos，判断ABC的形状【解】法一acosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得ab，a2b2，即ab，ABC为等腰三角形法二acosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B.AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形
