1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第4讲 数列求和概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n2112(1n1 1n1)()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)若数列 a1，a2a1，anan1是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an3n12.()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 分组转化法求和解(1)由题设可得
2、f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.对任意 nN*，f2 anan1an2an10，即 an1anan2an1，故an为等差数列由 a12，a2a48，解得an的公差 d1，所以 an21(n1)n1.例 1设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x 满足 f2 0.(1)求数列an 的通项公式；(2)若 bn2an 12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.结束放映返回目录第4页 考点突破例 1设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos
3、 xan2sin x 满足 f2 0.(1)求数列an 的通项公式；(2)若 bn2an 12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.(2)因为 bn2an 12an2n1 12n1 2n 12n2，所以 Snb1b2bn(222)2(12n)12 12212n2n2n（n1）212112n112n23n1 12n.等差数列等比数列考点一 分组转化法求和结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法常见可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数
4、和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式考点一 分组转化法求和结束放映返回目录第6页【训练 1】在等差数列an中，已知公差 d2，a2 是 a1 与 a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn,记 Tnb1b2b3b4(1)nbn,求 Tn.解(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12，所以数列an的通项公式为 an2n.(2)由题意知 bnn(n1)所以 Tn122334(1)nn(n1)因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)相邻两项的差是等差数列考点一 分组转化法求和考点
5、突破结束放映返回目录第7页【训练 1】在等差数列an中，已知公差 d2，a2是 a1与 a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn,记 Tnb1b2b3b4(1)nbn,求 Tn.48122n n2（42n）2n（n2）2.当 n 为奇数时，TnTn1(bn)（n1）（n1）2n(n1)（n1）22所以 Tn（n1）22，n为奇数，n（n2）2，n为偶数.利用n是偶数时的结论考点一 分组转化法求和考点突破结束放映返回目录第8页【例题 2】(2014江西卷)已知首项都是 1 的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足 anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令 cnanbn，求数
6、列cn的通项公式；(2)若 bn3n1，求数列an的前 n 项和 Sn.考点二 错位相减法求和解(1)因为 anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以an1bn1anbn2，即 cn1cn2.所以数列cn是以首项 c11，公差 d2 的等差数列，故 cn2n1.考点突破结束放映返回目录第9页 考点二 错位相减法求和(2)由 bn3n1 知 ancnbn(2n1)3n1，于是数列an前 n 项和 Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以 Sn(n1)3n1.考点
7、突破【例题 2】(2014江西卷)已知首项都是 1 的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足 anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令 cnanbn，求数列cn的通项公式；(2)若 bn3n1，求数列an的前 n 项和 Sn.是一个等差一个等比数列对应项的积构成的数列。凡是具有此特点的数列都能用错位相减法求其和。(2n1)3n1结束放映返回目录第10页 考点突破规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错
8、项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式考点二 错位相减法求和结束放映返回目录第11页 考点突破(1)证明 由已知可得 an1n1ann 1，训练 2 数列an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann 是等差数列；(2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn.即 an1n1ann1.所以ann 是以a11 1 为首项，1 为公差的等差数列(2)解 由(1)得ann 1(n1)1n，所以 ann2.Sn131232333n3n，从而 bnn3n.考点二 错位相减法求和3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1（12
9、n）3n132.所以 Sn（2n1）3n134.3（13n）13n3n1结束放映返回目录第12页 考点突破考点三 裂项相消法求和(1)解 由 S2n(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以 Sn0，Snn2n.于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项 an2n.例 3 正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bnn1（n2）2a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 564.结束放
10、映返回目录第13页 考点突破考点三 裂项相消法求和例 3 正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bnn1（n2）2a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 564.(2)证明 由于 an2n，bnn1（n2）2a2n，则 bnn14n2（n2）2 1161n21（n2）2.Tn 1161 132 122 142 132 1521（n1）21（n1）2 1n21（n2）2 1161 1221（n1）21（n2）2 1161 122 564.结束放映返回目录第14页 考点突破规律方
11、法利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式列项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等。考点三 裂项相消法求和结束放映返回目录第15页 考点突破解析(1)S44a1432 24a112，训练 3(2014山东卷)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n14nan an1，求数列bn的前 n 项和 Tn.因为 S1a1，S22a1212 22a12，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得
12、a11，所以 an2n1.(2)bn(1)n1 4nanan1(1)n14n（2n1）（2n1）考点三 裂项相消法求和(1)n112n112n1.结束放映返回目录第16页 考点突破训练 3(2014山东卷)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n14nan an1，求数列bn的前 n 项和 Tn.Tn113 1315 12n312n112n112n1 112n12n22n1.当 n 为奇数时，所以 Tn2n22n1，n为奇数，2n2n1，n为偶数.或Tn2n1（1）n12n1 考点三 裂项相消法求和T
13、n113 1315 12n312n112n112n1 112n1 2n2n1.当 n 为偶数时，结束放映返回目录第17页 思想方法课堂小结非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和结束放映返回目录第18页 易错防范课堂小结1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论2在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项。结束放映返回目录第19页（见教辅）
