1、6.4.3 余弦定理、正弦定理 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务核 心 素 养 1能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题(重点)1通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养 2通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养 情境导学探新知 NO.1 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想 问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？知识点1 基线的概念与选择原则(1)定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的叫做基线(2)性质
2、 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越 线段基线长度高1在本课时情境与问题中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？提示 利用正弦定理和余弦定理 知识点 2 测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)(2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转
3、60(如图所示)2李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示 东南方向 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得()(3)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北44方向()答案(1)(2)(3)2小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为，则小强观测山顶的仰角为()A B CD C 如图所示，设小强观测山顶的仰角为，则，因此，故选C项 3某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km
4、，结果他离出发点恰好为3 km，那么x的值为_ 2 3或 3 如图，在ABC中，由余弦定理得39x26xcos 30，即x23 3x60，解得x2 3或 3合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 测量距离问题【例1】(对接教材P49例9)海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A10 3 海里 B10 63海里 C5 2 海里D5 6 海里 D 根据题意，可得如图在ABC中，A60，B75，AB10，C45由正弦定理可得 ABsin C BCsin A，即 1022BC32，BC5 6(海里)测量
5、距离问题有哪些类型？如何求解？提示 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法 A，B间不可达也不可视测得ACb，BCa，C的大小，则由余弦定理得ABa2b22abcos C B，C与点A可视但不可达测得BCa，B，C的大小，则A(BC)，由正弦定理得ABasin CsinBC C，D与点A，B均可视不可达测得CDa及BDC，ACD，BCD，ADC的度数在ACD中，用正弦定理求AC；在BCD中，用正弦定理求BC；在ABC中，用余弦定理求AB 跟进训练 1为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度
6、为_m 60 由题意知，ACB180307575，ABC为等腰三角形河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BDAC于D，河宽：BD120sin 3060(m)类型2 测量高度问题【例2】(对接教材P50例10)济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解 如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端 依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100
7、，故ADB180(60100)20 在ABD中，根据正弦定理，得 BDsin 60ABsinADB BDABsin 60sin 20 15.2sin 60sin 2038.5(m)在RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m 测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法 底部可达 测得BCa，C的大小，ABatan C 点B与C，D共线测得CDa及ACB与ADB的度数先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 底部不可达点B与C，D不共线测得CDa及BCD，BDC，AC
8、B的度数在BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 跟进训练 2如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h()A 22 a m Ba2 m C 32 a m Da m A 由题意知，PAQ30，BAQ15，PBC60，ABa m，在PAB中，PAB15，BPA30，asin 30PBsin 15，PB 6 22a m，hPCCQ 6 22asin 60asin 15 22 a(m)，故选A 类型3 角度问题【例3】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏
9、西15方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值)1某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60，距离是4 km，从B到C，方位角是120，距离是8 km，从C到D，方位角是150，距离是3 km，试画出示意图 提示 如图所示：2在上述问题中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？提示 在问题1的图中，在ABC中，ABC60(180120)120，由余弦定理得ACAB2BC22ABBCcos 120 4 7，则此人的最小速度为v4 7128 7(km
10、/h)解 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理得，(28t)281(20t)22920t12，即128t260t270，解得t34或t 932(舍去)，AC21(海里)，BC15(海里)根据正弦定理，得sinBACBCsinABCAC5 314，则cosBAC1 751421114 又ABC120，BAC为锐角，45BAC，sin sin(45BAC)sin 45cosBACcos 45sin BAC11 25 628 (变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15的方向行驶
11、恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度 解 设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在ABC中，AC28t，BCxt，CAB30，ABC135由正弦定理得 ACsinABCBCsinCAB，即28tsin 135xtsin 30 所以x28sin 30sin 135 281222 14 2(海里/小时)故乙船的速度为14 2海里/小时 解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题
12、 跟进训练 3如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值 解(1)依题意，知BAC120，AB6，AC5210，BCA 在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC621022610cos 120196，解得BC14，所以渔船甲的速度为BC2 7 n mile/h(2)在ABC中，AB6，BAC120，BC14，BCA，由正弦定理，得 ABsinBCsin 120，即si
13、n ABsin 120BC6 3214 3 314 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 1如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且C120，则A，B两点间的距离为()A 3 km B 2 km C1.5 km D2 km 1 2 3 4 A 在ABC中，易得A30，由正弦定理 ABsin C BCsin A，得ABBCsin Csin A 21 32 3(km)1 2 3 4 2一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距82 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又
14、测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()A8(6 2)海里/时B8(6 2)海里/时 C16(6 2)海里/时D16(6 2)海里/时 1 2 3 4 D 由题意得在SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45 由正弦定理得SAsin 105 ABsin 45，即8 2sin 105 ABsin 45，得AB8(6 2)，因此此船的航速为8 6 21216(6 2)(海里/小时)1 2 3 4 3在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为_m 1 2 3 4 200(31)过点A作AHBC于点H，由图易知B
15、AH45，CAH60，AH200 m，则BHAH200 m，CHAHtan 60200 3 m 故两船距离BCBHCH200(31)m 1 2 3 4 4海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为126海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8 3海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120，则：(1)A处与D处之间的距离为_；(2)灯塔C与D处之间的距离为_ 1 2 3 4(1)24海里(2)8 3海里 由题意，画出示意图(1)在ABD中，由已知ADB60，B45，AB12 6 由正弦定理得AD ABsin 60sin 4524(海里)1 2 3 4(2)在ADC中
16、，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30242(8 3)22248 3 32(8 3)2，CD8 3(海里)即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D之间的距离为83海里 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)仰角、俯角、方向角的定义是什么？(2)如何求解实际问题中的距离、高度及角度问题？数学阅读拓视野 NO.4秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即 S14c2a2c2a2b222 你能证明这个公式吗？“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积 事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下 S214c2a2sin2B 14(c2a2c2a2cos2 B)，又因为cacos Bc2a2b22，所以 S214c2a2c2a2b222，从而可知S14c2a2c2a2b222点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
