1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 7 讲 抛物线 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 夯基释疑判断正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.()结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 抛物线的定义及应用
2、所以线段 AB 的中点到准线的距离为12(|AD|BE|)3.又抛物线的准线为 x12，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为52.解析(1)如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，由|AF|BF|6及抛物线的定义知|AD|BE|6，【例1】(1)F是抛物线y22x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到y轴的距离为_(2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_ 利用抛物线的定义结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 抛物线的定义及应用最小值为|AF|1 9a21.答案
3、(1)52(2)9a21(2)将x4代入抛物线方程y24x，得y4，|a|4，所以A在抛物线的外部，如图 由题意知F(1，0)，抛物线上点P到准线l：x1的距离为|PN|，由定义知，|PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取最小值，此时|PA|PM|也最小，(2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_ 结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看
4、到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 考点一 抛物线的定义及应用结束放映返回目录第6页 考点突破答案 A【训练 1】已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A 172 B3 C 5D92解析 抛物线 y22x 的焦点为 F12，0，准线是 l，因此所求的最小值等于 122(2)2 172，选 A考点一 抛物线的定义及应用由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的
5、距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.结束放映返回目录第7页 考点突破考点二 抛物线的标准方程和几何性质【例 2】(1)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为2，则抛物线 C2 的方程为()Ax28 33 yBx216 33yCx28yDx216y(2)见下一页解析(1)x2a2y2b21 的离心率为 2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3.x22py 的焦点坐标为0，p2，x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，即 y
6、 3x.由题意得p21(3)22，p8.故C2的方程为x216y.结束放映返回目录第8页 考点突破考点二 抛物线的标准方程和几何性质【例 2】(2)过抛物线 y24x 的焦点为 F 的直线交抛物线于 A，B两点，O 为坐标原点若|AF|3，则AOB 的面积为_ x12，y12 2，由y24x，x1t y，消去 x 得 y24t y40 y2 2，x212，SAOB121|y1y2|3 22(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|x113，设AB的方程为x1t y，y1 y24答案(1)D(2)3 22xyCBOFA结束放映返回目录第9页 考点突破规
7、律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题是，需要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、定点、准线的问题更是如此考点二 抛物线的标准方程和几何性质结束放映返回目录第10页 考点突破解析 由点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，得焦点F(2，0)，【训练 2】(1)(2014辽宁卷)已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为()A43B1 C
8、34D12(2)见下一页kAF32234，故选 C考点二 抛物线的标准方程和几何性质结束放映返回目录第11页 考点突破(2)抛物线的标准方程为x24y，所以准线为y1【训练 2】(2)(2014兰州一模)已知圆 x2y2mx140 与抛物线y14x2 的准线相切，则 m（）A2 2B 3C 2D 3圆的标准方程为xm22y2m214，答案(1)C (2)D考点二 抛物线的标准方程和几何性质所以圆心为m2，0，半径为 m212所以圆心到直线的距离为 1，即 m2121，解得 m 3结束放映返回目录第12页 考点突破考点三 直线与抛物线的位置关系【例 3】(2014广州综合测试)已知点 A(2，1
9、)在抛物线 E：x2ay上，直线 l1：ykx1(kR，且 k0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交直线 l2：y1 于点 S，T.(1)求 a 的值；(2)若|ST|2 5，求直线 l1 的方程依题意得 x214y1，x224y2，由ykx1，x24y消去 y，得 x24kx40，解得 x1，24k4 k2122k2 k21.解(1)点A(2，1)在抛物线E：x2ay上，a4.(2)由(1)得抛物线E的方程为x24y.设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，x1x24k，x1x24.结束放映返回目录第13页 考点突破考点三 直线与抛物线的位置关系【例
10、3】(2014广州综合测试)已知点 A(2，1)在抛物线 E：x2ay上，直线 l1：ykx1(kR，且 k0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交直线 l2：y1 于点 S，T.(1)求 a 的值；(2)若|ST|2 5，求直线 l1 的方程直线 AB 的斜率 kABy11x12x214 1x12x124，故直线 AB 的方程为 y1x124(x2)点 S 的坐标为28x12，1.令 y1，得 x28x12(由题意知 x120)，同理可得点 T 的坐标为28x22，1结束放映返回目录第14页 考点突破考点三 直线与抛物线的位置关系【例 3】(2014广州综合测试)已知
11、点 A(2，1)在抛物线 E：x2ay上，直线 l1：ykx1(kR，且 k0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交直线 l2：y1 于点 S，T.(1)求 a 的值；(2)若|ST|2 5，求直线 l1 的方程|ST|28x1228x228(x1x2)(x12)(x22)8(x1x2)x1x22(x1x2)4 8(x1x2)8k|ST|2 5，|x1x2|2 5|k|.x1x2k.由|x1x2|2(x1x2)24x1x2，得20k216k216，解得k2或k2，直线l1的方程为y2x1或y2x1.结束放映返回目录第15页 考点突破规律方法(1)直线与抛物线的位置关系和
12、直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解 考点三 直线与抛物线的位置关系结束放映返回目录第16页 考点突破则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.【训练 3】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个
13、交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为p2，0.由题意可设直线方程为 xmyp2，代入 y22px，考点三 直线与抛物线的位置关系得 y22p(myp2)，即 y22pmyp20.(*)因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21 y 224p2 p44p2p24.结束放映返回目录第17页 考点突破【训练 3】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1
14、|AF|1|BF|为定值(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2(x1x2)p24.考点三 直线与抛物线的位置关系因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，代入上式，得 1|AF|1|BF|AB|p24 p2(|AB|p)p242p(定值)结束放映返回目录第18页 1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)2抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着重要作用 思想方法课堂小结结束放映返回目录第19页 思想方法课堂
15、小结3抛物线的焦点弦：设过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)若直线 AB 的倾斜角为，则|AB|2psin2，|AB|x1x2p；(3)若 F 为抛物线焦点，则有 1|AF|1|BF|2p.结束放映返回目录第20页 1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)易错防范课堂小结2直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件；由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助数形结合可能会更直观、更方便，当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切 结束放映返回目录第21页（见教辅）
