1、章末综合提升 第五章 三角函数 巩固层知识整合 NO.1提升层题型探究 NO.2类型1 三角函数式的化简与求值 类型2 三角函数的图象与性质 类型3 三角函数模型的应用 类型 1 三角函数式的化简与求值本章主要学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等(1)牢记两个基本关系式 sin2cos21 及sin cos tan，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧比如：已知 sin cos 的值，可求 cos sin.注意应用(sin cos)212sin cos.在倍角公式中特别关注 cos 2cos2sin22cos21
2、12sin2 及其变形(2)诱导公式可概括为 k2(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限【例 1】(1)已知 sin4 sin4 16，2，则 sin 41cos2的值为_(2)化简：1sin cos sin 2cos 222cos(2)(1)4 215 (1)4 4 2，sin4 cos4.sin4 sin4 sin4 cos412sin22 16，sin22 13，即 cos 213.又 2，2(，2)，sin 22 23.cos21cos 221132 23.sin 41cos222 23131234 215.(2)解 原式2cos222sin 2cos 2
3、sin 2cos 24cos222cos 2cos 2sin 2 sin 2cos 22cos 2cos 2sin22cos22cos 2cos 2cos cos 2.2，22.cos 20.原式cos.跟进训练1已知 sin cos 15，且(0，)(1)求 tan 2 的值；(2)求 2sin226 sin6.解(1)由 sin cos 15，得 sin cos 1225，因为(0，)，所以 2，所以 sin cos 2sin cos 275，解得 sin 45，cos 35，故 tan 43，所以 tan 2 2tan 1tan2247.(2)2sin226 sin61cos3 sin6
4、112cos 32 sin 32 sin 12cos 1cos 85.类型 2 三角函数的图象与性质(1)三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，一般先通过恒等变换将函数表达式变形为 yAsin(x)k 或 yAcos(x)k 等形式，然后将 x 看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧(2)函数 yAsin(x)的图象“五点法”作图；图象伸缩、平移变换【例 2】已知函数 f(x)4sinx4 cos x 在 x4处取得最值，其中(0,2)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)将函数 f(x)的图象向左平移 36个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸
5、长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象若 为锐角，且 g()43 2，求 cos 的值解(1)f(x)4sinx4 cos x4sin xcos 4cos xsin 4 cos x2 2sin xcos x2 2cos2x 2sin2x 2cos 2x 22sin2x4 2.因为f(x)在x4处取得最值，2 42k，kZ，即2k32，kZ，又(0,2)，32.f(x)2sin3x4 2.函数f(x)的最小正周期T23.(2)将函数 f(x)的图象向左平移 36个单位长度，得到函数 y2sin3x 36 4 22sin3x6 2的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3
6、 倍，纵坐标不变，得到函数 y2sinx6 2的图象，即 g(x)2sinx6 2.为锐角，g()2sin6 243 2，sin6 23.cos6 1sin26 53.cos cos6 6 32 cos6 12sin6 32 53 1223 1526.跟进训练2(1)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到
7、原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2(2)已知函数 f(x)sin2x sin x 3cos2x.求 f(x)的最小正周期和最大值；讨论 f(x)在6，23 上的单调性(1)D 因为 ysin2x23 cos2x23 2cos2x6，所以曲线C1：ycos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线 ycos 2x，再把得到的曲线 ycos 2x 向左平移 12个单位长度，得到曲线 ycos 2x 12 cos2x6.故选 D.
8、(2)解 f(x)sin2x sin x 3cos2xcos xsin x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最大值为2 32.当 x6，23 时，02x3，从而当 02x32，即6x512时，f(x)单调递增，当22x3，即512x23 时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在6，512 上单调递增，在512，23 上单调递减类型 3 三角函数模型的应用如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件利用三角函数知识建立数学模型三角函数模型在解题中务必关注以下两点：(1)自变量的取值范围；(2
9、)数形结合的灵活运用【例 3】如图所示，摩天轮的半径为 40 m，O 点距地面的高度为 50 m，摩天轮作匀速转动，每 2 min 转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最高点(1)试确定在时刻 t min 时 P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间 P 点距离地面超过 70 m.解(1)建立如图所示的平面直角坐标系设(02)是以 Ox 为始边，OP0(P0 表示点P 的起始位置)为终边的角，OP 在 t min 内转过的角为22 t，即 t.以 Ox 为始边，OP 为终边的角为(t)，即 P 点纵坐标为 40sin(t)，P 点距地面的高度为 z5040sin(t)，(02
10、)，由题可知，2，z5040sint2 5040cost.(2)当 5040cost70 时，解得，2k13t2k13，持续时间为23min.即在摩天轮转动一圈内，有23minP 点距离地面超过 70 m.跟进训练3.如图所示，某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化(1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式；(其中 t 以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量解(1)设种群数量 y 关于 t 的解析式为 yAsin(t)b(A0，0)，则Ab700，Ab900，解得 A100，b800.又周期
11、 T2(60)12，2T 6，y100sin6t 800.又当 t6 时，y900，900100sin66 800，sin()1，sin 1，取 2，y100sin6t2 800.(2)当 t2 时，y100sin622 800750，即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.体验层真题感悟 NO.31 2 3 4 5 D 法一：由题意，知22k2k(kZ)，所以4k20，sin 20，故选 D.法二：当 4时，cos 20，sin 21，排除 A，B，C，故选 D.1(2020全国卷)若 为第四象限角，则()Acos 20 Bcos 20Csin 20Dsin 201 2 3 4 5
12、B sin sin3 32sin 32 cos 3sin6 1，sin6 33，故选 B.2(2020全国卷)已知 sin sin3 1，则 sin6()A12 B 33 C23 D 221 2 3 4 5 3(多选)(2020新高考全国卷)如图是函数ysin(x)的部分图象，则 sin(x)()Asinx3 Bsin32xCcos2x6 Dcos56 2x1 2 3 4 5 BC 由题图可知，函数的最小正周期 T223 6，2|，2.当 2 时，ysin(2x)，将点6，0 代入得，sin26 0，262k，kZ，即 2k23，kZ，故 ysin2x23.由于 ysin2x23 sin2x2
13、3 sin32x，故选项 B 正确；ysin32x cos232x cos2x6，选项 C 正确；对于选项 A，1 2 3 4 5 当 x6时，sin63 10，错误；对于选项 D，当 x6232512时，cos56 2512 11，错误当 2 时，ysin(2x)，将6，0代入，得 sin26 0，结合函数图象，知262k，kZ，得 43 2k，kZ，ysin2x43，但当 x0 时，ysin2x43 32 0，与图象不符合，舍去综上，选 BC.1 2 3 4 5 4(2020江苏高考)将函数 y3sin2x4 的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_1
14、2 3 4 5 x524 因为函数 y3sin2x4 的图象向右平移6个单位长度可得g(x)fx6 3sin2x34 3sin2x 12，则 yg(x)的对称轴为 2x 122k，kZ，即 x724k2，kZ.当 k0 时，x724，当 k1 时，x524.所以平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 x524.5 1 2 3 4 35 13 tan 2，则cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2141435.tan4 tan tan 41tan tan4 2112113.5(2020浙江高考)已知 tan 2，则 cos 2_，tan4_.点击右图进入 章 末 综 合 测 评 谢谢观看 THANK YOU!
