1、32 独立性检验的基本思想及其初步应用内 容 标 准学 科 素 养1.能用等高条形图反映两个分类变量之间是否有关系2.能够根据条件列出列联表并会由公式求k.3.能知道独立性检验的基本思想和方法.利用数据分析提升数学建模及数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 分类变量及 22 列联表预习教材P9192，思考并完成以下问题在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系例如，吸烟与患肺癌是否有关系？性别是否对喜欢数学课程有影响？等等为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了 9 965 人，得到如下结果：不患肺癌患肺癌总计
2、不吸烟7 775427 817吸烟2 099492 148总计9 874919 965那么吸烟是否对患肺癌有影响？提示：在不吸烟样本中，有 0.54%患肺癌；在吸烟样本中，有 2.28%患肺癌因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大 知识梳理 1.分类变量变量的不同“值”表示个体所属的，像这样的变量称为分类变量2列联表(1)定义：列出的两个分类变量的，称为列联表(2)22 列联表一般地，假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(也称为 22 列联表)为下表.y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd不
3、同类别频数表x1，x2y1，y2知识点二 等高条形图知识梳理 与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否，常用等高条形图展示列联表数据的特征比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌相互影响频率如果通过直接计算或等高条形图发现 aab和 ccd相差很大，就判断两个分类变量之间有关系知识点三 独立性检验知识梳理 1.定义：利用随机变量 K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验2K2nadbc2abcdacbd，其中 nabcd.3独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率
4、的上界，然后查表确定k0.(2)利用公式计算随机变量 K2 的k.(3)如果，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过，否则就认为在不超过 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中支持结论“X 与 Y 有关系”临界值观测值kk0犯错误的概率没有发现足够证据自我检测1在一个 22 列联表中，由其数据计算得 K213.097，认为两个变量有关系犯错误的概率不超过()A0.001 B0.05C0.1 D0.2答案：A2由如图所示的等高条形图，可知吸烟与患肺病_关系(填“有”或“没有”)答案：有探究一 等高条形图的应用阅读教材 P95 例 1在某医院，因为患心脏病而住院
5、的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系；(2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？题型：利用等高条形图判断两分类变量是否有关方法步骤：(1)列出 22 列联表(2)计算出秃顶样本中患心脏病的频率，和不秃顶样本中患心脏病的频率(3)作出两样本中的等高条形图作出判断：秃顶与患心脏病有关例 1 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：组别阳性数阴性数总计铅中毒病人29736对照组92837
6、总计383573试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？解析 等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系方法技巧 1.判断两个分类变量是否有关系的方法(1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法(2)在等高条形图中，aab与 ccd相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大2利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤跟踪探究
7、 1.为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表：患病未患病总计服用药104555未服用药203050总计3075105试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系解析：根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为10550.18，未服用药患病的频率为20500.4，两者的差距是|0.180.4|0.22，两者相差很大，作出等高条形图如图所示，因此服用药与患病有关系探究二 独立性检验阅读教材 P97 习题 3.2 第 2 题通过随机询问 72 名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表女男总计读营养说明162844不读营养说明20828总
8、计363672能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为性别和是否看营养说明有关系呢？解析：由题意得 K27216820282363628448.4167.879因此能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为性别与读营养说明之间有关系例 2 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100根据表中数据，问是否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”解析 将 22 列联表中的数据代入公式计算，得K2 的观测
9、值 knadbc2abcdacbd1006010201027030802010021 4.762.因为 4.7623.841，所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”方法技巧 1.独立性检验的关注点在 22 列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足 adbc0，因此|adbc|越小，关系越弱；|adbc|越大，关系越强2独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界，然后查表确定临界值 k0.(2)利用公式 K2nadbc2abcdacbd计算随机变量 K2 的观测值 k.(3)如
10、果 kk0，推断“X 与 Y 有关系”这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X 与 Y 有关系”跟踪探究 2.某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了 50 人，其中有老教师 20 人，青年教师 30 人老教师对新课程教学模式赞同的有 10 人，不赞同的有 10 人；青年教师对新课程教学模式赞同的有 24 人，不赞同的有 6 人(1)根据以上数据建立一个 22 列联表；(2)判断
11、是否有 99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系解析：(1)22 列联表如下所示：赞同不赞同总计老教师101020青年教师24630总计341650(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”由公式得 K25010624102341620304.9636.635，所以没有 99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关探究三 独立性检验的综合应用例 3 某高校共有学生 15 000 人，其中男生 10 500 人，女生 4 500 人为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间(单位：时)的样本数据
12、(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率(3)在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”解析(1)由分层抽样可得 300 4 50015 00090，所以应收集 90 位女生的样本数据(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动超过 4 小时的频率为 12
13、(0.1000.025)0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75.(3)由(2)知，300 位学生中有 3000.75225(人)的每周平均体育运动时间超过 4 小时，75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时样本数据中有 210 份是关于男生的，90 份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过 4 小时453075每周平均体育运动时间超过 4 小时16560225总计21090300 结合列联表可算得 K2 的观测值k300456030165275225210904.7623.841.所以有
14、95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”方法技巧 1.解答此类题目的关键在于正确利用 K2nadbc2abcdacbd计算k 的值，再用它与临界值 k0的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决2此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握跟踪探究 3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 48 人进行了问卷调查得到了如下的 22 列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生6女生10合计48 已知在全班 48 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的 22 列联表补充完整(不用写计算
15、过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取 2 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 X，求 X 的分布列与均值解析：(1)列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生22628女生101020合计321648(2)由 K2 48220602282032164.286.因为 4.2863.841，所以，能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(3)喜爱打篮球的女生人数 X 的可能取值为 0,1,2.其概率分别为P(X0)C210C220 938，P(X1)C110C110C220 10
16、19，P(X2)C210C220 938，故 X 的分布列为：X012P9381019938X 的均值为 E(X)01019 9191.课后小结(1)列联表与等高条形图列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有相关关系(2)对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量 K2 的值，如果 K2 的值很大，说明假设不合理K2 越大，两个分类变量有关系的可能性越大素养培优因对独立性检验的基本思想不理解而致错已知两个分类变量 X 和 Y
17、的取值分别为x1，x2，y1，y2，若其列联表为y1y2x1515x24010则()AX 与 Y 之间有关系的概率为 0.001BX 与 Y 之间有关系的概率为 0.999C认为 X 与 Y 有关系，犯错误的概率为 0.999D认为 X 与 Y 有关系，犯错误的概率不超过 0.001易错分析：独立性检验的基本思想是指某件事发生在犯错概率不超过某个非常小的数据的前提下，我们有把握认为有关理解有误会致误自我纠正：K2 的观测值为k 5154010510401525154010540151018.822.查表知 P(K210.828)0.001，所以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，我们认为 X 与 Y 有关答案：D04课时 跟踪训练
