1、3.4 函数的应用(一)第三章 函数的概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(重点、难点)1通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养2借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.合作探究释疑难 NO.1类型1 一次函数模型的应用 类型2 二次函数模型的应用 类型3 分段函数模型的应用 类型 1 一次函数模型的应用【例 1】城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，19782013 年，我国城镇常住人口从 1.7 亿增加到 7.3 亿假设每
2、一年城镇常住人口的增加量都相等，记 1978 年后第 t(限定 t50)年的城镇常住人口为 f(t)亿写出 f(t)的解析式，并由此估算出我国 2022 年的城镇常住人口数解 因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以 f(t)是一次函数，设 f(t)ktb，其中 k，b 是常数注意到 2013 年是 1978 年后的第 2 0131 97835 年，因此f01.7，f357.3，即b1.7，35kb7.3，解得 k0.16，b1.7.因此f(t)0.16t1.7，tN 且 t50.又因为 2022 年是 1978 年后的第 2 0221 97844 年，而且 f(44)0.16441.78.
3、74，所以由此可估算出我国 2022 年的城镇常住人口为 8.74 亿一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解跟进训练1如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图象根据图象填空：3.6 6 y1.2t(t3)由图象可知，当 t3 时，电话费都是 3.6 元由图象可知，当 t5 时，y6，需付电话费 6 元易知当 t3 时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得 y1.2t(t3)通话 2 分钟，需要付电话费_元
4、；通话 5 分钟，需要付电话费_元；如果 t3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为_类型 2 二次函数模型的应用【例 2】某农家旅游公司有客房 160 间，每间房单价为 200 元时，每天都客满已知每间房单价每提高 20 元，则客房出租数就会减少 10间若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？解 设每间房单价提高 x 个 20 元时，每天客房的租金总收入为 y元因为此时每间房单价为 20020 x 元，而客房出租数将减少 10 x 间，即为 16010 x 间，因此y(20020 x)(16010 x)200(10 x)(16x)20
5、0(x26x160)200(x3)2169200(x3)233 800.从而可知，当 x3 时，y 的最大值为 33 800.因此每间房单价提到 200203260 元时，每天客房的租金总收入最高二次函数模型的解析式为 g(x)ax2bxc(a0)在函数建模中，它占有重要的地位在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题二次函数求最值常常结合二次函数的图象来解答跟进训练2A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少
6、于 10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数 0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月(1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小解(1)由题意设 A 城的月供电费用为 y1，则 y120 x2.设 B 城的月供电费用为 y2，则 y210(100 x)2，A、B 两城月供电总费用 y20 x210(100 x)2.0.25，y5x252(100 x)2(10 x90)(2)由 y5x252(100 x)2152 x2500 x25 0
7、00152 x1003250 0003，则当 x1003 时，y 最小故当核电站建在距 A 城1003 km 时，才能使供电总费用最小类型 3 分段函数模型的应用【例 3】(对接教材 P93 例题)为了鼓励大家节约用水，自 2013 年以后，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示分档户年用水量/m3综合用水单价/(元m3)第一阶梯0220(含)3.45第二阶梯220300(含)4.83第三阶梯300 以上5.83记户年用水量为 x m3 时应缴纳的水费为 f(x)元(1)写出 f(x)的解析式；(2)假设居住在该市的张明一家某一年共用水 260 m3，则张明
8、一家该年应缴纳水费多少元？由每一阶梯综合用水单价不同，思考用哪类函数刻画户年用水量 x与应缴纳的水费 f(x)的关系解(1)不难看出，f(x)是一个分段函数，而且：当 0 x220 时，有 f(x)3.45x；当 220300 时，有f(x)2203.45(300220)4.83(x300)5.835.83x603.6.因此 f(x)3.45x，0 x220，4.83x303.6，220300.(2)因为 220260300，所以f(260)4.83260303.6952.2，因此张明一家该年应缴纳水费 952.2 元分段函数模型的应用(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计
9、费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型(2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值跟进训练3已知 A、B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A地(1)把汽车离开 A 地的距离 x(千米)表示为时间 t(小时)的函数；(2)求汽车行驶 5 小时与 A 地的距离解(1)汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到 B 地需 2.5 小时，这时x60t；当 2.5t3.5 时，
10、x150；汽车以 50 千米/时的速度返回 A 地需 3 小时，这时 x15050(t3.5)50t325.则所求函数的解析式为 x60t，0t2.5，150，2.5t3.5，50t325，3.5t6.5.(2)当 t5 时，x50532575，即汽车行驶 5 小时离 A 地 75 千米.当堂达标夯基础 NO.21 2 3 4 5 C 由 s 与 t 的图象，可知 t 分 4 段，则函数模型为分段函数模型1一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A一次函数模型 B二次函数模型C分段函数模型D无法确定1 2 3 4 5 C 设 ykxb
11、，则 1 000800kb，且 2 000700kb，解得 k10，b9 000，则 y10 x9 000.当 y400 时，即 40010 x9 000，得 x860(元)2一定范围内，某种产品的购买量 y 与单价 x 之间满足一次函数关系如果购买 1 000 吨，则每吨 800 元，购买 2 000 吨，则每吨 700元，那么一客户购买 400 吨，其价格为每吨()A820 元B840 元C860 元D880 元1 2 3 4 5 C 设两个店分别销售出 x 与 110 x 辆电动车，则两店月利润 L5x2900 x16 000300(110 x)2 0005x2600 x15 0005(
12、x60)233 000，所以当 x60 时，两店的月利润取得最大值，为33 000 元3某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为 y15x2900 x16 000，y2300 x2 000，其中 x 为销售量若某月两店共销售了 110 辆电动车，则最大利润为()A11 000 元B22 000 元C33 000 元D40 000 元1 2 3 4 5 4某人从 A 地出发，开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到达B 地，在 B 地停留 2 小时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位：千米)是时间 t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是_答案 y80t，0t2，160，2t4
13、5 1 2 3 4 60 设涨价 x 元，销售的利润为 y 元，则 y(50 x45)(502x)2x240 x2502(x10)2450，所以当 x10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值5某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元，其销售量就减少 2 个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元回顾本节知识，自我完成以下问题：1你能总结一下数学建模的流程吗？提示 数学建模的过程图示如下：2应用函数解决实际问题时，应注意什么？提示 所建函数模型应符合实际问题，同时要注意函数的定义域等等，即主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
