1、5.2 三角函数 的概念 5.2.1 三角函数的概念（一）古希腊的天文学家喜帕恰斯对天文的测量 三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一.起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说.1631年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”.“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象
2、的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用.在直角三角形ABC中，C=90，sin，cos，tan分别叫做角的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？A B C 当角不是锐角时，我们必须对sin，cos，tan的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢?1.掌握三角函数的定义；（重点）2.已知角终边上一点，会求角 的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域.（重点、难点）1.理解并掌握三角函数的定义（数学抽象）；2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题（逻辑推理、数学运算）.体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂思
3、考1 我们把锐角放到直角坐标系中，并使角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sin，cos，tan的值分别如何表示？微课1 三角函数的定义、定义域 x y OP(a，b)r A B 提示：思考2 对于确定的角，上述三个比值是否随点P在角的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？提示：由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着点P在角的终边上的位置的改变而改变.PMsinMPOP cosOMOP tanMPOM OMP OM PM POP OMOPM POM MOP思考3 为了使sin，cos的表示式更简单，你认为点P的位置选在
4、何处最好？此时，sin，cos分别等于什么？xyoP(a，b)1提示:OP=1处设是一个任意角，它的终边与单位圆（以原点为圆心，以单位长为半径的圆）交于点P（x，y），为了不与当为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sin，cos，tan对应的值应分别如何定义？的终边P(x，y)Oxy提示:正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数 三角函数思考4.对于一个任意给定的角，按照上述定义，对应的sin，cos，tan的值是否存在？是否唯一？角的终边在y轴上时,tan的值无意义,除此之外,其他的角的三角函数值都是唯一确定的.的终边P(x，y
5、)Oxy提示:正弦、余弦、正切函数的定义域函 数定 义 域ysinycosytanRR|k,k2 Z【即时训练】若角600的终边上有一点(-4,a),则a的值是().4 3.4 3.4 3.3A BC DB otan6003a4 3.【解析】微课2 三角函数的符号 思考1 根据任意角三角函数的定义，sin，cos，tan的值的符号取决于什么？提示 由任意角三角函数的定义知sin，cos，tan的值的符号取决于单位圆与角的终边交点的坐标的符号-+sin cos tanx yyxx(0)-+sincostanyOxOxyOxy方法规律：一全二正弦；三切四余弦 三角函数的符号 O【即时训练】下列各式
6、为正号的是（）A.cos2 B.cos2sin2C.tan2cos2 D.sin2tan2【解析】选C.A中cos20;B中cos20所以cos2sin20;C中tan20,cos20;D中sin20,tan20所以sin2tan20 时，ra2a22a，得 sin a2a22，cos a2a22，tan aa1；当 a0 时，r=-2a，sin=-22，cos=-22,tan 1,符号定义域三角函数的概念定义 三角函数的 概念（一）弧度制给出的角应转化成角度制，再判断其三角函数值的符号 利用三角函数定义求三角函数值题型：（1）已知角终边上的点求三角函数值；（2）已知角终边的位置求三角函数值；
7、（3）已知三角函数值求参数 三角函数的定义 三角函数值的符号 坐标法 单位圆法 诱导公式（一）数学运算：通过诱导公式（一）的应用，培养数学运算的核心素养 数学抽象：通过三角函数定义的引入，培养数学抽象的核心素养 1.角 的终边经过点P(0,b),则()A.sin =0 B.sin =1 C.sin =-1 D.sin =1 D【解析】角 的终边经过点P(0,b),P在y轴上，所以sin =1。2.已知角 的终边过点 P(5，a)，且 tan 125，求 sin cos 的值【解析】角 的终边过点 P(5，a)且 tan 125，a5125，a12.因此 r|OP|52a213，sin 1213，cos 513，故 sin cos 1213 513 713.重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西.列夫托尔斯泰
