1、22函数的表示法(二) 23映射内容标准学科素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像2.了解映射的概念，会判断给出的对应是否是映射3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题.提升数学运算准确分类讨论加强逻辑推理授课提示：对应学生用书第23页基础认识知识点一分段函数在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系比如：国内邮寄信函，每封信函的重量和对应邮资如下表：信函重量m/g0m2020m4040m6060m8080m100邮资M/元0.801.602.403.204.00(1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？提示：据函数定义知M是m的
2、函数，其解析式为：M(2)在(1)中有几个函数？为什么？提示：一个因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已知识梳理分段函数如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数知识点二映射在某次数学测试中，高一(1)班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A，他们的成绩构成集合B.(1)A中的每一个元素，在B中有且只有一个元素与之对应吗？提示：是的(2)从集合A到集合B的对应是函数吗？为什么？提示：不是因为集合A不是数集知识梳理1.映射设A、B是两个非空的集合，
3、如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射2映射与函数的关系：映射是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集合A，B可以是数集、点集或其他集合，当A，B是数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射思考：1.“分段函数就是几个函数”，这句话正确吗？提示：不正确分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过是在不同的定义域的子区间上其解析式不同而已2已知集合Ax|x是中国人，集合Bx|x是每个中国人的身份证号码，对应关系f：每个中国人对应其自己的身份证号码，那么对应f：AB是函数吗？是映射
4、吗？提示：不是函数，而是映射原因是集合A与B是非空的集合，但不是非空的数集自我检测1已知集合Aa，b，B0,1，则下列对应不是从A到B的映射是()解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应答案：C2下列图形是函数y|x|(x2,2)的图像的是()解析：y|x|其图像是x轴下方的两条线段，包括x2时的两个端点答案：B3已知函数f(x)则f(f(2)_.解析：f(2)0，f(f(2)f(0).答案：授课提示：对应学生用书第23页探究一分段函数求值例1已知函数f(x)(1)求f的值；(2)若f(x)2，求x的值思
5、路点拨(1)由内到外，先求f，再求f，最后求f；(2)分别令x22，x22，x2，分段验证求x.解析(1)f2，ff2，ff.(2)当f(x)x22时，x0，不符合x0；当f(x)x22时，x，其中x符合0x2；当f(x)x2时，x4，符合x2.综上，x的值是或4.延伸探究在题设条件不变的情况下，若f(x)3，求x的取值范围解析：当x0时，f(x)x23，得x1，显然无解当0x2时，f(x)x23.解得x或x，x2.当x2时，f(x)x3，得x6.综上，x的取值范围是(，2)(6，)方法技巧1.求分段函数函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止
6、当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入到不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内跟踪探究1.已知函数f(x)求f(5)，f()，f的值解析：由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32，f1，而22，ff223.探究二分段函数的图像例2如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动设点P运动的路程为x，APB的面积为y.试求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出yf(x)的图像思路点拨当点P
7、在线段BC上时APB的面积随点P的变化而变化；当点P在线段CD上时，APB的面积是一个定值；当点P在线段AD上时，APB的面积随点P的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算解析(1)当点P在线段BC上运动时，SAPB4x2x(0x4)；当点P在线段CD上运动时，SAPB448(4x8)；当点P在线段AD上运动时，SAPB4(12x)242x(8x12)y与x之间的函数关系式为y(2)画出yf(x)的图像，如图所示：方法技巧1.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚
8、之分2对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图像跟踪探究2.画出下列函数的图像，并写出它们的值域：(1)y(2)y|x1|x3|.解析：(1)函数y的图像如图，观察图像，得函数的值域为(1，)(2)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y它的图像如图.观察图像，得函数的值域为4，)探究三映射例3已知Aa，b，c，B1,2则从A到B可以建立多少个不同的映射？解析从A到B可以建立8个映射，如下图所示延伸探究1.(改变问法)本例条件不变，则从B到A的映射有多少个？解析：从B到A可以建立9个映射，如图所示2(增加条件)本例若增加条件：f(a)
9、f(b)f(c)0.则从A到B的映射有多少个？解析：欲使f(a)f(b)f(c)0，需a，b，c中有两个元素对应1，一个元素对应2，共可建立3个映射3(变换条件)本例条件变为设Aa，b，c，B1,0,1，若从A到B的映射f满足：f(a)f(b)f(c)，求这样的映射f的个数解析：要确定映射f，只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值，由题可知f(a)，f(b)，f(c)1,0,1，且满足f(a)f(b)f(c)，列表f(a)f(b)f(c)000101011101011110110由上表可知，所求的映射有7个方法技巧判断是否为映射的几大要点：(1)集合A，B的
10、元素是任意的，没有任何限制；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而且这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射是特殊的对应，即“多对一”或“一对一”的对应，而对应不一定是映射，其中“一对多”的对应不是映射跟踪探究3.下列对应关系中，哪些是从集合A到集合B的映射？(1)ABN，对应关系f：xy|x3|；(2)AR，B0,1，对应关系f：xy；(3)设A矩形，B实数，对应关系f：矩形
11、的面积解析：(1)集合A中的3，在f作用下得0，但0B，即3在集合B中没有相对应的元素，所以不是映射(2)对于集合A中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f是从集合A到集合B的映射.授课提示：对应学生用书第25页课后小结1对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数；分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况2函数与映射的关系映射f：AB，其中A，B是两个非空集合；而函数yf(x)，xA，A为非空实数集，其值域也是数集，于是函数是数集到数集的映射由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射素养培优分段函数容易在分类讨论中出错易错案例：某质点30 s内运动速度v是时间t的函数，它的图像如图用解析式法表示出这个函数，并求出9 s时质点的速度易错分析：解决这类问题的关键是根据自变量的取值情况决定其对应的运算关系，即保持自变量的取值范围与对应关系的一致性，一般需分类讨论求解、考查逻辑推理、分类讨论的学科素养自我纠正：整体看表达式不能用一个式子写出，但可以分段求得v(t)当t9时，v(9)3927 cm/s.
