1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.4基本不等式（第1课时）学习目标1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.要点精讲1基本不等式： ()，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立注：上述不等式对a0,b时仍成立。2基本不等式的几何解释：半径不小于半弦a0,b03基本不等式的变形公式：（1）（）；（2）；（3）；（4）；（5）。4基本不等式的推广：n个(n1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数即若a
2、i0(i=1,2,n), 则(n1,nN)；范例分析例1（1）如图,已知在正方形ABCD中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a、b,则正方形ABCD的面积为S1=_,4个直角三角形面积的和为S2=_,则S1_S2(填“”“”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a、b的式子表示),并且当a_b时,直角三角形变为_时,S1=S2.（2）已知，求证： ，你能解释（）的几何意义吗？例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a0,求证 a+；(2) 已知a3,求证 a+；例3. (1). 已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (
3、(2). 已知，求证：。例4（1）已知为任意实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca；（2）已知a+b+c=1, 求证a2+b2+c2。已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: 注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立规律总结1均值不等式（不等式链）：若，则。其中，分别称为正数的调和平均数（H）、几何平均数（G）、算术平均数（A）、平方平均数（P），即有。基本功能有：（1），将平方和与两数和互化；（2），将和与积互化；（3），将和与倒数和互化；（4）重要变形：，其中为正数。2学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成
4、六项，分成三组对每一组用基本不等式3均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；用均值不等式证明时，为达到目标可先宏观，后微观；均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。基础训练一、选择题1下面推导“”中所犯的错误是（ ）没有考虑等号成立的条件 没有考虑的值应当非负的限制 没有考虑而不能开方的情况 没有考虑是可以开方的条件2若a1,b1则a+b,2ab,2,中最大的一个是（）A a+b, B 2ab, C 2, D 3设则以下不等式中不恒成立的是（ ）ABCD4如果正数满足，那么（），且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值不唯一，且等号成立时的取值
5、不唯一5已知x,yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是（ ） A、MNB、MNC、M=ND、不能确定二、填空题6 比较大小： 1；7已知，且，将下列五个数按从大到小顺序排列是 。8有一组数据：，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的，余下数据的算术平均值为11。则关于n的表达式为_；关于n的表达式为_。三、解答题9证明：（1）若，则。（2）已知，求证：。10（1）已知，求证：；（2）已知a , b , cR+, 且a+b+c=1, 求证: 。能力提高11若a、b是正数，则、这四个数的大小顺序是（ ）A. B.C. D.12
6、已知，求证：。3.4基本不等式（第1课时）参考答案范例分析例1解：（1），由知，当且仅当时等号成立；（2）见要点精讲。例2.（1）因为，所以，当且仅当时等号成立；（2）因为，所以；当且仅当，即时等号成立；例3.（1）因为是互不相等的正数，且x+y+z=1，所以 三式相乘得。（2）证明：因为，所以，。例4证明：（1）因为，得证。或，三式相加得证。（2）方法1：，所以a2+b2+c2，当且仅当时等号成立；方法2：因为，所以，当且仅当时等号成立；基础训练15 BDBAA；5提示：；6； 7；8。9证明：（1），相加得证。（2）证明：，相加得证。10（1）因为，所以，同理，相加得证。（2）提示：。能力
7、提高11C；提示：方法1，特殊赋值，令a=1，b=2，则=，=，=，=. 选C。方法2，严格证明，由恒等式得；由，得，两边同乘得。选C。12证明1：因为，所以，同理，相加得证；证明2：，下同证法1。3.4基本不等式（第2课时）学习目标1 进一步理解基本不等式；2能用基本不等式求最值。要点精讲最值定理：若都是正数，且，则 如果P是定值, 那么当x=y时，S的值有最小值； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值有最大值. 注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；均值不等式具有放缩功能，如果有多
8、处用到，请注意每处取等的条件是否一致。范例分析例1求下列函数的最值，并说明当取何值时函数取到最值（1） ； （2）； （3）， （4）。 例2求函数；的最小值。变式：若不等式恒成立，则正数的取值范围是 。例3（1）已知正数a、b满足，求的最大值。（2）设、， 求证：例4（1）若实数，且有，求出的最小值。（2）已知，且，求的最小值。变式：（1）已知，且，求证：。（2）已知：, 求证：。规律总结1在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误. 有时要能“凑”均值不等式的模式。2对于函数定义域内不含实数
9、的类型的最值问题，要会用函数的单调性求解基础训练一、选择题1若a1,则a+的最小值是（）A B a C D 32已知，且a + b = 3，则的最小值是( ).A. 6 B. C. D.当x0,y0,且则xy有（）A最大值64 B最小值 C最小值 D最小值644已知正实数满足，则的最大值为（ ）A、 B、 C、 D、5若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（ ）（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2二、填空题6若x0 , y0, 且5x+7y=20 , 则xy的最大值为 ;7设且则的最小值是 .6已知且x+y=4，求的最小值。某学生给出如下解
10、法：由x+y=4得，即，又因为，由得，即所求最小值为。请指出这位同学错误的原因 _。三、解答题9（1）如果正数满足，求的取值范围。（2）已知均为正数，且有，求 的最小值。10（1）若有, 求函数的最小值。（2）时，求函数的最小值能力提高11设，则三个数（ ）A、都大于2 B、都小于2 C、至少有一个大于2 D、至少有一个不小于212若、，求证：。3.4基本不等式（第二课时）参考答案范例分析例1（1）因为，所以，当且仅当，即时，；（2）因为，所以，当且仅当，即时，；（3）因为，所以，当且仅当，即时，；（4）因为，所以，当且仅当，即时，；例2解：令，则；当，即时，；令，则在上单调递增，当，即时，。
11、变式：令，则；例3（1）因为，所以解1： 当且仅当即时取等号，故的最大值为。解2： ；解3： 。（2）因为、，所以方法1：左 右；方法2：左右；例4解：（1）因为，所以，解得，当且仅当时，有最小值；（2）因为，且，所以方法1：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为。方法2：，当且仅当时，等号成立。方法3：，得，由，得，当且仅当时，等号成立。变式：（1）因为，所以由已知，即，得，又，得，解得。（2）因为，令，则。基础训练15 DBDCD；5提示：若且 所以， ，则()，选D. 6；7 ；提示：，所以的最小值是。8两个不等式中，等号不能同时取到9解：（1）方法1：，得；方法2：由已知，当且仅当取
12、等号。（2），当且仅当取等号。10解：（1）令，则，当且仅当取等号。（2）因为，当且仅当取等号。能力提高11D提示：。12证明：因为、，所以，又，所以，所以，即。也可以由函数性质加以说明。3.4基本不等式（第3课时）学习目标1 会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。3开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值要点精讲1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性
13、；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y2中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.范例分析例1甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米时
14、）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？例2某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年保险、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元。问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值。例3某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是： （1）建1m新墙的费用为a元；（2）修1m旧墙的费用为元；（3）拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m的新墙的费用为元，经讨论有两
15、种方案： 利用旧墙一段为矩形一边；矩形厂房利用旧墙的一面边长，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较、两种方案哪个更好 图3-1例4如图3-1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为米，高度为米，已知流出的水中该杂质的质量分数与、的乘积成反比现有制箱材料60平方米，问当，各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计）规律总结1应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，列出有关的不等式或函数式，再利用不等式知识求解不等式应用大致分为两类：一类是建立不等式求解或求参数取值范围问题；另一类是建立函
16、数关系，利用基本不等式求最值问题2对于分母是一次式，分子是二次式的分式，可令转化为形式后利用基本不等式求最值基础训练一、选择题1.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ） A、甲 B、乙 C、一样低 D、不确定2.为适应社会发展的需要，国家决定降低某种存款的利息，现有四种降息方案.方案:先降息p%，后降息q%（其中p，q0，pq下同）；方案:先降息q%，后降息p%；方案:先降息%，再降息%；方案:一次降息（p+q）%.在上述四种方案中，降
17、息最少的是（ ）（A）方案 （B）方案 （C）方案 （D）方案3某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车的维修费逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元，问这种汽车使用几年后报废最合算?(即汽车的平均费用为最低)()A.8年B.9年 C.10年D.11年4在与水平地面垂直的墙壁上挂有一幅矩形画，画的上下边缘在观察者水平视线上方 和处，要使观察者的视角最大，观察者与墙的距离为（ ） 5已知四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最小值为（ ）A、21 B、25 C、26 D、36二、填空题6某同学去实验室领200 g氯化钠实验室暂时只有
18、一台受损天平（两臂不等长）实验员先将100 g的砝码放入天平左盘，称出一份氯化钠，然后将100 g砝码放入天平右盘，再称出一份氯化钠这样称出的两份氯化钠质量之和_200 g在下列符号中，选择最恰当的填入：、7某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨8如果一个正方形的四个顶点都在三个形的三边上，称该正方形是该三角形的内接正方形，在锐角中，若该三角形的面积为，则当正方形的边长为 时，正方形的面积最大。三、解答题9一批救灾物资随26辆汽车从某市以V公里小时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400公里，为了安全起
19、见，两辆汽车的间距不得小于(V / 20)2公里，那么这批物资全部到达灾区，最少需要多少小时？10 某自来水厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级净水处理池（如图所示），池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一道隔墙建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元，池壁厚度忽略不计. （）设净水池的长边AB为x米，总造价为y元.写出y关于x的函数表达式.并求出当x等于多少时, 可使总造价最低?A BC D（）如果受地形限制，净水池的长和宽都不能超过14.5米，那么此时净水池的长边AB为多少米时，可使总造价最低?能力提高11若直角三角形周长为定值，则三角形面积的最
20、大值为 。12某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益为50万元（1）问从第几年起开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：一是，年平均获利最大时，以26万元出售该船；二是，总纯收入获利最大时，以8万元出售该船问：哪种方案合算？（注：取）3.4基本不等式（第3课时）参考答案范例分析例1解：（1）；（2），当时，取（千米时），；当时，取（千米时），。例2解：设使用年的总费用元，则年平均费用，当年时，年平均费用的最小值为元。例3（1）方案：修旧墙费用，拆旧墙造新墙费用为， 其余新墙费用： 总费用 ，当且仅 （2）方案，利用旧墙费用为（元）
21、 建新墙费用为（元） 总费用为： 当x14时， 函数上为增函数，当x = 14，ymin = 35 5a 采用方案更好些 例4解 设流出的水中杂质的质量分数为，由题意子 ，其中为比例系数，又根据题意可得（，），由，可得， 令，则，当且仅当，即，时取“=”，由可得，故当米，米时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小基础训练15 BCCAB ；3提示：设使用年的总费用为，则年平均费用，当且仅当时，等号成立。4提示：设观察者所在位置O与墙的距离为，画的上下边缘对应点A、B，则，当且仅当时，有最大值。5提示：设，则。6；720；提示：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4
22、万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。8；提示：设正方形有一边在边上，边长为，边上的高为，则，正方形的边长为。9解：设两辆汽车的间距公里，从第一辆汽车出发到最后一辆汽车到达，所需时间，当且仅当公里/小时，取等号，故这批物资全部到达灾区，最少需要10小时。10解：（1），则当米时，可使总造价最低；（2）若限制，在上为减函数，则当米时，可使总造价最低；能力提高11设直角边长为，则，即，当且仅当时，。12解：（1）设纯收入与年数的函数关系为，则，解不等式，得，故。故从第3年开始获利。（2）方案一，年平均收入，当时
23、取等号，此时，总收益为（万元）；方案二，当时，的最大值为万元，总收益为（万元）；比较两种方案，总收益均为（万元）但方案一只需7年时间，故方案一合算。3.4基本不等式（第4课时）学习目标1拓展基本不等式的内涵，了解均值不等式不等式链；2能综合应用均值不等式解决一些较复杂的问题。要点精讲1均值不等式（不等式链）：若，则。其中，分别称为正数的调和平均数（H）、几何平均数（G）、算术平均数（A）、平方平均数（P），即有。基本功能有：（1），将平方和与两数和互化；（2），将和与积互化；（3），将和与倒数和互化；（4）重要变形：，其中为正数。2含有参变量的恒成立问题，常用分离参量的方法，转化为最值问题得以
24、解决。范例分析例1（1）已知为正数，则的最小值为 ；（2）已知为正数，且，则的最小值为 ；（3）已知为正数，且，则的最小值为 ；例2（1）已知x2+y2=4,则的最小值为（ ）A.2B. C.22D.2+2（2）若实数m，n，x，y满足，（ab）则的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）（3）若为正数，则的最小值是（ ）A、3 B、 C、4 D、例3（1）设，且恒成立，则的最大值是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5（2）若都是正实数，且不等式恒成立，则的最小值是（ ） 2 1（3）若对任意的，恒成立，则实数的最大值为 ，实数的最小值为 。例4、记。（1）是否存在，使？请说明理由；（2）
25、若对任意的，恒有，请求出的取值范围。请思考：若改，（2）的结论如何？规律总结1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.3.化归思想在解决不等式问题中占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.4引进待定系数巧用基本不等式，体现了一定的数学智慧。基础训练一、选择题1已知，全集为，集合，则满足（ ）A、
26、 B、 C、 D、2若，则（ ）A、 B、 C、 D、3已知不等式(x+y)( + )9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.84.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是（ ）A.xyB.yxC.xyD.不能确定5设且则之间的大小关系是（ ）A B C D 二、填空题6函数的值域为 。7的三边成等比数列，则的取值范围是 。8三个同学对问题“关于的不等式25|5|在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不
27、等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 三、解答题9已知函数，且成等差数列。（1）求实数的值；（2）若是两两不等的正数，且成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论。10（1）证明：一次函数，若，则对任意的，都有；（2）试证明：若，则。能力提高11已知，且，则的最小值为（ ）A、1 B、2 C、3 D、412已知，求的最小值。3.4基本不等式（第4课时）参考答案范例分析例1解：（1）当时，最小值为4；（2）当时，最小值为1；（3），由，得，当时，最小值为8；例2解：（1）方法1：令，则，再令，则，当且仅当取等号。选C。方法2
28、：。（2）方法1，当且仅当时，的最大值是；选B。方法2，令，则；选B。评注：若由，则错选A，为什么？方法3，设，则。选B。（3），当且仅当时等号成立。例3解：（1）令，则恒成立，因为，故的最大值为。（2）原问题转化为m恒成立.从而m的最小值就是的最大值.x0，y0，=.=.m的最小值为.（3）因为，所以实数的最小值为；又，所以实数的最大值为1。评注：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.例4解：（1），因为，所以。当时，存在满足条件；当或时，这样的不存在。（2）由知，对任意的成立，只需不大于的最小值。方法1，因为，从而，故。方法2，根据分子、分母为齐次式的特点，令
29、，则，当且仅当时取等号，故。评注：（2）中方法1，由于系数的特殊性，很巧妙地利用基本不等式进行了放缩，但对于更一般的系数，如根号下的系数2改为3，怎么办？引入待定系数，再用基本不等式：，则，只需，即，就有，从而。基础训练15 AABBC；3提示：不等式(x+y)()9对任意正实数x，y恒成立，则 9， 2或4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B4提示：x2=（+）2=（a+b+2），y2=a+b=（a+b+a+b）（a+b+2）=x2，又x0，y0.yx.5提示：令，则在上为增函数； 在上为减函数；从而，当且仅当时等号成立。6令，则，由得，当时，最大值为；当时，最小值为。或，所以。7；提示：，。8；提示：由25|5|，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故。9解：（1）由已知，得；（2）因为是两两不等的正数，且， 所以，即，两边取以2为底的对数，得。10（1）若，则；若，则；综上，对任意的，都有；（2）令，因为，所以，由（1）知，即。能力提高11B；提示：。12解：因为，所以，。当且仅当，即时取等号.全 品中考网- 26 - 版权所有高考资源网
