1、专题18 直角三角形(吴梅录入)阅读与思考从代数角度，考察方程的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：其中，是自然数，一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当时，方程无正整数解.1994年，美国普林斯顿大学教授维尔斯证明了费尔马猜想.直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；
2、运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例l】（1）直角ABC三边的长分别是，和5，则ABC的周长_.ABC的面积_.（2）如图，已知RtABC的两直角边AC5，BC12，D是BC上一点，当AD是A的平分线时，则CD_.（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在RtACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则ACB（ ）A.120 B.135 C.150 D.165 （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例
3、3】如图，P为ABC边BC上的一点，且PC2PB，已知ABC45，APC60，求ACB的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出ACB的度数，综合运用条件PC2PB及APC60，构造出含30的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在ABC中，C90，A30，分别以AB，AC为边在ABC的外侧作等边ABE和等边ACD，DE与AB交于F，求证：EFFD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为RtFAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】在证明含有线段平方之间的和（差）关系时，常常要联想到勾股定理，若图中缺少直角条件，则可通过
4、作辅助线，构造直角三角形.如图，在四边形ABCD中，ABC30，ADC60，ADCD，求证：（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】在运用勾股定理时，常常对进行变形，运用乘法公式、整数与方程知识综合求解.斯特瓦尔特定理：如图，设D为ABC的边BC上任意一点，a，b，c为ABC三边长，则.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A级1.在很多情况下，需要由线段的数量关系去判断线段的垂直位置关系，这就要熟悉一些常用的勾股数组.如图，D为ABC的边BC上一点，已知AB1
5、3，AD12，AC15，BD5，则BC_.2.如图，在RtABC中C90，BE平分ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE1cm，则AC_cm.3.如图，四边形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B90，则DAB_.（上海市竞赛试题）4.如图，在ABC中，AB5，AC13，边BC上的中线AD6，则BC的长为_.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 ，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D.不能确定 （山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得ABC，则AC边上
6、的高为（ ）A. B. C. D. （福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米8.如图，在四边形ABCD中，BD90，A60，AB4，AD5，那么等于（ ）A.1 B. 2 C. D. 9. 如图，ABC中，ABBCCA，AECD，AD，BE相交于P，BQAD于Q，求证：BP2PQ.（北京市竞赛试题）10. 如图，ABC中，ABAC.（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；
7、若不成立，请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得ACO为等腰三角形，求点C的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD8，AB4，求BED的面积.（山西省中考试题）B级1.若ABC的三边a,b,c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_.2.如图，在等腰RtABC中，A90，P是ABC内的一点，PA1，PB3，PC，则CPA_.3. 在ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为_.4.
8、如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）A. CFGB B. CFGB C. CFGB D. 无法确定5. 在ABC中，B是钝角，AB6，CB8，则AD的范围是（ ）A. 8AC10 B. 8AC14 C. 2AC14 D. 10AC14（江苏省竞赛试题）6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个（浙江省竞赛试题）7.如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE
9、DF，若BE12，CF5，求DEF的面积.（四川省联赛试题）8.如图，在RtABC中，A90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：（江苏省竞赛试题）9.探索性试题是指问题中的题设条件或结论不完整，从而有深入探讨的余地，存在型命题的探索，是给定条件后，判断所研究的对象是否存在.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在ABC中，BAC45，ADBC于D，BD3，CD2，求ABC面积.（天津市竞赛试题）11.如图，在ABC中，BAC90，ABAC，E，F分别是BC上两点，若EAF45，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明
10、理由.12.已知在RtABC中，ACB90，ACBC，MCN45.（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：（2）如图2，将MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （天津市中考试题）专题18 直角三角形例1 （1）12或30；6或30； 提示：，得；由，得，（2） 提示：作DEAB于E，设CD=x，则BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由，得例2 B 提示：过B作BDAC延长线于D点，设CD=x，BD=y，可求得：x=y，则BCD=45，故BCA=135例3 ACB=75 提示：过C作CQAP于Q，连接BQ，则AQ=BQ=CQ
11、例4 提示：过E作EGAB于G，先证明RtEAGRtABC，再证明EFGDFA例5 连接ACAD=DC，ADC=60，ADC是等边三角形，DC=CA=AD，以BC为边向四边形外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，则BCE=EBC=CEB=60，ABE=ABC+EBC=90，连接AE，则，易证BDCEAC，得BD=AE，故例6 过A作AEBC于E，设DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则，故，消去x得，即A级114 23 31354 提示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则ACDEBD，BE=AC=13，AE=12，又AB=5，则BAD=90，5D 6C 7C 8B 9提示：ADC
12、BEA，BPQ=6010（1）（2）略 （3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是11提示：满足提议的点有4个，作别分别为：； 1210B级1 2135 提示：将PAC绕A点顺时针旋转90， 332或42 提示：分类讨论。4B 5D 6C 提示：设直角三角形两直角边长为a，b（ab），则（a，b，k均为正整数），化简得：(ka-4)(ka-b)=8，或，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）7 提示：连接AD，由ADECDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，8提示：延长ED至G，使DG=ED，连接CG，FG，则BE=CG，EF=FG9解：设此
13、直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a，b，面积为S，则：由得：2c3 由得：，把代入上式得：3c=9-S，即63c9，而S为整数，从而3c=7或8，若3c=7，则S=2，代入、得：，ab=4，次方程1一副三角板，按图11-2-1所示方式叠在一起，则图中的度数是（） A75B60 C65 D552如图11-2-2所示，在ABC中，ABC=C=BDC，A=ABD，则A的度数为（）A36B72C108D144图1121 图11223我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为（）A40B100C40或100D70或50 4（1）在ABC中，若ABC=
14、2 3 4，则A=，B=，C=（2）在ABC中，若，则C=（3）若三角形的三个外角的比是234，则这个三角形按角分是三角形5已知：如图11-2-3所示，CEAB于点E，ADBC于点D，A=30，则C的度数为6已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60，在B处测得灯塔C位于北偏东25，则ACB=图1123图11247如图11-2-5所示，已知EGF=E+F，求A+B+C+D的度数图11258（1）已知，如图11-2-6所示，AD是高，AE是BAC的平分线，是说明：图1126（2）如图11-2-7所示，在ABC中，已知三条角平分线AD、BE、CF相交于点I，I
15、HBC，垂足为H，BID与HIC是否相等？并说明理由图1127能力提升9在三角形中，最大角的取值范围是（）ABCD10直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（）A45B135C45或135D都不对11如图11-2-8所示，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（）ABCD图112812已知ABC的三个内角为A、B、C，且，则中，锐角的个数最多为（）A0 B1 C2 D313在ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，A越来越小，B、C越来越大，若A减少，B增加，C增加，则三者之间的关系是14在ABC中，高BD、C
16、E所在的直线相交于点H，且点H与点B、C不重合，A=50，则BHC=15已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20角，则这个三角形的顶角是16如图11-2-9所示，在ABC中，A1B平分ABC，A1C平分ACD，A2B平分A1BD，A2C平分A1CD，A3B平分A2BD，A3C平分A2CD，若A=64，则A3=；依此类推，若A=，An=图112917（1）如图11-2-10所示，在ABC中，ABC的n等分线与ACB的n等分线分别交于G1，G2，G3，Gn-1，试猜想：BGn-1C与A的数量关系（其中n是不小于2的整数）首先得到：当n=2时，如图（a）所示，BG1C=，当n=3时，如图（b）所示，B
17、G2C=，如图（c）所示，猜想BGn-1C=（a）（b）（c）（d）图11210（2）如图（d）所示，在四边形ABCD中，BP、CP仍然是ABC，BCD的角平分线，则P与A、D之间的数量关系为18如图11-2-11所示，在ABC中，ADBC，AE平分BAC，AGAE，CG是ABC的外角ACF的平分线，若G-DAE=60，则ACB=图1121119阅读材料：如图11-2-12所示，AD与CB相交于O点，在AOB和COD中，A+B+AOB=180，C+D+COD=180，AOB=COD，所以A+B=C+D图形类似数字“8”，所以我们称之为“8”字形根据上述材料解决下列问题：如图11-2-13所示，
18、BE平分ABC，DE平分ADC，A=48，C=46，BE与AD相交于点G，BC与DE相交于点H（1）仔细观察图11-2-13中有个“8”字形（2）求BED的度数（3）试探究A，E，C之间的关系（直接写出结论）图11212图1121320如图11-2-14所示，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，（1）若ABM，BAN的平分线交于点C问：点B、A在OM、ON上运动过程中，C的度数是否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由（2）如图11-2-15所示，若ABO、BAN的平分线所在的直线相交于点C，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说
19、明理由图11214图1121521如图11-2-16所示，在ADE和ABC中，EAD=AED=BAC=BCA=45，BAD=BCF（1）求ECF+DAC+ECA的度数；（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明图1121622如图11-2-17（a）所示，在平面直角坐标系中，DEQ的一个顶点在x轴的负半轴上，边DQ交x轴于点C，且CE平分DEQ，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使ADE=BDC，已知，其中m，n满足（1）求点C、E的坐标（2）若ABC=30，求Q的度数（3）如图11-2-17（b）所示，在平面直角坐标系中，若直线AB绕点D旋转，过D作DHAB，交x轴于点G，交
20、y轴于点H，直线AB绕点D转动时，下列结论：Q的大小不变；的值不变选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论（a）（b）图11-2-17中考链接23（2011四川绵阳）将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中AOB的度数为A75 B95C105 D12024一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果ADF=100，那么BMD为度.图11218图11219巅峰突破25如图11-2-20所示，在RtABC中，C=90，DAF=，则射线AF与BG（）A平行B延长后相交C反向延长后相交D可能平行也可能相交
21、26如图11-2-21所示，DC平分ADB，EC平分AEB，若，则C=（用表示）图11220图11221（2）如下图所示，过点G作GMBC于M，连接HF. ADBC，AHF=MFH. EHFG，EHF=GFH.AHE=MFG.又A=GMF=90，EH=GF，AHEMFG.GM=AE=2.BC=12，BF=a，FC=12a.(3)GFC的面积不能等于2.点H在AD上，菱形边上EH的最大值为.BF的最大值为.又因为的值随着a的增大而减小，所以的最小值为.又，GFC的面积不能等于2.第三节 梯形基础演练1.C； 2.B； 3.C； 4.D； 5.B； 6.能力提升7.D； 8.B； 9.A； 10.
22、B； 11.3212.如下图所示，作DEAC，交BC的延长线于E，则四边形AQCED为平行四边形，AD=CE. ACBD，BDE=90.梯形的中位线长.梯形的中位线.13.(1)如下图所示，把等腰梯形的两腰分别延长后可得一个边长为2的等边三角形. 所以它可以由一个边长为2的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得.（2）四种.分别用3，4，5个小梯形拼出较大的等腰梯形. 3个梯形，周长为11cm，如下图所示；4个梯形，周长为10cm，如下图所示； 5个梯形，周长为17cm，如下图所示；5个梯形，周长为11cm，如下图所示； 14.（1）ABDF，1=ADF.1=2，2=ADF.EA=ED.又A
23、C=DF，EC=EF.EAD及ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知ADF=DFC，ADCF.又CFAD，四边形ADCF是梯形，AC=DF，ADCF是等腰梯形.(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF.ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米）.AF=3（厘米）. FC=AC3.将，代入得：四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC3)+AF=(AD+DC+AC)3+3=16（厘米）.15.(1)解：BCD=75，ADBC，ADC=105.由等边DCE可知CDE=60，故ADE=45.由ABBC，ADBC，可得DAB=90，AED=45.（2）证明：如图（a）所示
24、，由（1）知AED=45，AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上.由DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上.连接AC，AED=45，BAC=45.又ABBC，ACB=45.BA=BC.（3）如图（b）所示，FBC=30，ABF=60.连接AF，BF，AD的延长线相交于点G，FBC=30，DCB=75，BFC=75，故BC=BF.由（2）知：BA=BC，故BA=BF，ABF=60，AB=BF=FA，又ADBC，ABBC，FAG=G=30，FG=FA=FB.G=FBC=30，DFG=CFB，FB=FG，BCFGDF.DF=CF，即点F是线段CD的中点. 16.（1）证
25、明：EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，.又，.（2）当直线经过原矩形顶点D时，如图，.即，.17.（1）NE=MB且NEMB.（2）成立.理由：如下图所示，连接AE.E为CD中点，AB=BC=CD，AB=EC.又ABCD，即ABCE，四边形ABCE为平行四边形.C=90，四边形ABCE为矩形.又AB=BC，四边形ABCE为正方形.AE=AB.等腰直角三角形AMN中，AN=AM，NAM=90. 1+2=90.又2+3=90，1=3.NAEMAB.NE=MB.延长NE、BM交于点F.由NAEMAB可得，AEN=ABM.4=6.5=6，4=5.又EMF=BMC，EFB=C=90.BMNE.中考
26、链接18.（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，四边形ABCD是等腰梯形，BC=AD=5xkm，AD+CD+CB=12xkm，外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：.解这个方程得.答：市区公路的长为10km.19.（1）略（2）解：如下图所示，作BHAD，CKAD，则有BC=HK，BAD=45，HAB=KDC=45,，同理：，而，巅峰突破20.(1)10； .（2）如下图(a)、（b）所示.BEF与梯形ABCD等高，梯形ABCD的高，即；，（为常数），.，为整数，.即BF
27、的长为：1cm、2cm、3cm.21.（1）略.(2)解：如下图所示，延长CD和BE的延长线交于H， BFCD，BEC=90，HEC=90，EBF+H=ECH+H=90，EBF=ECH，BE=CE，BEC=CEH，BEGCEH（ASA），EG=EH，BG=CH=DH+CD，BAECDE，AEB=GED，HED=AEB.GED=HED，ED=ED，GEDHED（SAS），DG=DH，BG=DG+CD，DG=2cm，BG=6cm，CD=BGDG=4（cm） 第四节 线段中点的应用基础演练1. C； 2.C； 3.B； 4.C5.如下图所示，连接CM，AM，DAB=BCD=90,M为BD中点，CM=
28、BD=AM.AMC为等腰三角形.N为AC中点，MNAC. 6.如下图所示，连接PR、PQ，ABC是等边三角形， AB=AC=BC，A=B=C=60.MPS是等边三角形，PS=PM，MPS=60.P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，. PQ=PR. APQ=BPR=60，RPQ=180260=60.又QPS=MPSMPQ=60MPQ，RPM=RPQMPQ=60MPQ，QPS=RPM.PRMPQS.PM=QS. 7.AGD是直角三角形如下图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， F是AD的中点，HFAB，HE=AB.1=3.同理，HECD，HE=CD.2=EFC.AB=CD，
29、HF=HE， 1=2，EFC=60.3=EFC=AFG=60.AGF是等边三角形.AF=GF.GF=FD.FGD=FDG=30.AGD=90.即AGD是直角三角形.能力提升8. 9. 10.点E、F分别是AD、AB的中点，EFBD，EF=BD，FCD=CFE，在ABC中，ACB=90.E是AD的中点，CE=AD.AD=BD，EF=CE.ECF=CFE.FCD=ECF.即CF是ECB的平分线.11.如下图所示，取AD中点G，连接EG、FG，E是AC的中点，EG是ACD的中位线.EG=CD.同理可证：FG=AB.在EFG中，. 12.点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，FGBC，FEAC，F
30、E=AC.FGED.FEAC，DG与AC是相交的，DG与EF不平行.四边形EFGD是梯形.AD是三角形的高，ADC是直角三角形.DG是斜边上的中线，DG=AC.DG=EF.梯形EFGD是等腰梯形.13.（1）如图（a）所示，连接CF，线段CF与FE之间数量关系是； （2）（1）中的结论仍然成立.如图（b）所示，连接CF，延长EF交CB于点G， 先送2根，再送4根，二次共走行驶：米；先送4根，再送2根，二次共行驶：米；（2）两次各送3根时，所行路程为米.故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：故所用最少油费为元例6 如图所示，在ABC中，C=90，BC=5，AB=13.点P到BC，CA，AB的距
31、离分别为，连接PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：.即 .显然有.故. 当时，有，即取最大值时，P与A重合；当时，有，即取最小值时，P与C重合. A级1.27 原式=2.63.15 提示：4. 提示：，又把代入中，得，.故.5.D 6.B 7.A 8.B9.设，则.均为非负实数. ，解得：.故.，即，所以的最小值是19，最大值是.10.20套. 1800元.提示：设生产L型号的童装套数为，则生产M型号的童装为套，所得利润.由得，.11.最小表面积的打包方式为23.最小表面积为17952，图略. B级1.27 当时，的值最大.2.102 提示：.3.1157 提示：.4.B，D，E 93.6
32、2百元5.13800元 提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则6.C 提示： .故.7.B 提示：设，则.故.8.（1）. .当或时，取最大值2003001.当中恰有1001个1，1001个时，取最小值.（2）因为大于2002的最小完全平方数为，且必为偶数，所以或；即中恰有1024个1，978个或1024个，978个1时，m取得最小值.9.由条件得：，以上各式相加，得，故.由已知都是偶数，因此.另一方面，当，时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值是.10.仓库地址应选在C处，假定仓库另选一地O，设（单位：千米），又假定A厂产量为，B厂产量为，C厂产量为，（单位：吨）.仓库在
33、O处的总运费可表示为；仓库在C处的 组无解，这种情况不可能；若，则，代入、得，解得，而，且.故这样的直角三角形存在，且只有一个.10. 15 提示：将三ADC，ADB分别沿AC，AB折叠至AEC，AFB.延长FB，EC交于G，设AD=，则AE=AF=，FB=BD=3,易证:四边形AFGE为正方形，EC=DC=2.，即.解得：. 11. 提示：将BAE绕A点旋转90得，连接，则，.12.（1）将ACM沿直线CM对折，得DCM，连DN.DCMACM，CD=CA，DM=AM，DCM=ACM，CDM=A.又CA=CB，CD=CB.由DCN=MCNDCM=45DCM，BCN=ACBMCNACM=9045ACM =45ACM，得DCN=BCN，又CN=CN，CDNCBN.DN=BN，CDN=B，MDN=CDM+CDN=A+B=90.在RtMDN中，即.（2）关系式仍成立，同理可证.
