1、四川省成都市树德中学2019-2020学年高一数学4月延迟开学考试试题（含解析）考试时间：90分钟 满分130分一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一项是符合题目要求的）1.角的始边在轴非负半轴，终边在第二象限，与单位圆交点纵坐标为，将其终边逆时针旋转30度后与单位圆交点的横坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义求得和的值，再利用两角和的余弦公式求得与单位圆交点的横坐标的值.【详解】由三角函数定义，角与单位圆交点纵坐标为，则，.故选：A.【点睛】本题主要考查在直角坐标系中，利用单位圆定义求任意角的三角函数.设是一个任意角，它
2、的终边与单位圆的交点，那么:(1)叫做的正弦，记作，即；(2)叫做的余弦，记作，即；(3)叫做的正切，记作，即.2.将函数（）的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（ ）A. B. C. (D) 【答案】C【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，可得，求得的最小值为，故选C3.已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A、D,由不等式的性质可排除C【详解】对于选项A,令,时,故A不正确；对于选项C,故C不正确；对于选项D,令,时,故D不正确；对于选项B,则故选B【
3、点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题4.ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的直径为()A. B. C. D. 9【答案】B【解析】【详解】由余弦定理得夹角对边等于 ，夹角的正弦值为 再由正弦定理得外接圆的 直径为 ，选B.5.已知角为锐角，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，求出，再用，利用两角差的余弦公式求值即可【详解】因为为锐角，所以，.故选：A.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，将要求的角转化为已知角来计算.6.已知等差数列中，又，其中，则的值为（ ）A. 或B. C. D. 【答案
4、】D【解析】【分析】利用等差中项的性质可以算出，再利用等差数列中的关键量和可以求出.利用，求出，进而求出，确定即可得出结论.【详解】 ,，, , ，.又，.，.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列中关键量和的运用，以及角的正切公式和角的变换.为等差数列，若，则 给值求角问题的解题策略:(1)讨论所求角的范围(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角7.若函数满足对任意都有成立，且，则实数的值为（ ）A. B. 1C. 3D. 或1【答案】D【解析】【分析】通过判断函数的对称轴，此时
5、函数取得最值，结合，即可求出的值.【详解】因为，对任意都有成立，是函数的一条对称轴又，解得，或者，解得故选：D.【点睛】本题考查了余弦函数的性质若函数满足，则图像关于直线对称若函数满足，则图像关于点对称8.“珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（【注】三升九：升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得
6、中间两节的容积为（ ）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】【分析】设相差的同一数量为升，下端第一节盛米升，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可计算出中间两节盛米的容积升.【详解】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为升，下端第一节盛米升，由题意得，解得，所以，中间两节盛米的容积为（升），故选：B.【点睛】本题考查等差数列的应用，解题的关键就是将问题转化为等差数列的问题，并建立首项和公差的方程组求解，考查方程思想的应用，属于中等题.9.已知三角形的三边分别为，面积，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由余弦定理化简，再利用三角
7、形的面积公式求出，利用同角三角函数的基本关系即可求出的值【详解】，.即.平方得.即.得（舍）或.故选：C.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理10.在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（ ）A. 9B. 8或9C. 10或11D. 9或10【答案】D【解析】【分析】首先求出首项和公比，解不等式组，代入通项公式求解出即可【详解】（法一）等比数列，其前项积为，且.，.故.，所以前项积有.又因为，所以为前项积的最大值.（法二），.当时，有最大值，解得.时，有最大值.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列前项积的最大值.其实质是求等差数列前项和的最值的变型
8、.第一步：求出等比数列首项，公比.第二步：解不等式组.满足不等式组的的值，即为使前项积取最大值时的项数.11.数列满足，其前项和为，若成立，则的最大值是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】【分析】由可化简得，再利用裂项相消可求出，利用条件即可求解【详解】.由，.故选：A.【点睛】本题考查数列裂项相消. 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常见的裂项相消的公式：12.已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则平面四边形面积的最大
9、值为（ ）A. B. C. 11D. 【答案】B【解析】【分析】在和中，由余弦定理可得，的关系，再由四边形的面积可得与的函数表达式，利用余弦函数的性质，即可求得最大值.【详解】在中，在中，由上两式得.又平面四边形的面积，平方相加得：，化简即，当时，取得最大值480，从而.故选：B.【点睛】本题考查了解三角形和三角函数的综合应用.三角形的面积公式，余弦定理二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分，把最终的结果填在题中横线上）13.设变量满足约束条件则目标函数的最大值是_.【答案】3【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义求出最大值. 或联立方程组求得三条直线的交点坐标，带入
10、目标函数即可.【详解】（法一）：如图所示，可知当直线平移到点时，取得最大值为3（法二）：联立解得两直线交点为，联立解得两直线交点为，联立解得两直线交点为.把交点坐标带入目标函数得所以目标函数的最大值是故答案为：【点睛】本意考察线性目标函数最值问题解题步骤：画：在平面直角坐标系中画出可行域和直线（目标函数为移：平移直线，确定使取得最大值或最小值的点求：求出使取得最大值或最小值点的坐标及的最大或最小值线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得，将目标函数的直线平行移动时，最先通过或最后通过的顶点便是最优解。14.已知，则_.【答案】2【解析】【分析】利用同角三角关系式解得，再由即可求解.【
11、详解】因为，所以两边平方得，所以，故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数关系式以及切化弦的思想若题中给出的条件是有关正弦和余弦的，求正切的数值，则可以考虑切化弦，“”、“”、“”在这三个量中若已知其中一个，结合同角三角函数关系式可求出其他两个量。15.函数，数列满足，其前项和为，则_.【答案】2019【解析】【分析】由二倍角公式可得，则，再求其前2019项的即可，或根据函数的解析式化简得到求解.【详解】（法一）：，（法二）：，所以，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数诱导公式及数列求和降幂公式：，16.已知的内角的对边分别为，且上的高与边的长相等，则的最大是_.【答案】【解析】
12、【分析】先利用三角形面积公式求得，再用余弦定理求得和的关系式，然后利用三角函数性质求得的最大值.【详解】由正弦定理，由余弦定理，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理应用，三角型面积公式，三角函数恒等变换的应用以及基本不等式的基础知识.三、解答题（共4个小题，共计50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为保障公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，如图，检查员抽查某市一考点，以考点正西千米的处开始为检查起点，沿着一条北偏东方向的公路，以每小时12千米的速度行驶，并用手机接通电话，问从起点开始计时，最长经过多少分钟检查员开始收不到信号
13、（点开始），并至少持续多长时间（之间）该考点才算检查合格？【答案】最长经过5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算检查合格【解析】【分析】根据题意，在中通过正弦定理求得，进而，得到.得出为等边三角形，【详解】设检查员行驶到公路上两点之间时收不到信号，即公路上两点到考点的距离为1千米.在中，千米，千米，由正弦定理，得，（不合题意），.在中，千米，为等边三角形，千米.，在上需5分钟，上需5分钟.最长经过5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算检查合格.【点睛】本题主要考查学生分析实际问题的能力，利用正弦定理求得边角关系.18.已知各项均为正数的等差数列中，且，构成等比数列的前三项.
14、（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）通过等数列中项的性质求出，等比数列中项性质求出，然后分别求出数列，的通项公式（2）为等差数列，为等比数列，则前项和则可以考虑用错位相减的方法求和。.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），又，；（2），两式相减得，则.【点睛】本题主要考查本题考查等差等比数列的通项公式及错位相减法求和.错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项
15、对齐”以便下一步准确写出“”的表达式19.已知向量，函数.（1）求函数单调递增区间；（2）已知的内角的对边分别为，且，求角.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）运用向量坐标运算和数量积公式求出，并根据三角恒等变换进行化简，进而求出单调递增区间.（2）先求出角，再利用正弦定理求解.【详解】（1）由，所以单调递增区间是（2）由（1）知，于是，由正弦定理，两个解均成立或【点睛】本题主要考查了向量的数量积及坐标运算、三角恒等变换、正弦定理等知识.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；(2)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间20.已知各项均为正数的数
16、列的前项和为，且.（1）求；（2）设.且数列的前项为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据与的关系式求出为等差数列，进而求得.（2）用裂项相消法求出数列的前项和，再用三角恒等变换求出的值比较大小即可.【详解】（1）由题意得，两式作差得，又数列各项均为正数，即，当时，有，得，则，故数列为首项为2公差为2的等差数列，.（2），从而左边不等式得证；又关于递减，.而结合，从而右边不等式得证；综上，不等式得证.【点睛】本题考查数列与三角恒等变换的综合应用用裂项法求和的裂项原则及规律:(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项
