1、系列丛书 进入首页选修44 坐标系与参数方程选考部分 系列丛书 进入首页选修44 坐标系与参数方程选修44坐标系与参数方程选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第二节 参数方程选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）主干知识整合 01 课前热身稳固根基选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点一参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标 x，y
2、 都是某个变量的函数xftygt，并且对于 t 的每个允许值，由方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量 x，y 的变量 t 是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1判断正误(1)参数方程xt1，y2t(t1)表示的曲线为直线()(2)参数方程xcosm，ysinm，当 m 为参数时表示直线，当 为参数时表示的曲线为圆()答案：(1)(2)选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1
3、 和 C2 的参数方程分别为x 5cos，y 5sin为参数，02 和x1 22 t，y 22 t(t 为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为_选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：由 C1 得 x2y25，且0 x 5，0y 5，由 C2 得 x1y，由联立x2y25，x1y，解得x2，y1或x1，y2(舍)答案：(2,1)选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点二 常见曲线的参数方程的一般形式1经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为xx0t yy0t (t 为参数)设 P 是直线上的任一点，则
4、t 表示有向线段P0P 的数量2圆的参数方程xar ybr (为参数)选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3圆锥曲线的参数方程椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xa yb (为参数)抛物线 y22px 的参数方程为x2pt2y2pt(t 为参数)答案1cos sin 2.cos sin 3.cos sin选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3若直线x12t，y23t(t 为参数)与直线 4xky1 垂直，则常数 k_.解析：直线x12ty23t(t 为参数)的斜率为32，所以324k 1，k6.答案：6选修4-4第二节系列丛书
5、进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）4椭圆x123y2251 的参数方程是_解析：设x13 cos，y25 sin，则x1 3cos，y2 5sin(为参数)，即为所求的参数方程答案：x1 3cos，y2 5sin(为参数)选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）5直线x4at，ybt(t 为参数)与圆x2 3cos，y 3sin(为参数)相切，则切线的倾斜角为_选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：直线的普通方程为 bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为 3，从而有
6、 3|2ba04b|a2b2，即 3a23b24b2，所以 b 3a，而直线的倾斜角 的正切值 tanba，所以 tan 3，因此切线的倾斜角为3或23.答案：3或23选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 参数方程与普通方程的互化【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为xt1，y2t(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为x2tan2y2tan(为参数)试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标选修4-4第二节系列
7、丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】因为直线 l 的参数方程为xt1，y2t(t 为参数)，由xt1 得 tx1，代入 y2t，得到直线 l 的普通方程为 2xy20.因为曲线 C 的参数方程为x2tan2 y2tan，由 y2tan，得 tany2，代入得 y22x.解方程组y2x1，y22x，得公共点的坐标为(2,2)，12，1.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】1将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响.选修
8、4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)曲线x1cos，y2sin(为参数)的对称中心()A在直线 y2x 上B在直线 y2x 上C在直线 yx1 上 D在直线 yx1 上(2)x12etety12etet(t 为参数)的普通方程是_ 选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)由已知得cosx1，siny2，消参得(x1)2(y2)21.所以其对称中心为(1,2)显然该点在直线 y2x 上故选 B.(2)由参数方程得 etxy，etxy，(xy)(xy)1，即 x2y21.答案：(1)B(2)x2y21选修4-4第二节系列丛书
9、 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点二 直线的参数方程的应用【例 2】已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x14cos，y24sin(为参数)，直线 l 经过定点 P(3,5)，倾斜角为3.(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)曲 线 C：(x 1)2 (y 2)2 16，直 线 l：x312t，y5 32 t(t 为参数)(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程可得 t2(23 3)t30，设
10、 t1，t2 是方程的两个根，则 t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题(2)对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数)当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t的几何意义解题.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2016江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方 程 为x112t，y 32 t(t 为 参 数)，椭 圆 C 的 参 数 方 程
11、 为xcos，y2sin(为参数)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：椭圆 C 的普通方程为 x2y241.将直线 l 的参数方程x112t，y 32 t代入 x2y241，得(112t)2 32 t241，即 7t216t0，解得 t10，t2167.所以 AB|t1t2|167.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三 椭圆参数方程的应用【例 3】(2016新课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)以坐标
12、原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin4 2 2.(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P的直角坐标选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)C1 的普通方程为x23 y21，C2 的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(3cos，sin)因为 C2是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值，d()|3cossin4|2 2|sin(3)2|.当且仅当 2k6(k
13、Z)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为(32，12).选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）在极坐标中，曲线 C 的方程为 2312sin2，点 R 坐标为2 2，4.(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点 R 的极坐标化为直角坐标；(2)设 P 为
14、曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值，及此时点 P 的直角坐标选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)xcos，ysin，曲线 C 的直角坐标方程为x23 y21.点 R 的直角坐标为(2,2)(2)设 P(3cos，sin)，根据题意可得|PQ|2 3cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin(60)当 30时，|PQ|QR|取最小值 2，矩形 PQRS 周长的最小值为 4，此时点 P 的直角坐标为32，12.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热
15、点四 参数方程与极坐标方程的综合应用【例 4】(2016新课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xacost，y1asint(t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2(y1)2a2.C1是以(0,1)为圆心，a 为
16、半径的圆将 xcos，ysin 代入 C1的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin1a20.(2)曲 线C1，C2 的 公 共 点 的 极 坐 标 满 足 方 程 组22sin1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos28sincos1a20，由已知 tan2，可得 16cos28sincos0，从而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1.a1 时，极点也为 C1，C2的公共点，在 C3 上所以 a1.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解当然，还要结合题目本身
17、特点，确定选择何种方程.选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2017衡水模拟)已知直线 l 的参数方程为x2tcos，ytsin，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin2cos.(1)求曲线 C 的参数方程；(2)当 4时，求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)由 2sin2cos，可得 22sin2cos.所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22y2x，标准方程为(x1)2(y1)22.曲线 C 的极坐标方程化为参数方
18、程为x1 2cos，y1 2sin，(为参数)选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)当 4时，直线 l 的方程为x2 22 t，y 22 t，化成普通方程为 yx2.由x2y22y2x，yx2，解得x0，y2或x2，y0.所以直线 l 与曲线 C 交点的极坐标分别为2，2，(2，)选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学
19、（文）2对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数)当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3圆与椭圆的参数方程的异同点(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角选修4-4第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 67（点击进入）
